Tilbake
6.1
Vektorer i planet

6.1 Vektorer i planet

Alle fag for VG2

Vektorbegrepet og grunnleggende vektoroperasjoner.

55 min
12 oppgaver
VektorbegrepVektoraddisjonSkalar multiplikasjonKoordinater
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Kva er ein vektor?

I matematikk og fysikk treng vi ofte å skildre storleikar som har både storleik (lengd) og retning. Eksempel er kraft, fart, forskyving og akselerasjon.

Ein slik storleik blir kalla ein vektor. I motsetnad til vanlege tal (skalarar), som berre har ein verdi, har vektorar altså to eigenskapar: kor lange dei er, og kva retning dei peikar.

Vektor

Ein vektor er ein storleik som har både lengd (storleik) og retning.

Vi skriv vektorar på forskjellige måtar:
- v⃗\vec{v} (pil over bokstaven)
- vˉ\bar{v} (strek over bokstaven)
- v\mathbf{v} (feit skrift)

To vektorar er like dersom dei har same lengd og same retning, uansett kvar dei er plasserte i planet.

Grafisk framstilling

Ein vektor blir teikna som ei pil frå eitt punkt (startpunktet) til eit anna (sluttpunktet). Lengda på pila viser storleiken til vektoren, og retninga på pila viser retninga til vektoren.

Vektorar som har same lengd og peikar i same retning, blir rekna som like vektorar sjølv om dei startar frå forskjellige punkt.

📊Vektorar i planet

Utforsk vektorar grafisk. Du kan dra i punkta for å sjå korleis vektorane endrar seg.

Komponentform

For å rekne med vektorar bruker vi eit koordinatsystem. Ein vektor v⃗\vec{v} kan då skrivast ved hjelp av komponentane sine langs xx-aksen og yy-aksen.

Komponentform
Ein vektor v⃗\vec{v} i planet blir skriven på komponentform som:

v⃗=[a,b]ellerv⃗=(ab)\vec{v} = [a, b] \quad \text{eller} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

der aa er komponenten i xx-retning og bb er komponenten i yy-retning.

Dersom v⃗\vec{v} går frå punkt A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) til punkt B=(x2,y2)B = (x_2, y_2), så er:

AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]

Einingsvektorane i og j
Einingsvektorane i⃗\vec{i} og j⃗\vec{j} er vektorar med lengd 1 langs aksane:

i⃗=[1,0]ogj⃗=[0,1]\vec{i} = [1, 0] \quad \text{og} \quad \vec{j} = [0, 1]

Kvar vektor kan skrivast som ein kombinasjon av desse:

v⃗=[a,b]=ai⃗+bj⃗\vec{v} = [a, b] = a\vec{i} + b\vec{j}

✏️Eksempel 1: Finne komponentform

Finn vektoren AB⃗\vec{AB} på komponentform når:

a) A=(2,3)A = (2, 3) og B=(5,7)B = (5, 7)
b) A=(−1,4)A = (-1, 4) og B=(3,−2)B = (3, -2)
c) A=(0,0)A = (0, 0) og B=(−3,5)B = (-3, 5)

Løysing:

Vi bruker formelen AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]:

a) AB⃗=[5−2,7−3]=[3,4]\vec{AB} = [5 - 2, 7 - 3] = [3, 4]

b) AB⃗=[3−(−1),−2−4]=[4,−6]\vec{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6]

c) AB⃗=[−3−0,5−0]=[−3,5]\vec{AB} = [-3 - 0, 5 - 0] = [-3, 5]

📝Oppgave 1

Finn vektoren AB⃗\vec{AB} på komponentform.

a
A=(1,2)A = (1, 2) og B=(4,6)B = (4, 6)
b
A=(3,−1)A = (3, -1) og B=(−2,4)B = (-2, 4)
c
A=(−2,−3)A = (-2, -3) og B=(1,0)B = (1, 0)
d
A=(5,0)A = (5, 0) og B=(0,5)B = (0, 5)

Stadvektor og forskyvingsvektor

Det finst to viktige typar vektorar som blir mykje brukte:

Stadvektor
Stadvektoren til eit punkt P=(a,b)P = (a, b) er vektoren frå origo til punktet:

OP⃗=[a,b]\vec{OP} = [a, b]

Stadvektoren skildrar altså posisjonen til eit punkt i koordinatsystemet.

Forskyvingsvektor
Ein forskyvingsvektor skildrar rørsla frå eitt punkt til eit anna.

Forskyvingsvektoren frå AA til BB er:
AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}

der OA⃗\vec{OA} og OB⃗\vec{OB} er stadvektorane til AA og BB.

