4.3 Magnetfelt fra strøm | Fysikk 2

Magnetfelt generert av elektrisk strøm, Biot-Savarts lov og Ampères lov.

45 min

12 oppgaver

Magnetfelt fra rett lederMagnetfelt fra strømløkkeSolenoiderBiot-Savarts lovAmpères lov

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Magnetfelt og magnetiske krefter

Brukes videre i

4.4Magnetisk kraft på strømførende leder

Frå enkeltladningar til straum

I førre kapittel lærte vi at magnetfelt utøver kraft på enkeltladningar i rørsle (Lorentzkrafta). Men kva skjer når vi har milliardar av ladningar som rører seg saman – altså ein elektrisk straum?

Sidan straum er rørsle av ladningar, vil eit magnetfelt òg utøve kraft på ein straumførande leiar. Denne krafta er grunnlaget for:

- Elektromotorar – gjer om elektrisk energi til rotasjon
- Høgtalarar – gjer om elektriske signal til lydbølgjer
- Galvanometer – måler elektrisk straum
- Elektromagnetiske bremser – brukte i tog og elbilar

Historisk tyding:
Oppdaginga av at straumførande leiarar utøver krefter på kvarandre førte til definisjonen av ampere som SI-eining for straum. Fram til 2019 var ampere definert ved krafta mellom to parallelle leiarar!

Utleiing av kraft på straumførande leiar

La oss utleie formelen for kraft på ein straumførande leiar frå Lorentzkrafta.

Føresetnader:
- Ein rett leiar med lengd $L$ er i eit uniformt magnetfelt $\vec{B}$
- Straumen $I$ går gjennom leiaren
- Vinkelen mellom leiaren og magnetfeltet er $\theta$

Utleiing:
Kvar ladning $q$ i leiaren rører seg med driftfart $v_d$ og opplever krafta:
$F_{\text{ladning}} = qv_dB\sin\theta$

Talet på ladningar i leiaren er $N = nAL$ , der:
- $n$ = ladningstettleik (tal per volum)
- $A$ = tverrsnittsarealet til leiaren
- $L$ = lengda til leiaren

Total kraft på alle ladningane:
$F = N \cdot qv_dB\sin\theta = (nAL) \cdot qv_dB\sin\theta$

Vi veit at straumen er $I = nAqv_d$ , så:
$F = IL \cdot B\sin\theta = BIL\sin\theta$

Dette gjev oss hovudformelen for kraft på straumførande leiar.

Kraft på straumførande leiar

**Magnetisk kraft på straumførande leiar:**

\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}

**Storleik:**

F = BIL\sin\theta

der: - $F$ = kraft (N) - $B$ = magnetisk fluktettleik (T) - $I$ = straum (A) - $L$ = lengda av leiaren i magnetfeltet (m) - $\theta$ = vinkel mellom straumretning og magnetfelt **Spesialtilfelle:** - $\theta = 90°$: $F = BIL$ (maksimal kraft) - $\theta = 0°$ eller $180°$: $F = 0$ (inga kraft) **Kraftretninga** vert bestemt av høgrehandsregelen: - Fingrar i straumretninga - Bøy mot $\vec{B}$ - Tommelen viser kraftretninga

Høgrehandsregelen for straumførande leiarar

For å finne kraftretninga på ein straumførande leiar i magnetfelt:

Metode 1: Høgrehandsregelen
1. Pek fingrane i straumretninga (frå + til -)
2. Bøy fingrane mot retninga til magnetfeltet $\vec{B}$
3. Tommelen peikar i kraftretninga

Metode 2: FBI-regelen
Med høgre hand:
- Force (kraft) = tommel
- B-felt = peikefinger
- I (straum) = langfinger

Dei tre fingrane peikar vinkelrett på kvarandre.

Viktig:
- Krafta er alltid vinkelrett på både straumretninga og magnetfeltet
- Viss straumen snur retning, snur òg krafta
- Viss magnetfeltet snur retning, snur òg krafta

Døme:
Straum mot høgre (+x), magnetfelt inn i arket (+z) → kraft oppover (+y)

✏️Kraft på ein rett leiar

Oppgåve:
Ein rett leiar med lengd 20 cm ber ein straum på 5,0 A. Leiaren er i eit uniformt magnetfelt på 0,30 T, vinkelrett på straumretninga. Rekn ut krafta på leiaren.

