5.1 Eksponentiell vekst | Matematikk R1

Modellere eksponentiell vekst og nedgang.

55 min

12 oppgaver

Eksponentiell vekstVekstfaktorHalvveringstidDoblingstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Eksponential- og logaritmeligninger 4.3Kjerneregelen

Brukes videre i

5.2Logistisk vekst 5.3Modellering med reelle datasett

Kva er eksponentiell vekst?

Eksponentiell vekst oppstår når ein storleik veks med ein fast prosent per tidseining. Dette er fundamentalt forskjellig frå lineær vekst, der storleiken veks med eit fast beløp.

Eksponentiell vekst finst overalt:
- Folkevekst i land med høg fødselsrate
- Rentes rente på bankinnskot
- Bakterievekst under ideelle forhold
- Spreiing av virusinfeksjonar i tidleg fase

I dette kapittelet skal vi lære å modellere slik vekst matematisk og bruke modellane til å gjere prediksjonar.

Den eksponentielle vekstmodellen

Det finst to vanlege måtar å skrive eksponentiell vekst på, avhengig av om vi bruker vekstfaktor eller kontinuerleg vekstrate.

Eksponentiell vekst med vekstfaktor

N(t)

Eksponentiell vekst med kontinuerleg vekstrate

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

Samanheng mellom dei to formene:

Dei to formene er ekvivalente med samanhengen:
$a = e^k \quad \text{eller} \quad k = \ln a$

Viss vekstfaktoren er $a = 1{,}05$ (5% vekst per år), er den kontinuerlege vekstraten:
$k = \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488 \approx 4{,}88\%$

✏️Eksempel 1: Folkevekst

I 2020 hadde eit land 10 millionar innbyggjarar. Folketalet veks med 2% per år.

a) Set opp ein modell for folketalet $N(t)$ der $t$ er talet på år etter 2020.
b) Kva blir folketalet i 2030?
c) Skriv modellen på forma $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ .

Løysing:

a) Med 2% vekst per år er vekstfaktoren $a = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ .

$N(t) = 10 \cdot 1{,}02^t \text{ millionar}$

b) I 2030 er $t = 10$ :
$N(10) = 10 \cdot 1{,}02^{10} \approx 10 \cdot 1{,}219 \approx 12{,}2 \text{ millionar}$

c) Vi finn $k$ :
$k = \ln(1{,}02) \approx 0{,}0198$

Modellen blir:
$N(t) = 10 \cdot e^{0{,}0198t}$

Vekstfaktor og prosentvis vekst

Når vi snakkar om prosentvis vekst, er det viktig å skilje mellom vekstrate (prosenten) og vekstfaktor (det vi gangar med).

📜Vekstfaktor og vekstrate

Viss ein storleik veks med $p\%$ per tidseining, er:

Vekstraten: $\displaystyle r = \frac{p}{100}$

Vekstfaktoren: $\displaystyle a = 1 + r = 1 + \frac{p}{100}$

Eksempel:
- 5% vekst: $a = 1{,}05$
- 3% nedgang: $a = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$
- 12% vekst: $a = 1{,}12$

✏️Eksempel 2: Vekstfaktor og prosent

a) Eit innskot gir 3,5% rente per år. Kva er vekstfaktoren?
b) Ein bilverdi søkk med 15% per år. Kva er vekstfaktoren?
c) Ein vekstfaktor er $a = 1{,}08$ . Kva er den prosentvise veksten?

Løysing:

a) 3,5% vekst gir vekstfaktor:
$a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035$

b) 15% nedgang gir vekstfaktor:
$a = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$

c) Frå $a = 1{,}08 = 1 + 0{,}08$ får vi:
$p = 0{,}08 \cdot 100 = 8\%$

Den prosentvise veksten er 8%.

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren $a$ for kvar situasjon.

4% vekst per år

7% nedgang per år

Dobling kvart år

0,5% vekst per månad

Halvering kvart år

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Set opp ein eksponentiell modell $N(t) = N_0 \cdot a^t$ for kvar situasjon.

Eit innskot på 50 000 kr med 4% rente per år. $t$ = år.

Ein by med 100 000 innbyggjarar og 1,5% årleg vekst. $t$ = år.

Ein bakteriekultur startar med 1000 bakteriar og blir dobla kvar time. $t$ = timar.

Ein bil til 400 000 kr som søkk 12% i verdi per år. $t$ = år.

Løs oppgaven Tren

Doblingstid

Eit viktig kjenneteikn ved eksponentiell vekst er at doblingstida er konstant. Uansett når vi startar, tek det like lang tid for storleiken å doble seg.

