7.5 Derivasjon av trigonometriske funksjonar | Matematikk R1

Derivasjonsreglar for sinus, cosinus og tangens med kjerneregelen.

55 min

19 oppgaver

DerivasjonSinusCosinusTangensKjerneregelFunksjonsdrøfting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Utanfor R1 i gjeldande læreplan. Trigonometriske funksjonar, likningar og identitetar høyrer til R2 i gjeldande læreplan (LK20), og sinus- og cosinussetninga høyrer til 1T. Kapittelet står her som repetisjon og fordjuping og er ikkje eksamensstoff i R1.

Derivasjon av trigonometriske funksjonar

No som vi kjenner dei trigonometriske funksjonane godt, skal vi lære å derivere dei. Derivasjonsreglane for sinus og cosinus er elegante og nært knytte til kvarandre.

Viktig: Derivasjonsreglane gjeld berre når vinkelen er målt i radianar. Dette er hovudgrunnen til at vi bruker radianar i matematikken.

📜Derivasjon av sinus og cosinus

(\sin x)' = \cos x

$(\cos x)' = -\sin x$

Merk det negative forteiknet i den deriverte av cosinus!

Tenk på grafen til $\sin x$ :
- I $x = 0$ stig grafen bratt oppover, så $f'(0) > 0$ . Og $\cos 0 = 1$ ✓
- I $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er grafen på toppunktet (horisontal tangent), så $\displaystyle f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ . Og $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} = 0$ ✓
- I $x = \pi$ søkk grafen bratt, så $f'(\pi) < 0$ . Og $\cos \pi = -1$ ✓

📜Derivasjon av tangens

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Utleiing: Vi bruker brøkregelen på $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\begin{aligned} (\tan x)' &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}$

Oppsummering av derivasjonsreglar

f(x)

$f(x)$	$f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$

✏️Eksempel 1: Enkel derivasjon

Deriver funksjonane:
a) $f(x) = 3\sin x$
b) $g(x) = x^2 + \cos x$
c) $h(x) = \sin x \cdot \cos x$

Løysing:

a) $f'(x) = 3\cos x$

Svar: $f'(x) = 3\cos x$

b) $g'(x) = 2x - \sin x$

Svar: $g'(x) = 2x - \sin x$

c) Vi bruker produktregelen:
$h'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

(Alternativt: $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ , så $\displaystyle h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos 2x = \cos 2x$ .)

Svar: $h'(x) = \cos 2x$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonane.

f(x) = 5\sin x

g(x) = -2\cos x

h(x) = x + \sin x

p(x) = 3x^2 - 4\cos x + 1

Løs oppgaven

Kjerneregelen med trigonometriske funksjonar

Når argumentet til den trigonometriske funksjonen er ein samansett funksjon, bruker vi kjerneregelen:

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

📜Kjerneregelen for trigonometriske funksjonar

u = u(x)

vere ein deriverbar funksjon. Då gjeld:

$(\sin u)' = \cos u \cdot u'$
$(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$
$(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$

Man «deriverer den ytre funksjonen og gangar med den deriverte av kjernen».

✏️Eksempel 2: Kjerneregelen

Deriver:
a) $f(x) = \sin(3x)$
b) $g(x) = \cos(x^2)$
c) $h(x) = \tan(2x + 1)$

Løysing:

a) $f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

Ytre funksjon: $\sin u$ , kjerne: $u = 3x$ , $u' = 3$ .

Svar: $f'(x) = 3\cos(3x)$

b) $g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

Ytre funksjon: $\cos u$ , kjerne: $u = x^2$ , $u' = 2x$ .

Svar: $g'(x) = -2x\sin(x^2)$

c) $\displaystyle h'(x) = \frac{1}{\cos^2(2x+1)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$

Ytre funksjon: $\tan u$ , kjerne: $u = 2x+1$ , $u' = 2$ .

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$

📝Oppgave 2

Deriver ved hjelp av kjerneregelen.

f(x) = \sin(2x)

g(x) = \cos(5x - 1)

h(x) = \sin(x^3)

p(x) = \cos(\sqrt{x})

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Deriver funksjonane. Bruk produkt- eller brøkregelen der det trengst.

f(x) = x \sin x

g(x) = x^2 \cos x

\displaystyle h(x) = \frac{\sin x}{x}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Kombinert derivasjon

Deriver $f(x) = \sin^2(3x)$ .

Løysing:

Vi skriv $f(x) = [\sin(3x)]^2$ og bruker kjerneregelen to gonger:

Ytre: $u^2$ , midtre kjerne: $\sin(v)$ , indre kjerne: $v = 3x$

$\begin{aligned} f'(x) &= 2\sin(3x) \cdot [\sin(3x)]' \\ &= 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 \end{aligned}$

$= 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$

(I siste steg brukte vi $2\sin u \cos u = \sin 2u$ med $u = 3x$ .)

