6.3 Parameterframstilling | Matematikk R1

Parameterframstilling av linjer og anvendelser.

55 min

12 oppgaver

ParameterframstillingLinjer i planetSkjæringspunkterNaturvitenskapelige problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Vektorer i planet

Kva er parameterframstilling?

Til no har vi skildra kurver med likningar som $y = 2x + 3$ eller $x^2 + y^2 = 25$ . Ein alternativ måte er å uttrykkje både $x$ og $y$ som funksjonar av ein tredje variabel, kalla ein parameter.

Dette gir oss større fleksibilitet og er spesielt nyttig for å skildre rørsle, der parameteren ofte representerer tid.

Parameterframstilling

\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}

Parameterframstilling av linje

Ei linje kan skildrast ved eit startpunkt og ein retningsvektor.

Parameterframstilling av linje

P = (x_0, y_0)

✏️Eksempel 1: Parameterframstilling av linje

Finn parameterframstillinga for linja gjennom $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$ .

Løysing:

Steg 1: Vel eit startpunkt. Vi bruker $A = (1, 2)$ .

Steg 2: Finn retningsvektoren:
$\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]$

Steg 3: Sett opp parameterframstillinga:
$\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4]$

På komponentform:
$\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \\ y(t) = 2 + 4t \end{cases}$

Sjekk:
- For $t = 0$ : $(x, y) = (1, 2) = A$ ✓
- For $t = 1$ : $(x, y) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) = B$ ✓

📊Linje med parameterframstilling

Bruk glidebrytaren for å sjå korleis punktet rører seg langs linja når $t$ blir endra.

📝Oppgave 1

Finn parameterframstillinga for linja gjennom dei gitte punkta.

A = (0, 0)

B = (2, 3)

A = (2, 1)

B = (5, 4)

A = (3, -1)

B = (1, 5)

A = (-2, 4)

B = (6, 0)

Frå parameterframstilling til kartesisk likning

Nokre gonger vil vi finne den vanlege likninga $y = ax + b$ frå ei parameterframstilling.

✏️Eksempel 2: Frå parameter til kartesisk form

Finn den kartesiske likninga for linja med parameterframstilling:

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}

Løysing:

Steg 1: Løys den første likninga for $t$ :
$x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}$

Steg 2: Sett inn i den andre likninga:
$y = 3 + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} = 3 + 2(x - 1) = 3 + 2x - 2 = 2x + 1$

Svar: Den kartesiske likninga er $y = 2x + 1$ .

Kontroll: Frå parameterframstillinga ser vi at retningsvektoren er $[2, 4]$ , så stigingstalet er $\displaystyle \frac{4}{2} = 2$ ✓

📝Oppgave 2

Finn den kartesiske likninga for linja.

x = 2 + t, y = 1 + 3t

x = 3t, y = -1 + 2t

x = 4 - 2t, y = 3 + t

Løs oppgaven Tren

Skjeringspunkt mellom linjer

For å finne skjeringspunktet mellom to linjer gitt ved parameterframstilling, set vi likningane lik kvarandre.

✏️Eksempel 3: Skjeringspunkt

Finn skjeringspunktet mellom linjene:

Linje 1: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{cases}$

Linje 2: $\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}$

Løysing:

Viktig: Vi må bruke forskjellige parameternamn for dei to linjene ( $t$ og $s$ ).

I skjeringspunktet er $x$ - og $y$ -koordinatane like:

$1 + 2t = 4 + s \quad \text{(1)}$
$3 + t = 1 + 2s \quad \text{(2)}$

Frå (1): $s = 2t - 3$

Sett inn i (2):
$3 + t = 1 + 2(2t - 3)$
$3 + t = 1 + 4t - 6$
$3 + t = 4t - 5$
$8 = 3t$
$t = \frac{8}{3}$

Finn koordinatane:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{8}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}$
$y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$

Svar: Skjeringspunktet er $\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right)$ .

📝Oppgave 3

Finn skjeringspunktet mellom linjene.

\ell_1: x = t, y = 2t

\ell_2: x = 3 - s, y = s

\ell_1: x = 2 + t, y = 1 + t

\ell_2: x = 1 + 2s, y = 3 - s

\ell_1: x = 1 + 3t, y = 2t

\ell_2: x = 2s, y = 1 + s

Parameterframstilling av sirkel

Parameterframstilling er spesielt nyttig for kurver som ikkje er funksjonar.

Sirkel med parameterframstilling

(h, k)

📊Sirkel med parameterframstilling

Sjå korleis punktet rører seg rundt sirkelen når parameteren $t$ blir endra.

✏️Eksempel 4: Sirkel

Ein sirkel har sentrum i $(2, 3)$ og radius 4.

a) Skriv parameterframstillinga.
b) Finn punktet på sirkelen for $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ .
c) Verifiser at punktet ligg på sirkelen.

