6.1 Vektorar i planet | Matematikk R1

Vektoromgrepet og grunnleggjande vektoroperasjonar.

55 min

12 oppgaver

VektoromgrepVektoraddisjonSkalar multiplikasjonKoordinatar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Vektorregning 6.3Parameterframstilling 6.4Vektorlengde og avstand

Kva er ein vektor?

I matematikk og fysikk treng vi ofte å skildre storleikar som har både storleik (lengd) og retning. Eksempel er kraft, fart, forskyving og akselerasjon.

Ein slik storleik blir kalla ein vektor. I motsetnad til vanlege tal (skalarar), som berre har ein verdi, har vektorar altså to eigenskapar: kor lange dei er, og kva retning dei peikar.

Vektor

\vec{v}

Grafisk framstilling

Ein vektor blir teikna som ei pil frå eitt punkt (startpunktet) til eit anna (sluttpunktet). Lengda på pila viser storleiken til vektoren, og retninga på pila viser retninga til vektoren.

Vektorar som har same lengd og peikar i same retning, blir rekna som like vektorar sjølv om dei startar frå forskjellige punkt.

Gjør dette i GeoGebra

Vektorar i planet

Utforsk vektorar grafisk. Du kan dra i punkta for å sjå korleis vektorane endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

A = (1, 1)
B = (4, 3)
v = Vector(A, B)
C = (2, 4)
D = (5, 6)
u = Vector(C, D)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Komponentform

For å rekne med vektorar bruker vi eit koordinatsystem. Ein vektor $\vec{v}$ kan då skrivast ved hjelp av komponentane sine langs $x$ -aksen og $y$ -aksen.

Komponentform

\vec{v}

Einingsvektorane i og j

\vec{i}

✏️Eksempel 1: Finne komponentform

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform når:

a) $A = (2, 3)$ og $B = (5, 7)$
b) $A = (-1, 4)$ og $B = (3, -2)$
c) $A = (0, 0)$ og $B = (-3, 5)$

Løysing:

Vi bruker formelen $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$ :

a) $\vec{AB} = [5 - 2, 7 - 3] = [3, 4]$

Svar: $\vec{AB} = [3, 4]$

b) $\vec{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6]$

Svar: $\vec{AB} = [4, -6]$

c) $\vec{AB} = [-3 - 0, 5 - 0] = [-3, 5]$

Svar: $\vec{AB} = [-3, 5]$

📝Oppgave 1

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform.

A = (1, 2)

B = (4, 6)

A = (3, -1)

B = (-2, 4)

A = (-2, -3)

B = (1, 0)

A = (5, 0)

B = (0, 5)

Stadvektor og forskyvingsvektor

Det finst to viktige typar vektorar som blir mykje brukte:

Stadvektor

P = (a, b)

Forskyvingsvektor

A

✏️Eksempel 2: Stadvektor og forskyvingsvektor

Eit punkt $P = (3, 4)$ blir flytta til punkt $Q = (7, 1)$ .

a) Finn stadvektoren til $P$ .
b) Finn stadvektoren til $Q$ .
c) Finn forskyvingsvektoren frå $P$ til $Q$ .

Løysing:

a) Stadvektoren til $P$ :
$\vec{OP} = [3, 4]$

Svar: $\vec{OP} = [3, 4]$

b) Stadvektoren til $Q$ :
$\vec{OQ} = [7, 1]$

Svar: $\vec{OQ} = [7, 1]$

c) Forskyvingsvektoren frå $P$ til $Q$ :
$\begin{aligned} \vec{PQ} &= \vec{OQ} - \vec{OP} \\ &= [7, 1] - [3, 4] \\ &= [7-3, 1-4] \\ &= [4, -3] \end{aligned}$

Svar: $\vec{PQ} = [4, -3]$

Vektoraddisjon

Når vi legg saman to vektorar, får vi ein ny vektor som blir kalla summen eller resultanten.

Vektoraddisjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

Gjør dette i GeoGebra

Vektoraddisjon: Trekantregelen

Dra i punkta for å sjå korleis sumvektoren endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

O = (0, 0)
A = (3, 1)
B = (1, 3)
u = Vector(O, A)
v = Vector(A, A + (B - O))
sum = Vector(O, A + (B - O))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 3: Vektoraddisjon

La $\vec{u} = [3, 2]$ og $\vec{v} = [-1, 4]$ .

