4.3 Kjerneregelen

Derivasjon av sammensatte funksjoner.

50 min

12 oppgaver

KjerneregelenIndre derivertYtre derivertSammensatte funksjoner

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner 2.3Sammensatte funksjoner

Brukes videre i

4.4Produktregelen og kvotientregelen 4.7Relaterte rater 5.1Eksponentiell vekst

Samansette funksjonar og kjerneregelen

Mange funksjonar er bygde opp av fleire funksjonar sette inn i kvarandre. Til dømes er $f(x) = e^{2x}$ ein samansett funksjon – vi har $e^u$ der $u = 2x$ .

Kjerneregelen (òg kalla kjederegelen) fortel oss korleis vi deriverer slike funksjonar.

Kva er ein samansett funksjon?

Ein samansett funksjon er ein funksjon der vi først brukar éin funksjon, og deretter ein annan funksjon på resultatet.

Samansett funksjon

f(g(x))

✏️Døme 1: Identifisere ytre og indre funksjon

Bestem ytre og indre funksjon i:

a) $f(x) = (x^2 + 1)^5$
b) $g(x) = \ln(3x)$
c) $h(x) = e^{x^2}$
d) $p(x) = \sqrt{x^3 - 2}$

Løysing:

a) $f(x) = (x^2 + 1)^5$
- Ytre funksjon: $u^5$
- Indre funksjon: $u = x^2 + 1$

b) $g(x) = \ln(3x)$
- Ytre funksjon: $\ln u$
- Indre funksjon: $u = 3x$

c) $h(x) = e^{x^2}$
- Ytre funksjon: $e^u$
- Indre funksjon: $u = x^2$

d) $p(x) = \sqrt{x^3 - 2} = (x^3 - 2)^{1/2}$
- Ytre funksjon: $u^{1/2}$
- Indre funksjon: $u = x^3 - 2$

Kjerneregelen

Når vi deriverer ein samansett funksjon, må vi ta omsyn til både den ytre og den indre funksjonen.

📜Kjerneregelen

Viss

f(x) = h(g(x))

er ein samansett funksjon, så er

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$

Med ord: Ytre deriverte gonger indre deriverte.

Alternativ notasjon: Viss $y = f(u)$ og $u = g(x)$ , så er
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Framgangsmåte for kjerneregelen:

1. Identifiser den ytre funksjonen og kjernen (den indre funksjonen)
2. Deriver den ytre funksjonen (la kjernen vere uendra)
3. Multipliser med den deriverte av kjernen

$\text{(ytre deriverte)} \cdot \text{(indre deriverte)}$

Kjerneregelen med potensfunksjonar

Ein vanleg type samansett funksjon er $(\text{noko})^n$ , der "noko" er ein funksjon av $x$ .

📜Generalisert potensregel

Viss

f(x) = (g(x))^n

, så er

$f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$

✏️Døme 2: Kjerneregelen med potensar

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Løysing:

Vi identifiserer:
- Ytre funksjon: $u^5$ , med deriverte $5u^4$
- Indre funksjon (kjerne): $u = x^2 + 1$ , med deriverte $2x$

Kjerneregelen gir:
$f'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Steg for steg:
1. Ytre deriverte: $5(x^2 + 1)^4$ (vi lèt kjernen stå)
2. Indre deriverte: $2x$
3. Gonger saman: $5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

✏️Døme 3: Fleire potensdøme

Deriver desse funksjonane:

a) $f(x) = (3x - 2)^4$
b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{1/2}$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{(2x + 1)^3} = (2x + 1)^{-3}$

Løysing:

a) $f(x) = (3x - 2)^4$
- Kjerne: $u = 3x - 2$ , $u' = 3$
$f'(x) = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

b) $g(x) = (x^2 + 4)^{1/2}$
- Kjerne: $u = x^2 + 4$ , $u' = 2x$
$g'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 4)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$

c) $h(x) = (2x + 1)^{-3}$
- Kjerne: $u = 2x + 1$ , $u' = 2$
$h'(x) = -3(2x + 1)^{-4} \cdot 2 = -\frac{6}{(2x + 1)^4}$

📝Oppgave 1

Deriver desse funksjonane ved å bruke kjerneregelen.

f(x) = (x + 3)^6

g(x) = (2x - 1)^5

h(x) = (x^2 - 3x)^4

p(x) = (x^3 + 2)^2

Løs oppgaven Tren

Kjerneregelen med $e^{g(x)}$

Når vi deriverer $e^{\text{noko}}$ der "noko" er ein funksjon av $x$ , brukar vi at $(e^u)' = e^u$ saman med kjerneregelen.