✏️Eksempel 2: Stadvektor og forskyvingsvektor

Eit punkt P=(3,4)P = (3, 4) blir flytta til punkt Q=(7,1)Q = (7, 1).

a) Finn stadvektoren til PP.
b) Finn stadvektoren til QQ.
c) Finn forskyvingsvektoren frå PP til QQ.

Løysing:

a) Stadvektoren til PP:
OP⃗=[3,4]\vec{OP} = [3, 4]

b) Stadvektoren til QQ:
OQ⃗=[7,1]\vec{OQ} = [7, 1]

c) Forskyvingsvektoren frå PP til QQ:
PQ⃗=OQ⃗−OP⃗=[7,1]−[3,4]=[7−3,1−4]=[4,−3]\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = [7, 1] - [3, 4] = [7-3, 1-4] = [4, -3]

Vektoraddisjon

Når vi legg saman to vektorar, får vi ein ny vektor som blir kalla summen eller resultanten.

Vektoraddisjon
For to vektorar u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er summen:

u⃗+v⃗=[a1+a2,b1+b2]\vec{u} + \vec{v} = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]

Grafisk konstruksjon:
- Trekantregelen: Plasser startpunktet til v⃗\vec{v} i sluttpunktet til u⃗\vec{u}. Summen går frå startpunktet til u⃗\vec{u} til sluttpunktet til v⃗\vec{v}.
- Parallellogramregelen: Teikn begge vektorane frå same punkt. Summen er diagonalen i parallellogrammet dei spenner ut.

📊Vektoraddisjon: Trekantregelen

Dra i punkta for å sjå korleis sumvektoren endrar seg.

✏️Eksempel 3: Vektoraddisjon

La u⃗=[3,2]\vec{u} = [3, 2] og v⃗=[−1,4]\vec{v} = [-1, 4].

Rekn ut:
a) u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}
b) v⃗+u⃗\vec{v} + \vec{u}
c) (u⃗+v⃗)+w⃗(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} der w⃗=[2,−3]\vec{w} = [2, -3]

Løysing:

a) u⃗+v⃗=[3,2]+[−1,4]=[3+(−1),2+4]=[2,6]\vec{u} + \vec{v} = [3, 2] + [-1, 4] = [3 + (-1), 2 + 4] = [2, 6]

b) v⃗+u⃗=[−1,4]+[3,2]=[−1+3,4+2]=[2,6]\vec{v} + \vec{u} = [-1, 4] + [3, 2] = [-1 + 3, 4 + 2] = [2, 6]

Vi ser at u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} (vektoraddisjon er kommutativ).

c) (u⃗+v⃗)+w⃗=[2,6]+[2,−3]=[2+2,6+(−3)]=[4,3](\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = [2, 6] + [2, -3] = [2 + 2, 6 + (-3)] = [4, 3]

📝Oppgave 2

La a⃗=[2,5]\vec{a} = [2, 5], b⃗=[−3,1]\vec{b} = [-3, 1] og c⃗=[4,−2]\vec{c} = [4, -2]. Rekn ut:

a
a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}
b
b⃗+c⃗\vec{b} + \vec{c}
c
a⃗+b⃗+c⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}
d
a⃗+c⃗\vec{a} + \vec{c}

Skalar multiplikasjon

Når vi gangar ein vektor med eit tal (ein skalar), endrar vi lengda til vektoren.

Skalar multiplikasjon
For ein vektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] og eit tal kk (ein skalar) er:

k⋅v⃗=[ka,kb]k \cdot \vec{v} = [ka, kb]

Eigenskapar:
- ∣k⋅v⃗∣=∣k∣⋅∣v⃗∣|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}| (lengda blir skalert)
- Dersom k>0k > 0: vektoren held på retninga
- Dersom k<0k < 0: vektoren snur retninga
- Dersom k=0k = 0: vi får nullvektoren

Motsett vektor og nullvektor
Motsett vektor: Den motsette vektoren til v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er:
−v⃗=[−a,−b]-\vec{v} = [-a, -b]

Han har same lengd som v⃗\vec{v}, men motsett retning.

Nullvektoren: Nullvektoren er 0⃗=[0,0]\vec{0} = [0, 0]. Han har lengd 0 og inga definert retning.

For alle vektorar gjeld: v⃗+(−v⃗)=0⃗\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}

✏️Eksempel 4: Skalar multiplikasjon

La v⃗=[2,−3]\vec{v} = [2, -3].