📜Formel for doblingstid

For eksponentiell vekst

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

med

k > 0

er doblingstida:

$t_2 = \frac{\ln 2}{k}$

Med vekstfaktor $a$ per tidseining:
$t_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$

Merk: $\ln 2 \approx 0{,}693$

Utleiing av doblingstidsformelen

Vi vil finne tida

t_2

det tek før

N(t_2) = 2 \cdot N_0

$N_0 \cdot e^{kt_2} = 2 \cdot N_0$
$e^{kt_2} = 2$
$kt_2 = \ln 2$
$t_2 = \frac{\ln 2}{k}$

∎

✏️Eksempel 3: Rekne ut doblingstid

Eit folketal veks med 3% per år.

a) Kva er doblingstida?
b) Kor mange gonger vil folketalet doble seg på 100 år?

Løysing:

a) Vekstfaktoren er $a = 1{,}03$ , så $k = \ln(1{,}03) \approx 0{,}0296$ .

$t_2 = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4 \text{ år}$

Doblingstida er ca. 23 år.

b) På 100 år:
$\frac{100}{23{,}4} \approx 4{,}3$

Folketalet vil doble seg omtrent 4 gonger, altså bli ca. $2^4 = 16$ gonger så stort.

Kontroll: $1{,}03^{100} \approx 19{,}2$ ✓

Tommelfingerregel for doblingstid (72-regelen):

For små vekstrater gir denne tilnærminga eit godt estimat:

$t_2 \approx \frac{72}{p}$

der $p$ er vekstraten i prosent.

Eksempel: 6% vekst gir doblingstid ca. $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år.

Denne regelen er spesielt populær i økonomi og finans.

📝Oppgave 3

Rekn ut doblingstida.

Årleg vekst på 5%

Kontinuerleg vekstrate $k = 0{,}02$

Bakteriekultur som blir tredobla på 4 timar

Ein storleik som veks frå 100 til 400 på 10 år

Løs oppgaven Tren

Halveringstid

Når vi har eksponentiell avtaking ( $k < 0$ ), snakkar vi om halveringstid i staden for doblingstid. Dette er spesielt viktig i radioaktiv nedbryting.

📜Formel for halveringstid

For eksponentiell avtaking

N(t) = N_0 \cdot e^{-|k|t}

er halveringstida:

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$

Merk: Formelen er identisk med doblingstid, men blir brukt når $k < 0$ .

✏️Eksempel 4: Radioaktiv nedbryting

Karbon-14 har halveringstid på 5730 år og blir brukt til å datere arkeologiske funn.

a) Finn den kontinuerlege nedbrytingsraten $k$ .
b) Eit funn inneheld 25% av den opphavlege mengda C-14. Kor gammalt er funnet?
c) Set opp ein formel for mengda C-14 som funksjon av tid.

Løysing:

a) Frå halveringstidsformelen:
$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \Rightarrow |k| = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730} \approx 0{,}000121$

Sidan det er nedbryting: $k \approx -0{,}000121$ per år.

b) Vi løyser $N(t) = 0{,}25 \cdot N_0$ :
$N_0 \cdot e^{kt} = 0{,}25 \cdot N_0$
$e^{kt} = 0{,}25$
$kt = \ln(0{,}25) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln 4$
$t = \frac{-\ln 4}{k} = \frac{\ln 4}{0{,}000121} \approx 11\,460 \text{ år}$

Alternativt: 25% = $\displaystyle (\frac{1}{2})^2$ , så det har gått 2 halveringstider: $2 \cdot 5730 = 11\,460$ år.

c) Modellen blir:
$N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}000121t}$
eller
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene om halveringstid.

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 10 dagar. Finn nedbrytingsraten $k$ .

Kor mykje er igjen av stoffet i a) etter 30 dagar?

Jod-131 har halveringstid 8 dagar. Kor lang tid tek det før berre 10% er igjen?

Ein medisin har halveringstid 4 timar. Du tek 400 mg. Kor mykje er i kroppen etter 10 timar?

Løs oppgaven Tren

Derivasjon av eksponentiell vekst

Ein viktig eigenskap ved eksponentiell vekst er at den deriverte er proporsjonal med funksjonen sjølv. Dette er nettopp det som kjenneteiknar eksponentiell vekst!

📜Derivasjon av eksponentiell funksjon

For

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

gjeld:

$N'(t) = k \cdot N_0 \cdot e^{kt} = k \cdot N(t)$

Tolking: Veksthastigheita $N'(t)$ er alltid ein fast del $k$ av noverande verdi $N(t)$ .