Rekn ut:
a) $\vec{u} + \vec{v}$
b) $\vec{v} + \vec{u}$
c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ der $\vec{w} = [2, -3]$

Løysing:

a) $\vec{u} + \vec{v} = [3, 2] + [-1, 4] = [3 + (-1), 2 + 4] = [2, 6]$

Svar: $[2, 6]$

b) $\vec{v} + \vec{u} = [-1, 4] + [3, 2] = [-1 + 3, 4 + 2] = [2, 6]$

Vi ser at $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (vektoraddisjon er kommutativ).

Svar: $[2, 6]$

c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = [2, 6] + [2, -3] = [2 + 2, 6 + (-3)] = [4, 3]$

Svar: $[4, 3]$

📝Oppgave 2

La $\vec{a} = [2, 5]$ , $\vec{b} = [-3, 1]$ og $\vec{c} = [4, -2]$ . Rekn ut:

\vec{a} + \vec{b}

\vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{c}

Skalar multiplikasjon

Når vi gangar ein vektor med eit tal (ein skalar), endrar vi lengda til vektoren.

Skalar multiplikasjon

\vec{v} = [a, b]

Motsett vektor og nullvektor

\vec{v} = [a, b]

✏️Eksempel 4: Skalar multiplikasjon

La $\vec{v} = [2, -3]$ .

Rekn ut:
a) $3\vec{v}$
b) $-2\vec{v}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}$
d) $-\vec{v}$

Løysing:

a) $3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [3 \cdot 2, 3 \cdot (-3)] = [6, -9]$

Svar: $[6, -9]$

b) $-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [(-2) \cdot 2, (-2) \cdot (-3)] = [-4, 6]$

Svar: $[-4, 6]$

c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2} \cdot [2, -3] = [\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot (-3)] = [1, -\frac{3}{2}]$

Svar: $\displaystyle \left[1, -\frac{3}{2}\right]$

d) $-\vec{v} = -1 \cdot [2, -3] = [-2, 3]$

Svar: $[-2, 3]$

📝Oppgave 3

La $\vec{u} = [4, -2]$ og $\vec{v} = [-1, 3]$ . Rekn ut:

2\vec{u}

-3\vec{v}

2\vec{u} + 3\vec{v}

\vec{u} - 2\vec{v}

Vektorsubtraksjon

Subtraksjon av vektorar blir definert ved hjelp av addisjon og motsett vektor.

Vektorsubtraksjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

✏️Eksempel 5: Kombinerte operasjonar

La $\vec{a} = [1, 4]$ , $\vec{b} = [3, -2]$ og $\vec{c} = [-2, 1]$ .

Rekn ut:
a) $2\vec{a} - \vec{b}$
b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$
c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Løysing:

a) $2\vec{a} - \vec{b} = 2[1, 4] - [3, -2] = [2, 8] - [3, -2] = [2 - 3, 8 - (-2)] = [-1, 10]$

Svar: $[-1, 10]$

b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c} = [1, 4] + 2[3, -2] - 3[-2, 1]$
$= [1, 4] + [6, -4] - [-6, 3]$
$= [1 + 6 - (-6), 4 + (-4) - 3]$
$= [13, -3]$

Svar: $[13, -3]$

c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -[1, 4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1, -4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1 + 3 + (-2), -4 + (-2) + 1]$
$= [0, -5]$

Svar: $[0, -5]$

📝Oppgave 4

La $\vec{p} = [2, 1]$ , $\vec{q} = [-1, 3]$ og $\vec{r} = [3, -4]$ . Rekn ut:

\vec{p} - \vec{q}

3\vec{p} + 2\vec{q}

\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}

2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}

Parallelle vektorar

To vektorar kan ha same eller motsett retning. Då seier vi at dei er parallelle.

Parallelle vektorar

\vec{u}

✏️Eksempel 6: Parallelle vektorar

Avgjer om vektorane er parallelle:

a) $\vec{u} = [2, 6]$ og $\vec{v} = [1, 3]$
b) $\vec{a} = [3, -2]$ og $\vec{b} = [-6, 4]$
c) $\vec{p} = [1, 2]$ og $\vec{q} = [3, 5]$

Løysing:

a) Vi undersøkjer om $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ :
$[2, 6] = k \cdot [1, 3]$ gir $2 = k \cdot 1$ og $6 = k \cdot 3$
Frå første likning: $k = 2$ . Sjekk: $2 \cdot 3 = 6$ ✓
Altså er $\vec{u} = 2\vec{v}$ , så $\vec{u} \parallel \vec{v}$ . Parallelle.

Svar: Parallelle

b) Vi undersøkjer om $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ :
$[3, -2] = k \cdot [-6, 4]$ gir $3 = -6k$ og $-2 = 4k$
Frå første likning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ . Frå andre likning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ ✓
Altså er $\displaystyle \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}$ , så $\vec{a} \parallel \vec{b}$ . Parallelle.