Løysing:

Gjeve:
- $L = 20$ cm $= 0,20$ m
- $I = 5,0$ A
- $B = 0,30$ T
- $\theta = 90°$ (vinkelrett)

Brukar formelen:
$F = BIL\sin\theta$

$F = 0,30 \times 5,0 \times 0,20 \times \sin 90°$

$F = 0,30 \times 5,0 \times 0,20 \times 1 = 0,30 \text{ N}$

Svar: Krafta på leiaren er 0,30 N.

Kommentar: Retninga på krafta vert bestemt av høgrehandsregelen basert på straum- og feltretning.

Kraft mellom parallelle straumførande leiarar

To parallelle straumførande leiarar vil utøve magnetiske krefter på kvarandre. Dette skjer i to steg:

Steg 1: Kvar leiar lagar eit magnetfelt rundt seg (frå kapittel 4.1):
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Steg 2: Den andre leiaren er i dette feltet og opplever ei kraft.

Resultat:
- Parallelle straumar (same retning) → leiarane trekkjer kvarandre til seg
- Antiparallelle straumar (motsett retning) → leiarane støyter kvarandre frå seg

Intuisjon:
Tenk på magnetfeltlinjene:
- Parallelle straumar: feltlinjene mellom leiarane peikar motsett veg og "kansellerer" → lågare trykk mellom leiarane → tiltrekning
- Antiparallelle straumar: feltlinjene mellom leiarane peikar same veg og "forsterkast" → høgare trykk mellom leiarane → frastøyting

Kraft mellom parallelle leiarar

**Kraft per lengdeeining mellom to parallelle leiarar:**

\frac{F}{L} = \frac{\mu0 I1 I2}{2\pi d} $der: - $F/L$ = kraft per lengdeeining (N/m) - $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A (permeabiliteten i vakuum) - $I_1, I_2$ = straumane i dei to leiarane (A) - $d$ = avstand mellom leiarane (m) **Utleiing:** Leiar 1 lagar feltet $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ ved leiar 2. Kraft på leiar 2:$ F = B1 I2 L = \frac{\mu0 I1}{2\pi d} \cdot I2 L

\frac{F}{L} = \frac{\mu0 I1 I_2}{2\pi d}

**Retning:** - Same straumretning → **tiltrekning** (kraft mot kvarandre) - Motsett straumretning → **frastøyting** (kraft frå kvarandre)

Den historiske definisjonen av ampere

2 \times 10^{-7}

✏️Kraft mellom parallelle leiarar

Oppgåve:
To parallelle leiarar er plasserte 5,0 cm frå kvarandre. Dei ber straumar på høvesvis 10 A og 15 A i same retning.

a) Rekn ut krafta per meter mellom leiarane.
b) Trekkjer leiarane kvarandre til seg eller støyter dei kvarandre frå seg?

Løysing:

a) Kraft per meter:

Gjeve:
- $I_1 = 10$ A, $I_2 = 15$ A
- $d = 5,0$ cm $= 0,050$ m
- $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A

$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10 \times 15}{2\pi \times 0,050}$

$\frac{F}{L} = \frac{4 \times 10^{-7} \times 150}{2 \times 0,050} = \frac{6 \times 10^{-5}}{0,10} = 6,0 \times 10^{-4} \text{ N/m}$

b) Retning:
Straumane går i same retning, så leiarane trekkjer kvarandre til seg.

Svar:
a) Kraft: $6,0 \times 10^{-4}$ N/m = 0,60 mN/m
b) Leiarane trekkjer kvarandre til seg

Dreiemoment på straumsløyfe i magnetfelt

Ei rektangulær straumsløyfe i eit magnetfelt opplever eit dreiemoment som får ho til å rotere. Dette er prinsippet bak elektromotorar.

Analyse av kreftene:
Sjå på ei rektangulær sløyfe med sider $a$ (parallell med rotasjonsaksen) og $b$ (vinkelrett på aksen):

1. Sidene parallelle med B-feltet: Opplever kraft, men kreftene dannar eit par som skaper dreiemoment
2. Sidene vinkelrette på B-feltet: Opplever kraft langs rotasjonsaksen → inkje dreiemoment

Kraftparet:
- Kraft på kvar side: $F = BIa$
- Momentarm (når sløyfa står vinkelrett): $b/2$
- Dreiemoment frå begge sider: $\displaystyle \tau = 2 \times F \times \frac{b}{2}\sin\phi = BIab\sin\phi$

Der $\phi$ er vinkelen mellom normalvektoren til sløyfa og magnetfeltet.

