3.3 Derivasjonens definisjon

Kappløpet om øyeblikket

På 1660- og 70-tallet, uavhengig av hverandre, løste en engelskmann og en tysker det samme urgamle problemet -- og utløste matematikkhistoriens bitreste prioritetsstrid. Isaac Newton trengte et verktøy for fysikken sin: planetene akselererer langs banene, og han måtte kunne snakke presist om fart og endring i et øyeblikk. Gottfried Wilhelm Leibniz kom fra filosofien og jaktet på et universelt symbolspråk for endring. Begge fant det samme: differensialregningen. Striden om hvem som var først, forgiftet forholdet mellom engelsk og kontinental matematikk i hundre år -- men selve oppfinnelsen forandret verden mer enn de fleste kriger.

Problemet deres kjenner du fra kapittel 2.5: en bil kjører $100$ km på to timer, gjennomsnittsfart $50$ km/t -- men hva er farten akkurat nå? Et øyeblikk har ingen varighet, bilen flytter seg ikke i løpet av det, og $\displaystyle \frac{0}{0}$ stirrer mot oss. Newtons og Leibniz' løsning var grenseprosessen: la tidsintervallet krympe mot null og se hva gjennomsnittsfartene nærmer seg.

I kapittel 2.5 fikk du ideen; nå, med grenseverdier (3.1) og kontinuitet (3.2) i verktøykassen, bygger vi den ut til full styrke. Du skal beherske definisjonen $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, bruke den til å derivere $x^2$, $x^3$, $\displaystyle \frac{1}{x}$ og $\sqrt{x}$ fra bunnen av, finne tangentlikninger, tilnærme deriverte numerisk -- og forstå når en funksjon overhodet ikke er deriverbar. Dette er hjertet i R1.

Fra sekant til tangent -- repetisjon med ny presisjon

Utgangspunktet er kjent: den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ på $[a, b]$ er $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, stigningstallet til sekanten gjennom $(a, f(a))$ og $(b, f(b))$. Skriver vi $b = a + h$, får vi formen som bærer resten av kapittelet:

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

-- differansekvotienten, også kalt Newton-kvotienten. For $f(x) = x^2$ på $[1, 3]$: $\displaystyle \frac{9 - 1}{2} = 4$; sekanten gjennom $(1,1)$ og $(3,9)$ stiger med $4$.

Nå kommer grenseprosessen, og denne gangen ser vi den i sakte film. Vi vil finne den momentane vekstfarten til $f(x) = x^2$ i $x = 2$, og beregner differansekvotienten for stadig mindre $h$. Med $h = 1$: $\displaystyle \frac{(2+1)^2 - 4}{1} = 5$. Med $h = 0{,}5$: $\displaystyle \frac{6{,}25 - 4}{0{,}5} = 4{,}5$. Med $h = 0{,}1$: $\displaystyle \frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = 4{,}1$. Med $h = 0{,}01$: $4{,}01$.

Tallene hvisker stadig tydeligere: $5$, $4{,}5$, $4{,}1$, $4{,}01$, $\ldots \to 4$. Geometrisk ser du sekantens frie endepunkt sige langs parabelen inn mot $(2, 4)$, mens linjen vrir seg på plass som tangenten -- linjen som bare berører grafen i det ene punktet og deler dens retning der.

Det er verdt å dvele ved hvorfor vi må ta en grense og ikke bare kan sette $h = 0$: da ville både teller og nevner vært null, og $\displaystyle \frac{0}{0}$ sier ingenting. Men for hver $h \neq 0$, uansett hvor liten, er differansekvotienten et hederlig tall -- og det er følgen av slike tall som peker ut svaret. Nøyaktig dette var den ubestemte formen fra 3.1, og nøyaktig derfor trengte vi grenseverdibegrepet før vi kunne komme hit.

Definisjonen -- og de første deriverte fra bunnen av

Nå formulerer vi det presist. Den deriverte av $f$ i punktet $x = a$ er

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

forutsatt at grenseverdien eksisterer. En likeverdig form fås ved å sette $x = a + h$: $\displaystyle f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$. Notasjonen varierer med tradisjonen: Lagranges $f'(x)$ er vanligst i Norge, Leibniz' $\displaystyle \frac{df}{dx}$ dominerer i fysikk (og bærer minnet om kvotienten den kom fra), og operatorformen $Df(x)$ dukker også opp. Alle betyr det samme.

La oss bruke definisjonen som det presisjonsverktøyet den er. $f(x) = x^2$: firetrinnsrutinen er alltid den samme. Beregn $f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2$; finn differansen $f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2$; del på $h$ og forkort: $\displaystyle \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h$; ta grensen: $f'(x) = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$. Merk det avgjørende øyeblikket: forkortingen av $h$ forvandlet den ubestemte formen til et ufarlig uttrykk -- nøyaktig faktoriserings-teknikken fra 3.1.

$f(x) = x^3$: kuben gir $f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$, differansen blir $3x^2h + 3xh^2 + h^3 = h(3x^2 + 3xh + h^2)$, og etter forkorting og grense: $f'(x) = 3x^2$.

