6.3
Parameterframstilling

6.3 Parameterframstilling

Alle fag for VG2

Parameterframstilling av linjer og bruksområde.

55 min
12 oppgaver
ParameterframstillingLinjer i planetSkjeringspunktNaturvitskaplege problem
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Kva er parameterframstilling?

Til no har vi beskrive linjer og grafar med likningar som y=2x+3y = 2x + 3. Ein annan måte er å uttrykke både xx og yy som funksjonar av ein tredje variabel, kalla ein parameter.

Det er spesielt nyttig for å beskrive rørsle, der parameteren ofte er tida.

Parameterframstilling
Ei parameterframstilling av ei kurve er eit sett av likningar:

{x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}

der tt er parameteren, og x(t)x(t) og y(t)y(t) er funksjonar av tt.

Når tt varierer, teiknar punktet (x(t),y(t))(x(t), y(t)) opp kurva.

Parameterframstilling av linje

Ei linje kan skildrast ved eit startpunkt og ein retningsvektor.

Parameterframstilling av linje
Ei linje gjennom punktet P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) med retningsvektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] har parameterframstilling:

r⃗(t)=p⃗+t⋅v⃗\vec{r}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{v}

eller på komponentform:
{x(t)=x0+t⋅ay(t)=y0+t⋅b\begin{cases} x(t) = x_0 + t \cdot a \\ y(t) = y_0 + t \cdot b \end{cases}

Her er p⃗=[x0,y0]\vec{p} = [x_0, y_0] stadvektoren til startpunktet.

✏️Eksempel 1: Parameterframstilling av linje

Finn parameterframstillinga for linja gjennom A=(1,2)A = (1, 2) og B=(4,6)B = (4, 6).

Løysing:

Vel eit startpunkt. Vi bruker A=(1,2)A = (1, 2).

Finn retningsvektoren:
AB⃗=[4−1,6−2]=[3,4]\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]

Sett opp parameterframstillinga:
r⃗(t)=[1,2]+t[3,4]\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4]

På komponentform:
{x(t)=1+3ty(t)=2+4t\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \\ y(t) = 2 + 4t \end{cases}

Sjekk:
- For t=0t = 0: (x,y)=(1,2)=A(x, y) = (1, 2) = A ✓
- For t=1t = 1: (x,y)=(1+3,2+4)=(4,6)=B(x, y) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) = B ✓

Svar: r⃗(t)=[1,2]+t[3,4]\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4], altså x=1+3tx = 1 + 3t og y=2+4ty = 2 + 4t.

Gjør dette i GeoGebra

Linje med parameterframstilling

Bruk glidebrytaren for å sjå korleis punktet rører seg langs linja når tt blir endra.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

t_1 = Slider(-3, 5, 0.1)
A = (1, 2)
v = Vector((0, 0), (3, 4))
P = A + t_1 * (3, 4)
linje = Line(A, A + (3, 4))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 1

Finn parameterframstillinga for linja gjennom dei gitte punkta.

a
A=(0,0)A = (0, 0) og B=(2,3)B = (2, 3)
b
A=(2,1)A = (2, 1) og B=(5,4)B = (5, 4)
c
A=(3,−1)A = (3, -1) og B=(1,5)B = (1, 5)
d
A=(−2,4)A = (-2, 4) og B=(6,0)B = (6, 0)

Frå parameterframstilling til kartesisk likning

Nokre gonger vil vi finne den vanlege likninga y=ax+by = ax + b frå ei parameterframstilling.

✏️Eksempel 2: Frå parameter til kartesisk form
Finn den kartesiske likninga for linja med parameterframstilling:
{x=1+2ty=3+4t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}
Løysing:

Løys den første likninga for tt:
x=1+2t⇒t=x−12x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}

Sett inn i den andre likninga:
y=3+4⋅x−12=3+2(x−1)=3+2x−2=2x+1\begin{aligned} y &= 3 + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} \\ &= 3 + 2(x - 1) \\ &= 3 + 2x - 2 \\ &= 2x + 1 \end{aligned}

Svar: Den kartesiske likninga er y=2x+1y = 2x + 1.

Kontroll: Frå parameterframstillinga ser vi at retningsvektoren er [2,4][2, 4], så stigingstalet er 42=2\displaystyle \frac{4}{2} = 2 ✓

📝Oppgave 2

Finn den kartesiske likninga for linja.

a
x=2+t,y=1+3tx = 2 + t, y = 1 + 3t
b
x=3t,y=−1+2tx = 3t, y = -1 + 2t
c
x=4−2t,y=3+tx = 4 - 2t, y = 3 + t
Løs oppgaven

Skjeringspunkt mellom linjer

For å finne skjeringspunktet mellom to linjer gitt ved parameterframstilling, set vi likningane lik kvarandre.

Likningssettet kan ha
- éi løysing: linjene skjer kvarandre i eitt punkt
- inga løysing (motstrid): linjene er parallelle og ulike
- uendeleg mange løysingar: linjene fell saman

I dei to siste tilfella er retningsvektorane parallelle.