For $f(t) = N_0 \cdot a^t$ :
$f'(t) = N_0 \cdot a^t \cdot \ln a = f(t) \cdot \ln a$

✏️Eksempel 5: Veksthastigheit

Folketalet i eit land blir modellert med $N(t) = 5 \cdot e^{0{,}02t}$ millionar, der $t$ er år etter 2020.

a) Finn $N'(t)$ og forklar kva han representerer.
b) Kor raskt veks folketalet i 2025?
c) Kor stor prosentdel av folketalet er den årlege veksten?

Løysing:

a) $N'(t) = 0{,}02 \cdot 5 \cdot e^{0{,}02t} = 0{,}1 \cdot e^{0{,}02t}$

$N'(t)$ representerer veksthastigheita, altså kor mange millionar menneske folketalet aukar med per år.

b) I 2025 er $t = 5$ :
$N'(5) = 0{,}1 \cdot e^{0{,}02 \cdot 5} = 0{,}1 \cdot e^{0{,}1} \approx 0{,}1 \cdot 1{,}105 \approx 0{,}11$

Folketalet veks med ca. 110 000 menneske per år i 2025.

c) Den relative veksthastigheita er:
$\frac{N'(t)}{N(t)} = \frac{0{,}02 \cdot N(t)}{N(t)} = 0{,}02 = 2\%$

Den årlege veksten er alltid 2% av folketalet (dette er konstant for eksponentiell vekst).

📝Oppgave 5

Deriver funksjonane og finn veksthastigheita ved oppgitt tidspunkt.

N(t) = 1000 \cdot e^{0{,}05t}

. Finn

N'(t)

N'(10)

P(t) = 200 \cdot 1{,}03^t

. Finn

P'(t)

P'(5)

A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}

(nedbryting). Finn

A'(t)

A'(0)

📊Eksponentiell vekst

Utforsk eksponentiell vekst. Bruk glidebrytarane til å endre startverdien $N_0$ og vekstraten $k$ .

Praktiske bruksområde

Eksponentiell vekst blir brukt i mange praktiske samanhengar. Lat oss sjå på nokre viktige eksempel.

✏️Eksempel 6: Rentes rente

Du set inn 100 000 kr i ein sparekonto med 5% årleg rente.

a) Kor mykje har du etter 20 år?
b) Kor lang tid tek det før innskotet er dobla?
c) Samanlikn med eit innskot med 3% rente. Kor mykje meir får du med 5% etter 30 år?

Løysing:

a) Med vekstfaktor $a = 1{,}05$ :
$N(20) = 100\,000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 100\,000 \cdot 2{,}653 \approx 265\,300 \text{ kr}$

b) Doblingstid:
$t_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} = \frac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}2 \text{ år}$

c) Med 5% etter 30 år: $100\,000 \cdot 1{,}05^{30} \approx 432\,200$ kr

Med 3% etter 30 år: $100\,000 \cdot 1{,}03^{30} \approx 242\,700$ kr

Differanse: $432\,200 - 242\,700 = 189\,500$ kr

Konklusjon: 2 prosentpoeng høgare rente gir nesten dobbelt så mykje etter 30 år!

📝Oppgave 6

Løys dei praktiske oppgåvene.

Du låner 500 000 kr med 6% rente. Kor mykje skuldar du etter 5 år utan nedbetaling?

Ein bakteriekultur blir dobla kvart 20. minutt. Startar med 100 bakteriar. Kor mange etter 2 timar?

Verdsfolketalet var 6 milliardar i 2000 og veks ca. 1,1% per år. Når passerer vi 10 milliardar?

Eit legemiddel har halveringstid 6 timar. Du tek 200 mg. Når er det mindre enn 10 mg igjen?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Eksponentiell vekstmodell:
$N(t) = N_0 \cdot a^t = N_0 \cdot e^{kt}$

der $a = e^k$ og $k = \ln a$ .

Vekstfaktor: $a = 1 + r$ for vekstrate $r$ (frå $p\%$ : $r = p/100$ )

Doblingstid: $\displaystyle t_2 = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{\ln a}$

Halveringstid: $\displaystyle t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$ (for $k < 0$ )

Derivasjon: $(N_0 \cdot e^{kt})' = k \cdot N_0 \cdot e^{kt}$

Viktig eigenskap: $N'(t) = k \cdot N(t)$ - veksthastigheita er proporsjonal med verdien

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.