Areal: $A = ab$ , så:
$\tau = BIA\sin\phi$

Dreiemoment på straumsløyfe

**Dreiemoment på straumsløyfe i magnetfelt:**

\tau = NBIA\sin\phi

der: - $\tau$ = dreiemoment (N·m) - $N$ = talet på viklingar i sløyfa - $B$ = magnetisk fluktettleik (T) - $I$ = straum (A) - $A$ = arealet til sløyfa (m²) - $\phi$ = vinkel mellom normalvektoren til sløyfa og $\vec{B}$ **Magnetisk dipolmoment:**

\mum = NIA $Dreiemomentet kan skrivast:$ \tau = \mum B \sin\phi

**Spesialtilfelle:** - $\phi = 90°$: $\tau = NBIA$ (maksimalt dreiemoment) - $\phi = 0°$ eller $180°$: $\tau = 0$ (likevekt) **Merk:** Ved $\phi = 0°$ er likevekta **stabil**, ved $\phi = 180°$ er ho **ustabil**.

Den elektriske motoren

Ein elektrisk likestraumsmotor utnyttar dreiemomentet på ei straumsløyfe til å skape kontinuerleg rotasjon.

Hovudkomponentar:
1. Rotor (anker): Roterande del med spola viklingar
2. Stator: Fast del med permanentmagnetar eller elektromagnetar
3. Kommutator: Roterande kontaktring som snur straumretninga
4. Børstar: Stasjonære kontaktar som overfører straum til rotor

Verkemåte:

1. Straum gjennom viklingane til rotoren lagar eit magnetfelt
2. Feltet til rotoren samverkar med feltet til statoren → dreiemoment
3. Rotoren roterer mot likevektsposisjonen
4. Kommutatoren snur straumretninga akkurat når rotoren passerer likevekt
5. Dreiemomentet held fram i same rotasjonsretning
6. Kontinuerleg rotasjon vert oppnådd

Effekt:
$P = \tau \omega$

der $\omega$ er vinkelfarten (rad/s).

Bruksområde:
- Elektriske køyretøy
- Vifter og pumper
- Elektroverktøy
- Harddiskar

Galvanometeret

Eit galvanometer er eit presisjonsinstrument for å måle små elektriske straumar. Det brukar dreiemomentet på ei straumsløyfe til å gje eit visuelt utslag.

Konstruksjon:
1. Ein lett spole vikla på ei ramme
2. Permanentmagnet som lagar eit radialt magnetfelt
3. Fjør som gjev eit motdreiemoment proporsjonalt med utslaget
4. Nål eller spegel festa til spolen

Verkemåte:

Når straum går gjennom spolen:
1. Magnetisk dreiemoment: $\tau_B = NBIA$
2. Motdreiemomentet til fjøra: $\tau_f = k\theta$
3. I likevekt: $NBIA = k\theta$

$\theta = \frac{NBIA}{k}$

Utslagsvinkelen $\theta$ er proporsjonal med straumen $I$ .

Følsemd:
$S = \frac{\theta}{I} = \frac{NBA}{k}$

Høg følsemd krev:
- Mange viklingar ( $N$ )
- Sterkt magnetfelt ( $B$ )
- Stort areal ( $A$ )
- Svak fjør (liten $k$ )

Bruksområde:
- Basis for analoge amperemeter og voltmeter
- Seismografar
- Laser-skannarar

Høgtalaren

Ein dynamisk høgtalar gjer om elektriske signal til lydbølgjer ved hjelp av magnetisk kraft på ein straumførande spole.