✏️Eksempel 3: Skjeringspunkt

Finn skjeringspunktet mellom linjene:

Linje 1: {x=1+2ty=3+t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{cases}

Linje 2: {x=4+sy=1+2s\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}

Løysing:

Viktig: Vi må bruke forskjellige parameternamn for dei to linjene (tt og ss).

I skjeringspunktet er xx- og yy-koordinatane like:

1+2t=4+s(1)1 + 2t = 4 + s \quad \text{(1)}
3+t=1+2s(2)3 + t = 1 + 2s \quad \text{(2)}

Frå (1): s=2t−3s = 2t - 3

Sett inn i (2):
3+t=1+2(2t−3)3 + t = 1 + 2(2t - 3)
3+t=1+4t−63 + t = 1 + 4t - 6
3+t=4t−53 + t = 4t - 5
8=3t8 = 3t
t=83t = \frac{8}{3}

Finn koordinatane:
x=1+2⋅83=1+163=193x = 1 + 2 \cdot \frac{8}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}
y=3+83=173y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}

Svar: Skjeringspunktet er (193,173)\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right).

📝Oppgave 3

Finn skjeringspunktet mellom linjene.

a
ℓ1:x=t,y=2t\ell_1: x = t, y = 2t og ℓ2:x=3−s,y=s\ell_2: x = 3 - s, y = s
b
ℓ1:x=2+t,y=1+t\ell_1: x = 2 + t, y = 1 + t og ℓ2:x=1+2s,y=3−s\ell_2: x = 1 + 2s, y = 3 - s
c
ℓ1:x=1+3t,y=2t\ell_1: x = 1 + 3t, y = 2t og ℓ2:x=2s,y=1+s\ell_2: x = 2s, y = 1 + s
d
ℓ1:x=1+2t,y=3+t\ell_1: x = 1 + 2t, y = 3 + t og ℓ2:x=4s,y=2s\ell_2: x = 4s, y = 2s

Rørsle og fartsvektor

Parameterframstilling er naturleg for å skildre rørsle, der parameteren tt ofte representerer tid.

Fartsvektor
Dersom eit punkt rører seg langs kurva r⃗(t)=[x(t),y(t)]\vec{r}(t) = [x(t), y(t)], er fartsvektoren:

v⃗(t)=r⃗′(t)=[x′(t),y′(t)]\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [x'(t), y'(t)]

Fartsvektoren er tangent til kurva og peikar i rørsleretninga.

Farten (storleiken til farten) er:
∣v⃗(t)∣=(x′(t))2+(y′(t))2|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}

✏️Døme 4: Rørsle langs ei linje

Ein partikkel rører seg langs bana r⃗(t)=[1+2t,3+4t]\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t] der tt er tid i sekund og posisjon i meter.

a) Finn fartsvektoren.
b) Finn farten.
c) Kvar er partikkelen etter 3 sekund?

Løysing:

a) Fartsvektoren:
v⃗(t)=r⃗′(t)=[ddt(1+2t),ddt(3+4t)]=[2,4]\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(1 + 2t), \frac{d}{dt}(3 + 4t)] = [2, 4]

Fartsvektoren er konstant (rettlinja rørsle med konstant fart).

Svar: v⃗=[2,4]\vec{v} = [2, 4]

b) Farten:
∣v⃗∣=22+42=20=25≈4,47 m/s|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}

Svar: 25≈4,472\sqrt{5} \approx 4{,}47 m/s

c) Posisjon etter 3 sekund:
r⃗(3)=[1+2⋅3,3+4⋅3]=[7,15]\vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 + 4 \cdot 3] = [7, 15]

Partikkelen er i punktet (7,15)(7, 15).

Svar: I punktet (7,15)(7, 15).

📝Oppgave 4

Ein partikkel rører seg langs bana r⃗(t)=[3t,4t−t2]\vec{r}(t) = [3t, 4t - t^2] der t≥0t \geq 0.

a

Finn fartsvektoren v⃗(t)\vec{v}(t).

b

Finn farten ved t=0t = 0 og t=2t = 2.

c

Når er farten horisontal (parallell med xx-aksen)?

Løs oppgaven
📝Oppgave 5

Praktiske bruksområde.

a

Eit prosjektil blir skote ut og følgjer banen r⃗(t)=[200t,100t−5t2]\vec{r}(t) = [200t, 100t - 5t^2] (i meter). Finn maksimal høgd.

b

Når og kvar landar prosjektilet (når y=0y = 0 igjen)?

c

Finn farten ved landing.

Løs oppgaven

Oppsummering

Parameterframstilling:
- Kurve: {x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}
- Vektor: r⃗(t)=[x(t),y(t)]\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]

Linje:
r⃗(t)=p⃗+tv⃗\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}

Rørsle:
- Hastigheitsvektor: v⃗(t)=r⃗′(t)\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)
- Fart: ∣v⃗(t)∣=(x′)2+(y′)2|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}

Skjeringspunkt: Set likningane like med ulike parameternamn.

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.