3.3 Definisjonen av derivasjon | Matematikk R1

Gjennomsnittleg og momentan vekstfart, den deriverte geometrisk, algebraisk og numerisk, og tangentlikningar.

75 min

19 oppgaver

Gjennomsnittleg og momentan vekstfartSekant og tangentDefinisjonen av derivasjonTangentlikningNumerisk derivasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Brukes videre i

3.4L'Hôpitals regel 3.5Newtons metode 4.1Derivasjonsregler

Frå vekstfart til derivasjon

I dette kapittelet skal vi utvikle den matematiske definisjonen av den deriverte. Vi startar med det intuitive omgrepet vekstfart og ser korleis vi kan gjere dette presist ved hjelp av grenseverdiar.

Tenk på ein bil som køyrer langs ein veg. Dersom bilen legg bak seg 100 km på 2 timar, er gjennomsnittsfarten $\displaystyle \frac{100}{2} = 50$ km/h. Men kva er farten akkurat i eit gitt augneblink? Dette er eit spørsmål om momentan vekstfart, og svaret ligg i definisjonen av derivasjon.

Gjennomsnittleg vekstfart

Når vi har ein funksjon $f(x)$ , kan vi berekne kor mykje funksjonsverdien endrar seg i gjennomsnitt mellom to punkt.

Gjennomsnittleg vekstfart

f

Geometrisk tolking:

Ein sekant er ei rett linje som skjer grafen i to punkt. Stigingstalet til sekanten fortel oss kor bratt funksjonen stig (eller søkk) i gjennomsnitt mellom desse to punkta.

Dersom vi set $b = a + h$ , der $h$ er avstanden mellom $x$ -verdiane, får vi den alternative forma:

$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Dette blir kalla differansekvotienten eller Newton-kvotienten.

✏️Døme 1: Gjennomsnittleg vekstfart

Lat $f(x) = x^2$ . Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet $[1, 3]$ .

Løysing:

Vi bruker formelen for gjennomsnittleg vekstfart:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Svar: Den gjennomsnittlege vekstfarten er $4$ .

Dette tyder at sekanten gjennom $(1, 1)$ og $(3, 9)$ har stigingstal $4$ .

Gjør dette i GeoGebra

Sekant til f(x) = x^2

Visualisering av sekanten mellom to punkt på parabelen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = (1, f(1))
B = (3, f(3))
sekant = Line(A, B)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Finn den gjennomsnittlege vekstfarten for funksjonen i det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2

i intervallet

[2, 4]

f(x) = x^3

i intervallet

[1, 2]

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

i intervallet

[1, 4]

f(x) = \sqrt{x}

i intervallet

[4, 9]

Løs oppgaven

Momentan vekstfart

Kva skjer dersom vi lèt dei to punkta kome nærmare og nærmare kvarandre? Sekanten vil då nærme seg ein tangent - ei linje som rører grafen i punktet og har same retning som grafen der. (Tangenten kan godt skjere grafen ein annan stad.)

Den momentane vekstfarten i eit punkt er stigingstalet til tangenten i det punktet.

Frå sekant til tangent:

Tenk på at vi har funksjonen $f(x) = x^2$ og vil finne den momentane vekstfarten i punktet $x = 2$ .

Vi reknar den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 2$ til $x = 2 + h$ for stadig mindre verdiar av $h$ :

$h$	Gjennomsnittleg vekstfart
$1$	$\displaystyle \frac{(2+1)^2 - 2^2}{1} = \frac{9-4}{1} = 5$
$0{,}5$	$\displaystyle \frac{(2{,}5)^2 - 4}{0{,}5} = \frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5$
$0{,}1$	$\displaystyle \frac{(2{,}1)^2 - 4}{0{,}1} = \frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1$
$0{,}01$	$\displaystyle \frac{(2{,}01)^2 - 4}{0{,}01} = \frac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01$

Vi ser at når

h \to 0

, nærmar den gjennomsnittlege vekstfarten seg

4

Gjør dette i GeoGebra

Frå sekant til tangent

Bruk glidebrytaren til å sjå korleis sekanten nærmar seg tangenten når h går mot 0.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
a = 2
h = Slider(0.01, 2, 0.01)
A = (a, f(a))
B = (a + h, f(a + h))
sekant = Line(A, B)
tangent = Tangent(A, f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 2

Bruk ein tabell til å estimere den momentane vekstfarten.

