7.4 Trigonometriske identiteter | Matematikk R1

Addisjonsformler, dobbeltvinkelformler og bevis av identiteter.

55 min

21 oppgaver

AddisjonsformlerDobbeltvinkelformlerIdentiteterBevis

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske identitetar

Ein identitet er ei likning som er sann for alle verdiar av variablane (der uttrykka er definerte). Vi har allereie sett den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . No skal vi utvide verktøykassa med kraftige addisjonsformlar og doble vinkelformlar.

📜Grunnleggjande identitetar

Pytagoreisk identitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Tangensdefinisjon:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Symmetrieigenskapar:
$\sin(-x) = -\sin x \quad \text{(odde funksjon)}$
$\cos(-x) = \cos x \quad \text{(partalsfunksjon)}$
$\tan(-x) = -\tan x \quad \text{(odde funksjon)}$

Addisjonsformlane

Addisjonsformlane fortel oss korleis vi kan finne sinus og cosinus av ein sum eller differanse av to vinklar. Desse formlane er blant dei viktigaste verktøya i trigonometrien.

📜Addisjonsformlane

For alle vinklar

u

v

gjeld:

Sinus:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Cosinus:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Tangens:
$\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

Hugsetriks for addisjonsformlane:

- Sinus av sum: «sin-cos-cos-sin» med likt forteikn
- Cosinus av sum: «cos-cos-sin-sin» med motsett forteikn
- Teiknet i sinus-formelen følgjer teiknet i argumentet ( $+$ gir $+$ )
- Teiknet i cosinus-formelen er motsett av argumentet ( $+$ gir $-$ )

✏️Eksempel 1: Eksakt verdi med addisjonsformel

Finn den eksakte verdien av $\sin 75°$ .

Løysing:

Vi skriv $75° = 45° + 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$
$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

📝Oppgave 1

Bruk addisjonsformlane til å finne eksakte verdiar.

\cos 75°

\sin 15°

\cos 15°

\tan 75°

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Addisjonsformlar med ukjende verdiar

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ ( $u$ i første kvadrant) og $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ ( $v$ i andre kvadrant). Finn $\sin(u + v)$ .

Løysing:

Steg 1: Finn manglande verdiar.

Frå $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ og $u$ i første kvadrant:
$\displaystyle \cos u = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

Frå $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ og $v$ i andre kvadrant:
$\displaystyle \sin v = \sqrt{1 - \cos^2 v} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$

Steg 2: Bruk addisjonsformelen.

$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$= \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13}$
$= -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

📝Oppgave 2

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{4}{5}$ (første kvadrant) og $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$ (første kvadrant). Finn:

\sin(u + v)

\cos(u - v)

\sin(u - v)

Løs oppgaven Tren

Formlar for dobbel vinkel

Ved å setje $u = v$ i addisjonsformlane får vi formlar for dobbel vinkel. Desse er svært nyttige i mange samanhengar.

📜Formlane for dobbel vinkel

Sinus:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

Cosinus (tre ekvivalente former):
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

Tangens:
$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Utleiing av $\sin 2x$

Vi set

u = v = x

i addisjonsformelen for sinus:

$\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$

Tilsvarande for cosinus:

$\cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

Dei to andre formene for $\cos 2x$ får ein ved å erstatte $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ .

∎

✏️Eksempel 3: Bruk av dobbeltvinkelformlane

Gitt at $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ og $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Finn $\sin 2x$ og $\cos 2x$ .

Løysing:

Først finn vi $\sin x$ . Sidan $x$ er i første kvadrant:
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

No bruker vi dobbeltvinkelformlane:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

(Merk: $\cos 2x < 0$ fordi $\displaystyle 2x > \frac{\pi}{2}$ når $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ .)

📝Oppgave 3

Bruk dobbeltvinkelformlane.

Gitt $\displaystyle \sin x = \frac{5}{13}$ , $x$ i første kvadrant. Finn $\sin 2x$ .

Gitt $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{3}$ , $x$ i andre kvadrant. Finn $\cos 2x$ .

Finn den eksakte verdien av $\displaystyle 2\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Forenkle uttrykka ved hjelp av dobbeltvinkelformlar.

2\sin 3x \cos 3x

\cos^2 4x - \sin^2 4x

\displaystyle 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}

Løs oppgaven Tren

Bevisføring med identitetar

Å bevise ein identitet tyder å vise at venstre og høgre side av likninga er like for alle (tillatne) verdiar av variabelen. Vanlege strategiar:

1. Start med den mest kompliserte sida og forenkle
2. Skriv alt med sinus og cosinus
3. Bruk kjende identitetar ( $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , addisjonsformlar, osv.)
4. Fellesnemnar når det er brøkar involvert

✏️Eksempel 4: Bevis av ein identitet

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$ .

Bevis:

Vi startar med venstre side og bruker dobbeltvinkelformlar:

$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)}$

$= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x}$

$= \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \tan x \quad \square$

📝Oppgave 5

Vis at identitetane stemmer.

\displaystyle \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \tan x

\displaystyle \sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}

📝Oppgave 6

Bruk addisjonsformlane til å forenkle.

\sin(x + \pi)

\displaystyle \cos(x - \frac{\pi}{2})

\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2} - x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Skriv uttrykket som eit enkelt trigonometrisk uttrykk.

\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x

\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x

\sin 5x \cos 3x + \cos 5x \sin 3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Forenkle uttrykket $\cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x$ .

📝Oppgave 9

Vis identitetane.

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

📝Oppgave 10

Rekn ut den eksakte verdien.

\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

)

\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}

)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys likninga $\sin 2x = \sin x$ for $x \in [0, 2\pi)$ ved hjelp av dobbeltvinkelformelen.

📝Oppgave 12

Vis at $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$ .

📝Oppgave 13

Vis at $\displaystyle \frac{\sin(u+v)}{\sin(u-v)} = \frac{\tan u + \tan v}{\tan u - \tan v}$ .

📝Oppgave 14

Forenkle $(\sin x + \cos x)^2$ og $(\sin x - \cos x)^2$ .

(\sin x + \cos x)^2

(\sin x - \cos x)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

Gitt at $\tan x = t$ . Uttrykk følgjande med $t$ :

\sin 2x

\cos 2x

\sin^2 x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Vis at $\displaystyle \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3 + \cos 4x}{4}$ .

Oppsummering

Addisjonsformlar:
- $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
- $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$

Dobbel vinkel:
- $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
- $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$

Bevisstrategi: Start med den mest kompliserte sida, skriv alt med $\sin$ og $\cos$ , bruk kjende identitetar.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.