Ser du mønsteret som avtegner seg? $x^2$ ga $2x$; $x^3$ ga $3x^2$. Eksponenten hopper ned som faktor og reduseres med én -- potensregelen $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ er i ferd med å avsløre seg selv. Den, og alle de andre derivasjonsreglene, kommer i senere kapitler -- men nå vet du hva de er: ferdigregnede grenseverdier, satt på lager.

To klassikere til -- og tangentens likning

Definisjonen takler mer enn polynomer. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$: differansen krever fellesnevner, slik du lærte i kapittel 1.4:

$$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$$

Delt på $h$ blir det $\displaystyle \frac{-1}{x(x+h)}$, og grensen når $h \to 0$ gir $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Negativ overalt -- rimelig, for $\displaystyle \frac{1}{x}$ avtar på hele sitt definisjonsområde.

$f(x) = \sqrt{x}$: her gir innsetting $\displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$, og roten må bort -- konjugattrikset fra 3.1! Vi utvider med $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$:

$$\frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Altså $\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ for $x > 0$. Legg merke til hvordan hele kapittel 1 og 3.1 jobber for oss her: brøkregning, konjugering, grenseverdier -- definisjonen er stedet der trådene møtes.

Med deriverte i hånden kan vi skrive opp tangentens likning. Tangenten i $(a, f(a))$ har stigningstall $f'(a)$, så ettpunktsformelen gir

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

Eksempel: tangenten til $f(x) = x^2$ der $x = 3$. Punktet: $f(3) = 9$. Stigningen: $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$. Likningen: $y - 9 = 6(x-3)$, altså $y = 6x - 9$. Denne linjen er funksjonens beste lineære stand-in nær $x = 3$ -- zoomer du langt nok inn på parabelen der, er den ikke til å skille fra linjen $y = 6x - 9$. Det er dette «lokalt lineær»-perspektivet som gjør den deriverte så anvendelig i alt fra fysikk til maskinlæring.

Numerisk derivasjon -- og når deriverbarheten svikter

Ikke alle funksjoner lar seg derivere analytisk -- og ofte har du bare måledata. Da tilnærmer vi den deriverte numerisk: vi bruker differansekvotienten med en liten, men endelig $h$. Tre varianter finnes. Framoverdifferansen $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ og bakoverdifferansen $\displaystyle \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ ser hver sin vei; sentraldifferansen

$$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$$

ser begge veier og er klart mest nøyaktig: feilen dens krymper som $h^2$, mot $h$ for de ensidige. Halverer du $h$, kvarteres altså sentralfeilen. Eksempel: for $f(x) = \sin x$ i $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ gir sentraldifferanse med $h = 0{,}01$ verdien $\approx 0{,}707$ -- som stemmer med fasiten $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Men når finnes den deriverte overhodet? Definisjonen krever at grenseverdien eksisterer, og det er ingen selvfølge. Først en viktig enveissammenheng: er $f$ deriverbar i $a$, er $f$ også kontinuerlig der -- glatthet forutsetter helhet. Det motsatte gjelder ikke, og motbeviset er gammel kjenning: $f(x) = |x|$.

Absoluttverdien er kontinuerlig i null, men se på differansekvotienten der: fra høyre ($h > 0$) er $\displaystyle \frac{|h|}{h} = 1$; fra venstre ($h < 0$) er $\displaystyle \frac{|h|}{h} = -1$. De ensidige grensene er uenige -- $1 \neq -1$ -- så grenseverdien, og dermed $f'(0)$, eksisterer ikke. Geometrisk: i V-ens spisse bunnpunkt finnes ingen entydig tangentretning; grafen «mener» én ting fra hver side.

Tre ting dreper altså deriverbarhet: spisse hjørner (som $|x|$ i null), vertikale tangenter (som $\sqrt[3]{x}$ i null, der stigningen løper mot uendelig) og diskontinuiteter (hopp og hull -- uten kontinuitet, ingen derivert). Deriverbarhet er med andre ord et strengere adelsmerke enn kontinuitet: grafen må ikke bare henge sammen, den må være glatt.

Fortellingen i et nøtteskall

Newton og Leibniz kjempet om æren, men oppfinnelsen deres deler vi alle: en presis matematikk for endring i øyeblikket.

Reisen gikk fra sekanten -- differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, gjennomsnittlig vekstfart over et intervall -- via grenseprosessen der $h$ krymper og tallene avslører sitt mål, til definisjonen:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Direkte innsetting av $h = 0$ gir $\displaystyle \frac{0}{0}$; det er algebraen -- utviding, forkorting, konjugering -- som forløser grensen. Slik fant vi fra bunnen av at $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ og $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ -- og skimtet mønsteret $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$.

Geometrien: $f'(a)$ er tangentens stigningstall, og tangenten $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ er funksjonens beste lineære tilnærming -- parabelens tangent i $x = 3$ ble $y = 6x - 9$. Numerikken: når analytisk regning er stengt, gir sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ presise tilnærminger med feil som $h^2$.

Og grensene for det hele: deriverbarhet krever kontinuitet, men kontinuitet er ikke nok -- $|x|$ med sitt spisse hjørne, kubikkroten med sin vertikale tangent og enhver diskontinuitet står utenfor.

Definisjonen er fundamentet; regnereglene som kommer, er dens ferdigstøpte konsekvenser. Men nå vet du hva som bor i symbolet $f'$ -- en sekant, tålmodig presset til tangent, av en grenseverdi.