Lat $f(x) = x^2$ . Rekn ut $\displaystyle \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Kva nærmar verdiane seg?

Lat $g(x) = x^3$ . Rekn ut $\displaystyle \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Kva nærmar verdiane seg?

Løs oppgaven

Definisjonen av derivasjon

No er vi klare til å gi den presise matematiske definisjonen av den deriverte. Den deriverte er grenseverdien av differansekvotienten når $h$ går mot $0$ .

📜Definisjonen av derivasjon

Den deriverte av funksjonen

f

i punktet

x = a

er definert som:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

føresett at denne grenseverdien eksisterer.

Alternativ form: Ved å setje $x = a + h$ (slik at $h = x - a$ ) får vi:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Notasjon for den deriverte:

Vi bruker fleire ulike notasjonar for den deriverte:

- $f'(x)$ - Lagranges notasjon (mest brukt i Noreg)
- $\displaystyle \frac{df}{dx}$ eller $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ - Leibniz' notasjon
- $Df(x)$ - Operatornotasjon

Alle desse tyder det same: den deriverte av $f$ med omsyn på $x$ .

✏️Døme 2: Derivasjon frå definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$ .

Løysing:

Vi bruker definisjonen:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Rekn ut $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

Rekn ut differansen $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$

Del på $h$ :
$\begin{aligned} &\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} \\ = {}&\frac{h(2x + h)}{h} \\ = {}&2x + h \end{aligned}$

Ta grenseverdien når $h \to 0$ :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Svar: $f'(x) = 2x$

Dette stadfestar at den deriverte av $x^2$ er $2x$ .

✏️Døme 3: Derivasjon av

f(x) = x^3

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^3$ .

Løysing:

Rekn ut $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Her har vi brukt $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ .

Rekn ut differansen:
$\begin{aligned} &f(x+h) - f(x) \\ = {}&x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 \\ = {}&3x^2h + 3xh^2 + h^3 \end{aligned}$

Del på $h$ :
$\begin{aligned} &\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ = {}&\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\ = {}&\frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\ = {}&3x^2 + 3xh + h^2 \end{aligned}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$

Svar: $f'(x) = 3x^2$

📝Oppgave 3

Bruk definisjonen til å finne den deriverte.

f(x) = 3x

f(x) = x^2 + 2x

f(x) = 5

f(x) = x^2 - 3x + 1

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Eit firma sel $x$ einingar av eit produkt. Inntektsfunksjonen er $I(x) = 500x - 2x^2$ (i kroner).

Finn gjennomsnittleg inntektsauke per eining når produksjonen blir auka frå 50 til 60 einingar.

Finn den momentane inntektsendringa når $x = 50$ (marginalinntekta).

For kva for ein verdi av $x$ er marginalinntekta lik null?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Derivasjon av

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ .

Løysing:

Rekn ut $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}$

Finn fellesnemnar:
$= \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{x - x - h}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$

Del på $h$ :
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

✏️Døme 5: Derivasjon av

f(x) = \sqrt{x}

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = \sqrt{x}$ for $x > 0$ .

Løysing:

Set opp differansekvotienten:
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

Utvid med konjugatet:
$= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

Forenkle:
$= \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Tips: Konjugatmetoden

Når differansekvotienten inneheld rotuttrykk, er det ofte nyttig å utvide med konjugatet:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{h} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a - b}{h(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Dette eliminerer røtene i teljaren.

📝Oppgave 5

Bruk definisjonen til å finne den deriverte. Vis alle mellomrekningar.

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x}

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}

f(x) = \sqrt{2x}

Løs oppgaven

Geometrisk tolking

Den deriverte $f'(a)$ har ei viktig geometrisk tyding: ho er stigingstalet til tangentlinja til grafen i punktet $(a, f(a))$ .