Løysing:

a) Parameterframstilling:
$\begin{cases} x(t) = 2 + 4\cos t \\ y(t) = 3 + 4\sin t \end{cases}$

b) For $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ :
$x = 2 + 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 = 4$
$y = 3 + 4\sin\frac{\pi}{3} = 3 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$

Punktet er $(4, 3 + 2\sqrt{3})$ .

c) Verifisering - avstanden frå sentrum til punktet:
$d = \sqrt{(4-2)^2 + (3 + 2\sqrt{3} - 3)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 = r \checkmark$

📝Oppgave 4

Arbeid med parameterframstilling av sirklar.

Skriv parameterframstillinga for sirkelen med sentrum i origo og radius 5.

Finn punktet på sirkelen $x = 3\cos t, y = 3\sin t$ for $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ .

Skriv parameterframstillinga for sirkelen med sentrum $(-1, 2)$ og radius 3.

Andre kurver

Mange interessante kurver kan skildrast med parameterframstilling.

✏️Eksempel 5: Ellipse

Ein ellipse har likninga $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ .

Finn parameterframstillinga.

Løysing:

For ein ellipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ er parameterframstillinga:
$\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t \end{cases}$

Her er $a = 3$ og $b = 2$ .

Svar:
$\begin{cases} x(t) = 3\cos t \\ y(t) = 2\sin t \end{cases}$

Verifisering:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = \frac{9\cos^2 t}{9} + \frac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \checkmark$

Rørsle og fartsvektor

Parameterframstilling er naturleg for å skildre rørsle, der parameteren $t$ ofte representerer tid.

Fartsvektor

\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]

✏️Eksempel 6: Rørsle langs ei linje

Ein partikkel rører seg langs bana $\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t]$ der $t$ er tid i sekund og posisjon i meter.

a) Finn fartsvektoren.
b) Finn farten.
c) Kvar er partikkelen etter 3 sekund?

Løysing:

a) Fartsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(1 + 2t), \frac{d}{dt}(3 + 4t)] = [2, 4]$

Fartsvektoren er konstant (rettlinja rørsle med konstant fart).

b) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}$

c) Posisjon etter 3 sekund:
$\vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 + 4 \cdot 3] = [7, 15]$

Partikkelen er i punktet $(7, 15)$ .

✏️Eksempel 7: Sirkelrørsle

Ein partikkel rører seg langs sirkelen $\vec{r}(t) = [5\cos t, 5\sin t]$ .

a) Finn fartsvektoren.
b) Vis at fartsvektoren alltid er ortogonal på posisjonsvektoren.
c) Finn farten.

Løysing:

a) Fartsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [-5\sin t, 5\cos t]$

b) Vi reknar ut skalarproduktet $\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t)$ :
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (5\cos t)(-5\sin t) + (5\sin t)(5\cos t)$
$= -25\cos t \sin t + 25\sin t \cos t = 0$

Sidan $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$ , er $\vec{v} \perp \vec{r}$ . Fartsvektoren er tangent til sirkelen.

c) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-5\sin t)^2 + (5\cos t)^2} = \sqrt{25\sin^2 t + 25\cos^2 t} = \sqrt{25} = 5$

Farten er konstant og lik 5 (lik radiusen til sirkelen, sidan vinkelfarten er 1 rad/s).

📝Oppgave 5

Ein partikkel rører seg langs bana $\vec{r}(t) = [3t, 4t - t^2]$ der $t \geq 0$ .

Finn fartsvektoren $\vec{v}(t)$ .

Finn farten ved $t = 0$ og $t = 2$ .

Når er farten horisontal (parallell med $x$ -aksen)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Bruksoppgåve med sirkelrørsle.

Ein partikkel rører seg langs $\vec{r}(t) = [4\cos(2t), 4\sin(2t)]$ . Finn fartsvektoren.

Finn farten. Samanlikn med førre eksempel og forklar skilnaden.

Finn akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$ og vis at han peikar mot sentrum.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Praktiske bruksområde.

Eit fly flyg langs bana $\vec{r}(t) = [200t, 100t - 5t^2]$ (i meter). Finn maksimal høgd.

Når og kvar landar flyet (når $y = 0$ igjen)?

Finn farten ved landing.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Parameterframstilling:
- Kurve: $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$
- Vektor: $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$

Linje:
$\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}$

Sirkel (sentrum $(h, k)$ , radius $r$ ):
$\begin{cases} x = h + r\cos t \\ y = k + r\sin t \end{cases}$

Rørsle:
- Fartsvektor: $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$
- Fart: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$
- Akselerasjon: $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$

Skjeringspunkt: Sett likningane lik kvarandre med forskjellige parameternamn.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.