Rekn ut:
a) 3v⃗3\vec{v}
b) −2v⃗-2\vec{v}
c) 12v⃗\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}
d) −v⃗-\vec{v}

Løysing:

a) 3v⃗=3⋅[2,−3]=[3⋅2,3⋅(−3)]=[6,−9]3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [3 \cdot 2, 3 \cdot (-3)] = [6, -9]

b) −2v⃗=−2⋅[2,−3]=[(−2)⋅2,(−2)⋅(−3)]=[−4,6]-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [(-2) \cdot 2, (-2) \cdot (-3)] = [-4, 6]

c) 12v⃗=12⋅[2,−3]=[12⋅2,12⋅(−3)]=[1,−32]\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2} \cdot [2, -3] = [\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot (-3)] = [1, -\frac{3}{2}]

d) −v⃗=−1⋅[2,−3]=[−2,3]-\vec{v} = -1 \cdot [2, -3] = [-2, 3]

📝Oppgave 3

La u⃗=[4,−2]\vec{u} = [4, -2] og v⃗=[−1,3]\vec{v} = [-1, 3]. Rekn ut:

a
2u⃗2\vec{u}
b
−3v⃗-3\vec{v}
c
2u⃗+3v⃗2\vec{u} + 3\vec{v}
d
u⃗−2v⃗\vec{u} - 2\vec{v}

Vektorsubtraksjon

Subtraksjon av vektorar blir definert ved hjelp av addisjon og motsett vektor.

Vektorsubtraksjon
For to vektorar u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er differansen:

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)=[a1−a2,b1−b2]\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = [a_1 - a_2, b_1 - b_2]

Grafisk: u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} går frå sluttpunktet til v⃗\vec{v} til sluttpunktet til u⃗\vec{u} (når begge startar frå same punkt).

✏️Eksempel 5: Kombinerte operasjonar

La a⃗=[1,4]\vec{a} = [1, 4], b⃗=[3,−2]\vec{b} = [3, -2] og c⃗=[−2,1]\vec{c} = [-2, 1].

Rekn ut:
a) 2a⃗−b⃗2\vec{a} - \vec{b}
b) a⃗+2b⃗−3c⃗\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}
c) −a⃗+b⃗+c⃗-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

Løysing:

a) 2a⃗−b⃗=2[1,4]−[3,−2]=[2,8]−[3,−2]=[2−3,8−(−2)]=[−1,10]2\vec{a} - \vec{b} = 2[1, 4] - [3, -2] = [2, 8] - [3, -2] = [2 - 3, 8 - (-2)] = [-1, 10]

b) a⃗+2b⃗−3c⃗=[1,4]+2[3,−2]−3[−2,1]\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c} = [1, 4] + 2[3, -2] - 3[-2, 1]
=[1,4]+[6,−4]−[−6,3]= [1, 4] + [6, -4] - [-6, 3]
=[1+6−(−6),4+(−4)−3]= [1 + 6 - (-6), 4 + (-4) - 3]
=[13,−3]= [13, -3]

c) −a⃗+b⃗+c⃗=−[1,4]+[3,−2]+[−2,1]-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -[1, 4] + [3, -2] + [-2, 1]
=[−1,−4]+[3,−2]+[−2,1]= [-1, -4] + [3, -2] + [-2, 1]
=[−1+3+(−2),−4+(−2)+1]= [-1 + 3 + (-2), -4 + (-2) + 1]
=[0,−5]= [0, -5]

📝Oppgave 4

La p⃗=[2,1]\vec{p} = [2, 1], q⃗=[−1,3]\vec{q} = [-1, 3] og r⃗=[3,−4]\vec{r} = [3, -4]. Rekn ut:

a
p⃗−q⃗\vec{p} - \vec{q}
b
3p⃗+2q⃗3\vec{p} + 2\vec{q}
c
p⃗−q⃗+r⃗\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}
d
2p⃗−3q⃗+r⃗2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}

Parallelle vektorar

To vektorar kan ha same eller motsett retning. Då seier vi at dei er parallelle.

Parallelle vektorar
To vektorar u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er parallelle dersom den eine er eit skalart multiplum av den andre:

u⃗=k⋅v⃗for eit tal k≠0\vec{u} = k \cdot \vec{v} \quad \text{for eit tal } k \neq 0

Skrivemåte: u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}

Dersom k>0k > 0, har vektorane same retning.
Dersom k<0k < 0, har vektorane motsett retning.

✏️Eksempel 6: Parallelle vektorar

Avgjer om vektorane er parallelle:

a) u⃗=[2,6]\vec{u} = [2, 6] og v⃗=[1,3]\vec{v} = [1, 3]
b) a⃗=[3,−2]\vec{a} = [3, -2] og b⃗=[−6,4]\vec{b} = [-6, 4]
c) p⃗=[1,2]\vec{p} = [1, 2] og q⃗=[3,5]\vec{q} = [3, 5]

Løysing:

a) Vi undersøkjer om u⃗=k⋅v⃗\vec{u} = k \cdot \vec{v}:
[2,6]=k⋅[1,3][2, 6] = k \cdot [1, 3] gir 2=k⋅12 = k \cdot 1 og 6=k⋅36 = k \cdot 3
Frå første likning: k=2k = 2. Sjekk: 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 ✓
Altså er u⃗=2v⃗\vec{u} = 2\vec{v}, så u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}. Parallelle.