Svar: Parallelle

c) Vi undersøkjer om $\vec{p} = k \cdot \vec{q}$ :
$[1, 2] = k \cdot [3, 5]$ gir $1 = 3k$ og $2 = 5k$
Frå første likning: $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ . Frå andre likning: $\displaystyle k = \frac{2}{5}$ .
Sidan $\displaystyle \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ , er dei ikkje parallelle.

Svar: Ikkje parallelle

📝Oppgave 5

Avgjer om vektorpara er parallelle. Grunngi svaret.

\vec{u} = [4, 8]

\vec{v} = [2, 4]

\vec{a} = [3, 1]

\vec{b} = [6, 3]

\vec{p} = [-2, 5]

\vec{q} = [4, -10]

\vec{r} = [1, 0]

\vec{s} = [0, 1]

Vektorlikningar

To vektorar er like når komponentane er like. Ei vektorlikning i planet gir derfor to vanlege likningar, éin for kvar komponent. Å setje komponentane lik kvarandre blir kalla koeffisientsamanlikning.

Er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ ikkje parallelle, kan kvar vektor $\vec{w}$ i planet skrivast som $s\vec{u} + t\vec{v}$ på nøyaktig éin måte. Er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ parallelle, har likninga $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ anten inga løysing eller uendeleg mange.

✏️Eksempel 7: Vektorlikning med to ukjende

La $\vec{u} = [2, 1]$ , $\vec{v} = [-1, 3]$ og $\vec{w} = [7, 7]$ . Finn $s$ og $t$ slik at $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ .

s[2, 1] + t[-1, 3] = [7, 7]

[2s - t,\; s + 3t] = [7, 7]

Komponentane gir likningssettet
$2s - t = 7 \quad \text{(1)}$
$s + 3t = 7 \quad \text{(2)}$

Frå (2): $s = 7 - 3t$ . Innsett i (1):
$2(7 - 3t) - t = 7$
$14 - 7t = 7$
$t = 1$

$s = 7 - 3 \cdot 1 = 4$

Kontroll: $4[2, 1] + 1 \cdot [-1, 3] = [8 - 1,\; 4 + 3] = [7, 7]$ ✓

Svar: $s = 4$ og $t = 1$ .

📝Oppgave 6

Finn $s$ og $t$ slik at likninga stemmer, eller vis at det ikkje finst slike tal.

s[2, 3] + t[1, -1] = [8, 7]

s[1, 2] + t[3, -1] = [-1, 5]

s[4, -2] + t[-2, 1] = [1, 3]

📝Oppgave 7

Vektorane $\vec{a} = [3, -1]$ og $\vec{b} = [1, 2]$ er gjevne.

Løys vektorlikninga $2\vec{x} + \vec{a} = [5, 7]$ .

Bestem $s$ og $t$ slik at $s\vec{a} + t\vec{b} = [7, 0]$ .

Bestem $k$ slik at $\vec{a} + k\vec{b}$ er parallell med $[1, 1]$ .

Bruksområde for vektorar

Vektorar blir brukte i mange samanhengar, spesielt i fysikk og geometri.

✏️Eksempel 8: Midtpunkt mellom to punkt

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket mellom $A = (1, 3)$ og $B = (5, 7)$ ved hjelp av vektorar.

Løysing:

La $\vec{a} = \vec{OA} = [1, 3]$ og $\vec{b} = \vec{OB} = [5, 7]$ vere stadvektorane.

Stadvektoren til midtpunktet er gjennomsnittet av stadvektorane:

$\begin{aligned} \vec{OM} &= \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \\ &= \frac{1}{2}([1, 3] + [5, 7]) \\ &= \frac{1}{2}[6, 10] \\ &= [3, 5] \end{aligned}$

Altså er $M = (3, 5)$ .

Alternativ metode: Midtpunktsformelen gir direkte:
$\begin{aligned} M &= \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) \\ &= (3, 5) \end{aligned}$

Svar: $M = (3, 5)$

📝Oppgave 8

Bruk vektorar til å løyse oppgåvene.

Finn midtpunktet mellom $A = (2, -4)$ og $B = (8, 6)$ .

Punktet $A = (1, 2)$ blir flytta med vektor $\vec{v} = [3, -1]$ . Kvar hamnar punktet?

Finn vektoren som fører punktet $(3, 5)$ til punktet $(-1, 2)$ .

📝Oppgave 9

Samansette oppgåver med vektorar.