📜Likninga til tangenten

Tangenten til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har likninga:

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

eller på forma $y = ax + b$ :

$y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))$

✏️Døme 6: Finn likninga til tangenten

Lat $f(x) = x^2$ . Finn likninga for tangenten til grafen i punktet der $x = 3$ .

Løysing:

Finn $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 = 9$

Røringspunktet er $(3, 9)$ .

Finn $f'(x)$ :
Vi veit frå før at $f'(x) = 2x$ .

Finn stigingstalet $f'(3)$ :
$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$

Set opp tangentlikninga:
$y - 9 = 6(x - 3)$
$y = 6x - 18 + 9$
$y = 6x - 9$

Svar: Likninga til tangenten er $y = 6x - 9$ .

Gjør dette i GeoGebra

Tangent til f(x) = x^2 i x = 3

Grafen til

f(x) = x^2

med tangenten i punktet

(3, 9)

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = (3, f(3))
t(x) = 6x - 9

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 6

Finn likninga for tangenten til grafen i det oppgitte punktet.

f(x) = x^2

x = 2

f(x) = x^3

x = 1

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Løs oppgaven

✏️Døme 7: Tangent gjennom eit punkt utanfor grafen

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = e^{2x}$ . Bestem likninga for tangenten til grafen til $f$ som går gjennom origo. Du kan bruke at $f'(x) = 2e^{2x}$ .

Løysing:

Punktet $(0, 0)$ ligg ikkje på grafen, sidan $f(0) = 1$ . Vi kjenner derfor ikkje tangeringspunktet og kallar det $(a, f(a)) = (a, e^{2a})$ .

Vi bruker at $f'(x) = 2e^{2x}$ (dette blir grunngitt med kjerneregelen i delkapittel 4.3), så $f'(a) = 2e^{2a}$ .

Tangenten i $x = a$ :
$y = e^{2a} + 2e^{2a}(x - a)$

Tangenten skal gå gjennom $(0, 0)$ :
$0 = e^{2a} + 2e^{2a}(0 - a) = e^{2a}(1 - 2a)$

Sidan $e^{2a} > 0$ , må $1 - 2a = 0$ , altså $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ .

Tangeringspunktet er $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, e\right)$ , og stigningstallet er $\displaystyle f'\!\left(\frac{1}{2}\right) = 2e$ .

$y = e + 2e\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2ex$

Svar: $y = 2ex$ , med tangeringspunkt $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, e\right)$ .

📝Oppgave 7

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2$ . Punktet $P(1, -3)$ ligg ikkje på grafen til $f$ .

Vis at tangenten i punktet $(a, a^2)$ har likninga $y = 2ax - a^2$ .

Bestem likningane for dei to tangentane som går gjennom $P$ .

📝Oppgave 8

Lat $f(x) = x^2 + 1$ . Finn likninga for den rette linja gjennom $(0, -3)$ som er tangent til grafen til $f$ .

📝Oppgave 9

Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = \ln x$ , $x > 0$ . Du kan bruke at $\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x}$ .

Bestem likninga for tangenten til grafen til $g$ som går gjennom origo.

Bestem likninga for tangenten til grafen til $g$ som går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Numerisk derivasjon

Nokre gonger er det vanskeleg eller umogleg å finne den deriverte analytisk. Då kan vi tilnærme den deriverte numerisk ved å velje ein liten verdi for $h$ .

Numeriske tilnærmingar

f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Kvifor er sentral differanse meir nøyaktig?

Sentral differanse bruker informasjon frå begge sider av punktet $a$ , noko som gir ei betre tilnærming. Feilen i sentral differanse er proporsjonal med $h^2$ , medan feilen i framover/bakover-differanse er proporsjonal med $h$ .

For $h = 0{,}01$ : Sentral differanse har feil $\sim 0{,}0001$ , medan dei andre har feil $\sim 0{,}01$ .

✏️Døme 8: Numerisk derivasjon

Lat $f(x) = \ln x$ . Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(2)$ .