Konstruksjon:
1. Permanent magnet: Lagar eit sterkt, radialt magnetfelt i luftgapet
2. Svingspole: Lett spole vikla rundt ein sylinder, plassert i luftgapet
3. Membran (kon): Festa til svingspolen, vibrerer og lagar lyd
4. Ramme: Held komponentane på plass

Verkemåte:

1. Lydsignalet (vekselstraum) vert sendt gjennom svingspolen
2. Magnetisk kraft på spolen: $F = BIL$
3. Krafta varierer med straumen (lydsignalet)
4. Spolen og membranen vibrerer fram og tilbake
5. Membranen komprimerer og ekspanderer lufta
6. Lydbølgjer forplantar seg ut i rommet

Frekvensrespons:
- Krafta følgjer straumsignalet med ein gong
- Membranen har tregleik og resonans
- Ulike høgtalarstorleikar for ulike frekvensar:
- Store (woofer): låge frekvensar
- Mellomstore: mellomtonar
- Små (tweeter): høge frekvensar

Kraftutrekning:
For ein spole med $N$ viklingar, radius $r$ , og straum $I$ :
$F = NB(2\pi r)I = 2\pi NBrI$

✏️Kraft i høgtalar

Oppgåve:
Svingspolen til ein høgtalar har 50 viklingar med radius 2,5 cm. Spolen er i eit magnetfelt på 1,2 T. Maksimal straum er 0,80 A.

a) Rekn ut maksimal kraft på svingspolen.
b) Viss membranen har masse 15 g, kva blir maksimal akselerasjon?

Løysing:

a) Maksimal kraft:

Total lengd av leiar i magnetfeltet:
$L = N \times 2\pi r = 50 \times 2\pi \times 0,025 = 7,85 \text{ m}$

Kraft:
$F = BIL = 1,2 \times 0,80 \times 7,85 = 7,5 \text{ N}$

b) Maksimal akselerasjon:

$a = \frac{F}{m} = \frac{7,5}{0,015} = 500 \text{ m/s}^2$

Svar:
a) $F_{max} = 7,5$ N
b) $a_{max} = 500$ m/s² ≈ 50g (50 gonger tyngdeakselerasjonen)

Kommentar: Den høge akselerasjonen er nødvendig for å skape dei raske vibrasjonane som trengst for høge frekvensar.

📝Oppgave 4.25

Ein rett leiar ber straum mot høgre (→). Magnetfeltet peikar inn i arket (⊗). Kva retning har krafta på leiaren?

📝Oppgave 4.26

To parallelle leiarar ber straum i motsett retning. Kva skjer?

📝Oppgave 4.27

Kva er hovudfunksjonen til kommutatoren i ein likestraumsmotor?

📝Oppgave 4.28

Ein rett kopparleidning med lengd 50 cm og masse 25 g er hengd opp horisontalt i to vertikale trådar. Leidninga er i eit horisontalt magnetfelt på 0,40 T som står vinkelrett på leidninga.

a) Kor stor straum må gå gjennom leidninga for at spenninga i trådane skal bli null?
b) I kva retning må straumen gå i høve til magnetfeltet?

📝Oppgave 4.29

To lange, parallelle leiarar er plasserte 8,0 cm frå kvarandre. Dei ber straumar på 20 A og 30 A i same retning.

a) Rekn ut krafta per meter på kvar leiar.
b) Trekkjer leiarane kvarandre til seg eller støyter dei kvarandre frå seg?
c) Kor mange meter av leiarane må til for at krafta skal bli 1,0 N?

📝Oppgave 4.30

Ein leiar med lengd 30 cm ber ein straum på 8,0 A. Leiaren er i eit uniformt magnetfelt på 0,25 T.

a) Rekn ut krafta på leiaren når vinkelen mellom leiar og felt er 90°.
b) Rekn ut krafta når vinkelen er 45°.
c) Ved kva vinkel er krafta halvparten av maksimalverdien?

📝Oppgave 4.31

Ein rektangulær spole med 100 viklingar har dimensjonar 4,0 cm × 6,0 cm. Spolen ber ein straum på 2,0 A og er i eit magnetfelt på 0,50 T.

a) Rekn ut det magnetiske dipolmomentet til spolen.
b) Rekn ut maksimalt dreiemoment på spolen.
c) Ved kva vinkel mellom normalvektoren til spolen og B-feltet er dreiemomentet 75% av maksimum?