📜Derivasjon av

e^{g(x)}

Viss

f(x) = e^{g(x)}

, så er

$f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$

✏️Døme 4: Kjerneregelen med $e^x$

Deriver desse funksjonane:

a) $f(x) = e^{2x}$
b) $g(x) = e^{x^2}$
c) $h(x) = e^{-x}$

Løysing:

a) $f(x) = e^{2x}$
- Kjerne: $u = 2x$ , $u' = 2$
$f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

b) $g(x) = e^{x^2}$
- Kjerne: $u = x^2$ , $u' = 2x$
$g'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

c) $h(x) = e^{-x}$
- Kjerne: $u = -x$ , $u' = -1$
$h'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

📝Oppgave 2

Deriver desse eksponentialfunksjonane.

f(x) = e^{3x}

g(x) = e^{-2x}

h(x) = e^{x^2 + 1}

p(x) = 3e^{4x}

Løs oppgaven Tren

Kjerneregelen med $\ln(g(x))$

Når vi deriverer $\ln(\text{noko})$ der "noko" er ein funksjon av $x$ , brukar vi at $\displaystyle (\ln u)' = \frac{1}{u}$ saman med kjerneregelen.

📜Derivasjon av

\ln(g(x))

Viss

f(x) = \ln(g(x))

der

g(x) > 0

, så er

$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$

✏️Døme 5: Kjerneregelen med $\ln x$

Deriver desse funksjonane:

a) $f(x) = \ln(2x)$
b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
c) $h(x) = \ln(3x^2)$

Løysing:

a) $f(x) = \ln(2x)$
- Kjerne: $u = 2x$ , $u' = 2$
$f'(x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$

b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
- Kjerne: $u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$
$g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

c) $h(x) = \ln(3x^2)$
- Kjerne: $u = 3x^2$ , $u' = 6x$
$h'(x) = \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x}$

Merk: I a) og c) kunne vi òg brukt logaritmereglar først:
- $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$ , så $\displaystyle (\ln(2x))' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

📝Oppgave 3

Deriver desse logaritmefunksjonane.

f(x) = \ln(5x)

g(x) = \ln(x^3)

h(x) = \ln(x^2 - 4)

p(x) = \ln(e^x + 1)

Løs oppgaven Tren

Kombinasjon med andre reglar

Ofte må vi kombinere kjerneregelen med sumregelen og konstantregelen.

✏️Døme 6: Kombinerte funksjonar

Deriver $f(x) = x^2 + e^{3x} - \ln(x + 1)$ .

Løysing:

Vi deriverer kvart ledd for seg:

1. $(x^2)' = 2x$

2. $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$ (kjerneregelen)

3. $\displaystyle (\ln(x + 1))' = \frac{1}{x + 1}$ (kjerneregelen, $u' = 1$ )

Svar:
$f'(x) = 2x + 3e^{3x} - \frac{1}{x + 1}$

✏️Døme 7: Dobbel bruk av kjerneregelen

Deriver $f(x) = e^{(x^2 + 1)^3}$ .

Løysing:

Her har vi ein "dobbelt samansett" funksjon:
- Ytre: $e^v$
- Mellom: $v = u^3$ der $u = x^2 + 1$
- Indre: $u = x^2 + 1$

Vi kan tenkje trinnvis:
1. $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ der $g(x) = (x^2 + 1)^3$
2. $g'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$

Svar:
$f'(x) = e^{(x^2 + 1)^3} \cdot 6x(x^2 + 1)^2$

📝Oppgave 4

Deriver desse funksjonane.

f(x) = x^3 + e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1)^3 - \ln(2x)

h(x) = 2e^{-x} + 3\sqrt{x + 1}

p(x) = \ln(x^2) + e^{x^2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Deriver funksjonane og forenkle svaret.

f(x) = \sqrt{1 - x^2}

\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

h(x) = e^{\sqrt{x}}

p(x) = \ln(\ln x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn likninga til tangenten i det oppgjevne punktet.

f(x) = e^{2x}

i punktet

(0, 1)

f(x) = \ln(x + 1)

i punktet

(0, 0)

f(x) = (x - 1)^3

i punktet

(2, 1)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys desse oppgåvene.

Finn $f''(x)$ når $f(x) = e^{2x}$ .

Vis at $f(x) = e^{-x^2}$ har eit maksimum for $x = 0$ .

For kva $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = \ln(2x)$ stigingstal $\displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Kjerneregelen:
$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Viktige spesialtilfelle:

Funksjon	Deriverte
$(g(x))^n$	$n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \cdot \ln a \cdot g'(x)$

Hugseregel: Ytre deriverte

\times

indre deriverte

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Samansette funksjonar og kjerneregelen

Kva er ein samansett funksjon?

Kjerneregelen

Kjerneregelen med potensfunksjonar

Kjerneregelen med eg(x)e^{g(x)}eg(x)

Kjerneregelen med ln⁡(g(x))\ln(g(x))ln(g(x))

Kombinasjon med andre reglar

Oppsummering

Kjerneregelen med $e^{g(x)}$

Kjerneregelen med $\ln(g(x))$