Løysing:

Vi bruker formelen for sentral differanse:
$f'(2) \approx \frac{f(2 + 0{,}01) - f(2 - 0{,}01)}{2 \cdot 0{,}01} = \frac{\ln 2{,}01 - \ln 1{,}99}{0{,}02}$

Reknar:
- $\ln 2{,}01 \approx 0{,}698135$
- $\ln 1{,}99 \approx 0{,}688135$

$\begin{aligned} f'(2) &\approx \frac{0{,}698135 - 0{,}688135}{0{,}02} \\ &= \frac{0{,}010000}{0{,}02} \\ &= 0{,}5000 \end{aligned}$

Samanlikning: I kapittel 4.2 viser vi at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ . Då er $\displaystyle f'(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .

Svar: $f'(2) \approx 0{,}5000$ , som stemmer med den eksakte verdien $\displaystyle \frac{1}{2}$ på fire desimalar.

📝Oppgave 10

Bruk numerisk derivasjon til å tilnærme den deriverte.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(2)$ for $f(x) = x^3$ . Samanlikn med eksakt svar.

Bruk framoverdifferanse med $h = 0{,}001$ til å tilnærme $f'(1)$ for $f(x) = e^x$ . Samanlikn med eksakt svar.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(0)$ for $f(x) = e^x$ . Samanlikn med eksakt svar.

Løs oppgaven

Når er ein funksjon deriverbar?

Ein funksjon er deriverbar i eit punkt dersom grenseverdien i definisjonen av derivasjon eksisterer. Men ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt.

📜Deriverbarheit og kontinuitet

Dersom $f$ er deriverbar i $x = a$ , så er $f$ kontinuerleg i $x = a$ .

Merk: Det motsette gjeld ikkje! Ein funksjon kan vere kontinuerleg utan å vere deriverbar.

Tilfelle der ein funksjon ikkje er deriverbar:

1. Spisse hjørne: Funksjonen $f(x) = |x|$ er ikkje deriverbar i $x = 0$ fordi venstre- og høgresidige grenseverdiar er ulike.

2. Vertikale tangentar: Funksjonen $f(x) = \sqrt[3]{x}$ har vertikal tangent i $x = 0$ (grenseverdien blir uendeleg).

3. Diskontinuitetar: Dersom funksjonen har eit hopp eller eit hol, er han ikkje deriverbar der.

Gjør dette i GeoGebra

Absoluttverdifunksjonen

Grafen til

f(x) = |x|

har eit spisst hjørne i

x = 0

og er difor ikkje deriverbar der.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = abs(x)
A = (0, 0)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Døme 9:

f(x) = |x|

er ikkje deriverbar i

x = 0

Vis at $f(x) = |x|$ ikkje er deriverbar i $x = 0$ .

Løysing:

Vi undersøkjer grenseverdien frå høgre og venstre:

Frå høgre ( $h > 0$ ):
$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

Frå venstre ( $h < 0$ ):
$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

Sidan $1 \neq -1$ , eksisterer ikkje grenseverdien $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ .

Konklusjon: $f(x) = |x|$ er ikkje deriverbar i $x = 0$ .

Geometrisk: Grafen har eit spisst hjørne i origo, så det finst ingen eintydig tangent.

📝Oppgave 11

Undersøk om funksjonen er deriverbar i det oppgitte punktet.

f(x) = |x - 2|

x = 2

f(x) = x|x|

x = 0

f(x) = \sqrt{|x|}

x = 0

Oppsummering

Gjennomsnittleg vekstfart (sekant):
$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Definisjonen av derivasjon:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Alternativ form:
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Geometrisk tolking: $f'(a)$ er stigingstalet til tangenten i $(a, f(a))$ .

Likninga til tangenten: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Tangent gjennom eit punkt utanfor grafen: Kall tangeringspunktet $(a, f(a))$ , set koordinatane til punktet inn i tangentlikninga og løys for $a$ .

Numerisk derivasjon (sentral differanse):
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$

Deriverbarheit: Ein funksjon er deriverbar i eit punkt dersom grenseverdien i definisjonen eksisterer. Deriverbarheit impliserer kontinuitet, men ikkje omvendt.

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.