📝Oppgave 4.32

Ei stiv, rektangulær leiarsløyfe med masse 50 g har dimensjonar 10 cm × 15 cm. Sløyfa er hengd opp slik at ho kan rotere fritt om ein horisontal akse langs den eine 10 cm-sida. Sløyfa er i eit horisontalt magnetfelt på 0,30 T som er vinkelrett på rotasjonsaksen.

a) Viss sløyfa ber ein straum på 5,0 A, kor stor vinkel vil ho stille seg inn på i høve til vertikalen?
b) Kva er den maksimale straumen sløyfa kan bere før ho vippar heilt rundt?

📝Oppgave 4.33

Ein liten likestraumsmotor har ein rotor med 200 viklingar. Kvar vikling har areal 4,0 cm². Rotoren er i eit magnetfelt på 0,20 T. Ved ein straum på 1,5 A roterer motoren med konstant vinkelfart 300 rad/s.

a) Rekn ut maksimalt dreiemoment på rotoren.
b) Rekn ut gjennomsnittleg dreiemoment (hint: middelverdien av $|\sin\phi|$ over éin periode er $2/\pi$ ).
c) Rekn ut den mekaniske effekten til motoren.
d) Viss motoren har ein verknadsgrad på 70%, kor stor elektrisk effekt vert tilført?

📝Oppgave 4.34

Eit galvanometer har ein rektangulær spole med 500 viklingar og areal 1,5 cm². Spolen er i eit radialt magnetfelt på 0,25 T. Fjørkonstanten for torsjonfjøra er $k = 2,0 \times 10^{-6}$ N·m/rad.

a) Rekn ut utslagsvinkelen når straumen er 50 µA.
b) Kva er følsemda til galvanometeret (utslag per µA)?
c) Galvanometeret skal brukast som voltmeter med fullt utslag ved 10 V. Kva motstand må koblast i serie?

📝Oppgave 4.35

Svingspolen til ein høgtalar har 80 viklingar med gjennomsnittleg radius 3,0 cm. Spolen er i eit radialt magnetfelt på 1,0 T. Massen til membranen (inkludert spole) er 20 g.

a) Rekn ut krafta på membranen ved ein straum på 0,50 A.
b) Spolen vert driven med ein sinusforma straum $I = I_0\sin(\omega t)$ der $I_0 = 0,50$ A. Rekn ut den maksimale farten til membranen ved frekvensen 100 Hz (gå ut frå at membranen oppfører seg som ein fri masse).
c) Rekn ut amplituden til svinginga til membranen ved 100 Hz.

📝Oppgave 4.36

To lange, parallelle leiarar A og B er feste vertikalt med avstand $d = 10$ cm. Ein tredje leiar C med masse 5,0 g og lengd 20 cm kan gli friksjonsfritt langs A og B som skinner. Alle tre leiarane ber straum på 10 A.

a) Viss straumen i A og B går oppover, og straumen i C går mot høgre (sett framanfrå), finn nettokrafta på C frå A og B.
b) Skal straumen i C gå same veg som i A og B, eller motsett veg, for at C skal haldast oppe av magnetisk kraft?
c) Kor stor må straumen i C vere for at C skal sveve (balansere mot tyngda)?

Oppsummering

Kraft på straumførande leiar:
$\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$
$F = BIL\sin\theta$

- Krafta er maksimal når leiar og felt er vinkelrette ( $\theta = 90°$ )
- Krafta er null når leiar og felt er parallelle ( $\theta = 0°$ )

Høgrehandsregelen:
- Fingrar i straumretning
- Bøy mot B-felt
- Tommel viser kraftretning

Kraft mellom parallelle leiarar:
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$

- Same straumretning → tiltrekning
- Motsett straumretning → frastøyting

Dreiemoment på straumsløyfe:
$\tau = NBIA\sin\phi$

der $\phi$ er vinkelen mellom normalvektoren til spolen og $\vec{B}$ .

Magnetisk dipolmoment:
$\mu_m = NIA$

Bruksområde:
- Elektromotor: Kommutator snur straumen for kontinuerleg rotasjon
- Galvanometer: Utslagsvinkel proporsjonal med straum: $\displaystyle \theta = \frac{NBIA}{k}$
- Høgtalar: Kraft $F = BIL$ driv membranen

Historisk:
Ampere var definert via kraft mellom parallelle leiarar (fram til 2019).

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektromagnetisk induksjon – når magnetfelt skaper elektrisk straum.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.