I ein trekant er $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ og $C = (2, 4)$ . Finn midtpunkta på alle tre sider.

Vis at vektoren frå $A$ til midtpunktet på $BC$ er $\vec{v} = [4, 2]$ .

Finn koordinatane til tyngdepunktet $T$ i trekanten. (Hint: $T$ deler medianen frå $A$ i forholdet $2:1$ )

Bevis med vektorar

I geometriske bevis vel vi to vektorar som ikkje er parallelle, til dømes $\vec{a}$ og $\vec{b}$ langs to av sidene i figuren, og uttrykker alle andre vektorar ved dei. Då kan vi vise

- at to linjestykke er parallelle: den eine vektoren er eit tal gonger den andre,
- at eit punkt $M$ er midtpunktet på $AB$ : $\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ,
- at to punkt er same punkt: vektorane til dei frå eit felles startpunkt er like.

Fordi $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ikkje er parallelle, gjeld: Er $s\vec{a} + t\vec{b} = s_1\vec{a} + t_1\vec{b}$ , så er $s = s_1$ og $t = t_1$ . Det er den same koeffisientsamanlikninga som i vektorlikningane.

✏️Eksempel 9: Parallellbevis i ein trekant

I trekant $OAB$ er $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ . Punktet $P$ ligg på $OA$ med $\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a}$ , og punktet $R$ ligg på $OB$ med $\displaystyle \overrightarrow{OR} = \frac{1}{3}\vec{b}$ .

a) Uttrykk $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{PR}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

b) Vis at $PR$ er parallell med $AB$ , og at $AB$ er tre gonger så lang som $PR$ .

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}

\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right)

Svar: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ og $\displaystyle \overrightarrow{PR} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right)$ .

b)
$\overrightarrow{PR} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{PR}$ er eit tal gonger $\overrightarrow{AB}$ , så $PR \parallel AB$ .

$\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3\left|\overrightarrow{PR}\right|$

Svar: $PR$ er parallell med $AB$ , og $AB$ er tre gonger så lang som $PR$ .

📝Oppgave 10

I trekant $ABC$ er $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ . Punktet $D$ er midtpunktet på $AB$ , og $E$ er midtpunktet på $AC$ .

Uttrykk $\overrightarrow{BC}$ og $\overrightarrow{DE}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at $DE$ er parallell med $BC$ , og at $DE$ er halvparten så lang som $BC$ .

📝Oppgave 11

I parallellogrammet $ABCD$ er $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ . Punktet $M$ er midtpunktet på diagonalen $AC$ , og $N$ er midtpunktet på diagonalen $BD$ .

Uttrykk $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BD}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Uttrykk $\overrightarrow{AM}$ og $\overrightarrow{AN}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at diagonalane i eit parallellogram halverer kvarandre.

📝Oppgave 12

I trekant $OAB$ er $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ . Punktet $M$ er midtpunktet på $AB$ , og $N$ er midtpunktet på $OA$ . Linjestykka $OM$ og $BN$ skjer kvarandre i punktet $S$ .

Vis at $\displaystyle \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ og $\displaystyle \overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$ .

Set $\overrightarrow{OS} = s \cdot \overrightarrow{OM}$ og $\overrightarrow{BS} = t \cdot \overrightarrow{BN}$ . Bruk at $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BS}$ , og bestem $s$ og $t$ .

Kva fortel svaret i b) om kor $S$ ligg på $OM$ ?

Oppsummering

Vektor:
- Ein storleik med både lengd og retning
- Blir skrive som $\vec{v}$ , $\bar{v}$ eller $\mathbf{v}$

Komponentform:
- $\vec{v} = [a, b]$ der $a$ og $b$ er komponentane
- $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$

Vektoroperasjonar:
- Addisjon: $[a_1, b_1] + [a_2, b_2] = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]$
- Skalar multiplikasjon: $k[a, b] = [ka, kb]$
- Subtraksjon: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$

Spesielle vektorar:
- Nullvektor: $\vec{0} = [0, 0]$
- Einingsvektorar: $\vec{i} = [1, 0]$ , $\vec{j} = [0, 1]$

Parallelle vektorar:
- $\vec{u} \parallel \vec{v}$ viss $\vec{u} = k\vec{v}$ for ein skalar $k \neq 0$

Vektorlikningar:
- $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ gir éi likning per komponent (koeffisientsamanlikning)

Bevis med vektorar:
- Uttrykk vektorane ved to vektorar $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som ikkje er parallelle
- Parallell: $\overrightarrow{PR} = k\,\overrightarrow{AB}$ . Same punkt: like vektorar frå same startpunkt

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.