b) Vi undersøkjer om a⃗=k⋅b⃗\vec{a} = k \cdot \vec{b}:
[3,−2]=k⋅[−6,4][3, -2] = k \cdot [-6, 4] gir 3=−6k3 = -6k og −2=4k-2 = 4k
Frå første likning: k=−12\displaystyle k = -\frac{1}{2}. Frå andre likning: k=−12\displaystyle k = -\frac{1}{2} ✓
Altså er a⃗=−12b⃗\displaystyle \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}, så a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b}. Parallelle.

c) Vi undersøkjer om p⃗=k⋅q⃗\vec{p} = k \cdot \vec{q}:
[1,2]=k⋅[3,5][1, 2] = k \cdot [3, 5] gir 1=3k1 = 3k og 2=5k2 = 5k
Frå første likning: k=13\displaystyle k = \frac{1}{3}. Frå andre likning: k=25\displaystyle k = \frac{2}{5}.
Sidan 13≠25\displaystyle \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}, er dei ikkje parallelle.

📝Oppgave 5

Avgjer om vektorpara er parallelle. Grunngi svaret.

a
u⃗=[4,8]\vec{u} = [4, 8] og v⃗=[2,4]\vec{v} = [2, 4]
b
a⃗=[3,1]\vec{a} = [3, 1] og b⃗=[6,3]\vec{b} = [6, 3]
c
p⃗=[−2,5]\vec{p} = [-2, 5] og q⃗=[4,−10]\vec{q} = [4, -10]
d
r⃗=[1,0]\vec{r} = [1, 0] og s⃗=[0,1]\vec{s} = [0, 1]

Bruksområde for vektorar

Vektorar blir brukte i mange samanhengar, spesielt i fysikk og geometri.

✏️Eksempel 7: Midtpunkt mellom to punkt

Finn midtpunktet MM på linjestykket mellom A=(1,3)A = (1, 3) og B=(5,7)B = (5, 7) ved hjelp av vektorar.

Løysing:

La a⃗=OA⃗=[1,3]\vec{a} = \vec{OA} = [1, 3] og b⃗=OB⃗=[5,7]\vec{b} = \vec{OB} = [5, 7] vere stadvektorane.

Stadvektoren til midtpunktet er gjennomsnittet av stadvektorane:

OM⃗=12(a⃗+b⃗)=12([1,3]+[5,7])=12[6,10]=[3,5]\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}([1, 3] + [5, 7]) = \frac{1}{2}[6, 10] = [3, 5]

Altså er M=(3,5)M = (3, 5).

Alternativ metode: Midtpunktsformelen gir direkte:
M=(x1+x22,y1+y22)=(1+52,3+72)=(3,5)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = (3, 5)

📝Oppgave 6

Bruk vektorar til å løyse oppgåvene.

a

Finn midtpunktet mellom A=(2,−4)A = (2, -4) og B=(8,6)B = (8, 6).

b

Punktet A=(1,2)A = (1, 2) blir flytta med vektor v⃗=[3,−1]\vec{v} = [3, -1]. Kvar hamnar punktet?

c

Finn vektoren som fører punktet (3,5)(3, 5) til punktet (−1,2)(-1, 2).

📝Oppgave 7

Samansette oppgåver med vektorar.

a

I ein trekant er A=(0,0)A = (0, 0), B=(6,0)B = (6, 0) og C=(2,4)C = (2, 4). Finn midtpunkta på alle tre sider.

b

Vis at vektoren frå AA til midtpunktet på BCBC er v⃗=[4,2]\vec{v} = [4, 2].

c

Finn koordinatane til tyngdepunktet TT i trekanten. (Hint: TT deler medianen frå AA i forholdet 2:12:1)

Oppsummering

Vektor:
- Ein storleik med både lengd og retning
- Blir skriven som v⃗\vec{v}, vˉ\bar{v} eller v\mathbf{v}

Komponentform:
- v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] der aa og bb er komponentane
- AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]

Vektoroperasjonar:
- Addisjon: [a1,b1]+[a2,b2]=[a1+a2,b1+b2][a_1, b_1] + [a_2, b_2] = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]
- Skalar multiplikasjon: k[a,b]=[ka,kb]k[a, b] = [ka, kb]
- Subtraksjon: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})

Spesielle vektorar:
- Nullvektor: 0⃗=[0,0]\vec{0} = [0, 0]
- Einingsvektorar: i⃗=[1,0]\vec{i} = [1, 0], j⃗=[0,1]\vec{j} = [0, 1]

Parallelle vektorar:
- u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v} dersom u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v} for ein skalar k≠0k \neq 0

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.