Svar: $f'(x) = 3\sin(6x)$

📝Oppgave 4

Deriver funksjonane.

f(x) = \cos^3(x)

g(x) = \sin^2(2x)

h(x) = \sqrt{\sin x}

Løs oppgaven

Funksjonsdrøfting med trigonometriske funksjonar

Vi kan bruke derivasjon til å finne ekstremalpunkt og studere vekst/avtak for trigonometriske funksjonar, akkurat som for andre funksjonar.

Framgangsmåte:
1. Finn $f'(x)$
2. Løys $f'(x) = 0$ for å finne kritiske punkt
3. Undersøk forteiknet til $f'(x)$ for å bestemme topp- og botnpunkt
4. Finn eventuelt $f''(x)$ for vendepunkt

✏️Eksempel 4: Funksjonsdrøfting

Drøft funksjonen $f(x) = 2\sin x + \cos(2x)$ for $x \in [0, 2\pi]$ .

Løysing:

Derivasjon
$f'(x) = 2\cos x - 2\sin(2x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$

Kritiske punkt
$f'(x) = 0$ når $\cos x = 0$ eller $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

$\displaystyle \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

Funksjonsverdiane
- $\displaystyle f(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
- $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) = 2 + \cos \pi = 2 - 1 = 1$
- $\displaystyle f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{5\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
- $\displaystyle f(\frac{3\pi}{2}) = -2 + \cos 3\pi = -2 - 1 = -3$

Forteiknet til $f'(x) = 2\cos x(1 - 2\sin x)$
- $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{6}$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) > 0$
- $\displaystyle \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x < 0$ , så $f'(x) < 0$
- $\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}$ : $\cos x < 0$ og $1 - 2\sin x < 0$ , så $f'(x) > 0$
- $\displaystyle \frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$ : $\cos x < 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) < 0$
- $\displaystyle \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) > 0$

Endepunkta
$f(0) = 0 + \cos 0 = 1$ og $f(2\pi) = 0 + \cos 4\pi = 1$

Konklusjon
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ : lokale toppunkt (begge $\displaystyle \frac{3}{2}$ )
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ : lokalt botnpunkt ( $1$ )
- $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$ : globalt botnpunkt ( $-3$ )

Svar: Lokale toppunkt $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{3}{2}\right)$ og $\displaystyle \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3}{2}\right)$ , lokalt botnpunkt $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ og globalt botnpunkt $\displaystyle \left(\frac{3\pi}{2}, -3\right)$ . Største verdi er $\displaystyle \frac{3}{2}$ og minste verdi $-3$ ; endepunkta har $f(0) = f(2\pi) = 1$ .

📝Oppgave 5

Finn eventuelle ekstremalpunkt for $f(x) = \sin x + \cos x$ på $[0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 6

Finn tangentlinja til $f(x) = \sin(2x)$ i punktet $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ .

📝Oppgave 7

Deriver.

f(x) = 4\sin(3x) - 2\cos(x)

g(x) = \sin(x) + \tan(x)

\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{3}\cos(3x)

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Finn den dobbeltderiverte.

f(x) = \sin x

. Finn

f''(x)

g(x) = \cos(2x)

. Finn

g''(x)

Vis at $f(x) = \sin x$ oppfyller $f''(x) + f(x) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Finn største og minste verdi av $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$ (utan å avgrense intervallet).

📝Oppgave 10

Finn alle $x \in [0, 2\pi]$ der tangentlinja til $f(x) = \cos x$ er horisontal.

📝Oppgave 11

Ein partikkel rører seg langs ei rett linje med posisjon $s(t) = 3\sin(2t) + 4\cos(2t)$ (i meter, $t$ i sekund).

Finn hastigheita $v(t) = s'(t)$ .

Finn akselerasjonen $a(t) = v'(t)$ .

Vis at $a(t) = -4s(t)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Deriver $f(x) = e^x \sin x$ .

📝Oppgave 13

Teikn $f(x) = \sin(2x)$ og den deriverte $f'(x) = 2\cos(2x)$ i GeoGebra. Verifiser at $f'(x) = 0$ i topp- og botnpunkta til $f$ .

Gjør dette i GeoGebra

Løs oppgaven i GeoGebra i en ny fane.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 14

Eit rektangel er innskrive i ein halvsirkel med radius $r$ . Den eine sida ligg langs diameteren. Uttrykk arealet som funksjon av ein vinkel, og finn det maksimale arealet.

Oppsummering

Derivasjonsreglar (berre i radianar!):
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Kjerneregelen:
- $(\sin u)' = u' \cos u$
- $(\cos u)' = -u' \sin u$

Funksjonsdrøfting: Finn $f'(x) = 0$ , undersøk forteikn, bestem topp-/botnpunkt.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.