7.2 Partielle deriverte | Matematikk for økonomer

Førsteordens og andreordens partielle deriverte, Young's setning, og økonomiske anvendelser som marginalprodukt og grensenytte.

55 min

18 oppgaver

Partielle deriverteMarginalproduktGrensenytteAndreordens partielleYoung's setning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Funksjoner av to variabler 5.2Derivasjonsregler

Brukes videre i

7.3Stasjonære punkter og andrederiverttest

Når ein funksjon avheng av fleire variablar, vil vi ofte vite korleis funksjonen endrar seg med tanke på éin variabel medan dei andre blir haldne konstante. Dette gir oss omgrepet partiell derivasjon. For ein produktfunksjon $Q(K, L)$ fortel den partielle deriverte oss kor mykje produksjonen aukar når vi set inn éi ekstra eining kapital, gitt at arbeidskrafta er uendra. Vi får då grensekostnader, grensenytter, marginalprodukt og ei rekkje andre storleikar som styrer økonomiske avgjerder.

Partielle deriverte

f(x, y)

📜Regel for partiell derivasjon

For å finne $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ :
- Handsam $y$ som ein konstant
- Deriver $f$ med vanlege derivasjonsreglar med omsyn på $x$

Tilsvarande for $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ : handsam $x$ som konstant.

✏️Eksempel 1 — Enkle polynom

Finn $f_x$ og $f_y$ for $f(x, y) = 3x^2 + 5xy - 2y^2 + 7$ .

Deriverer med omsyn på $x$ (handsamar

y

som konstant):
-

3x^2 \to 6x

5xy \to 5y

(her er

5y

konstanten føre

x

)
-

-2y^2 \to 0

(rein konstant i

x

)
-

7 \to 0

$f_x = 6x + 5y$

Deriverer med omsyn på $y$ (handsamar $x$ som konstant):
- $3x^2 \to 0$
- $5xy \to 5x$
- $-2y^2 \to -4y$
- $7 \to 0$

$f_y = 5x - 4y$

Tenk slik: Når du deriverer mhp

x

, lat som om

y

er talet

5

. Då blir

5xy = 5 \cdot 5 \cdot x = 25x

med derivert

25 = 5y

. Den deriverte mhp

y

får du tilsvarande ved å late som om

x

er fast.

📝Oppgave 1

Finn $f_x$ og $f_y$

f(x, y) = 4x + 7y

f(x, y) = x^2 + y^2

f(x, y) = xy

f(x, y) = 3x^2 y

f(x, y) = x^3 - 2xy + y^2

f(x, y) = 5x^2 y^3 + x - 4y

✏️Eksempel 2 — Cobb-Douglas

Ei bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 10 K^{0{,}3} L^{0{,}7}$ . Finn $Q_K$ og $Q_L$ , og tolk svaret.

Deriverer mhp $K$ (handsamar

L

som konstant):

Q_K = 10 \cdot 0{,}3 K^{0{,}3 - 1} L^{0{,}7} = 3 K^{-0{,}7} L^{0{,}7} = 3 \left(\frac{L}{K}\right)^{0{,}7}

Deriverer mhp $L$ (handsamar $K$ som konstant):
$Q_L = 10 \cdot 0{,}7 K^{0{,}3} L^{0{,}7 - 1} = 7 K^{0{,}3} L^{-0{,}3} = 7 \left(\frac{K}{L}\right)^{0{,}3}$

Tolking: $Q_K$ er marginalproduktet av kapital — kor mykje ekstra produksjon ei ekstra eining kapital gir, gitt at $L$ blir halde konstant. Tilsvarande er $Q_L$ marginalproduktet av arbeidskraft.

Marginale omgrep i økonomi

Q(K, L)

✏️Eksempel 3 — Grensekostnader

Ei bedrift produserer

x

einingar vare A og

y

einingar vare B. Kostnadsfunksjonen er

C(x, y) = 500 + 6x + 4y + 0{,}05 x^2 + 0{,}03 xy + 0{,}02 y^2.

a) Finn grensekostnadene $C_x$ og $C_y$ .
b) Rekn ut $C_x(100, 50)$ og tolk svaret.

a) Vi deriverer kvart ledd:

C_x = 6 + 0{,}1 x + 0{,}03 y

C_y = 4 + 0{,}03 x + 0{,}04 y

b) $C_x(100, 50) = 6 + 10 + 1{,}5 = 17{,}5$ kr.

Tolking: Når bedrifta allereie produserer 100 einingar av A og 50 einingar av B, kostar det ca. 17,50 kr ekstra å produsere éi eining til av A. Merk at $C_x$ avheng av både $x$ og $y$ — produksjonen av B påverkar grensekostnaden for A via interaksjonsleddet $0{,}03 xy$ .

📝Oppgave 2

Finn $f_x$ og $f_y$

f(x, y) = x^2 y + 3xy^2

f(x, y) = \dfrac{x}{y}

f(x, y) = (x + y)^2

f(x, y) = e^{x + 2y}

f(x, y) = \ln(x y)

f(x, y) = x \ln y

✏️Eksempel 4 — Grensenytte

Ein konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = \sqrt{xy}$ . Finn $U_x$ og $U_y$ , og rekn ut grensenytta ved $(x, y) = (4, 9)$ .

Skriv

U(x, y) = (xy)^{1/2} = x^{1/2} y^{1/2}

$U_x = \tfrac{1}{2} x^{-1/2} y^{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}$
$U_y = \tfrac{1}{2} x^{1/2} y^{-1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}$

Ved $(4, 9)$ :
$U_x(4, 9) = \tfrac{1}{2} \sqrt{9/4} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{2} = 0{,}75$
$U_y(4, 9) = \tfrac{1}{2} \sqrt{4/9} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}33$

Grensenytta av gode $x$ er større enn grensenytta av gode $y$ — konsumenten har relativt meir av $y$ enn av $x$ , og verdset ei ekstra eining $x$ meir.

📝Oppgave 3

Ei bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 20 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ .

Finn $Q_K$ og $Q_L$ .

Rekn ut marginalproduktet av kapital ved $K = 25, L = 36$ .

Rekn ut marginalproduktet av arbeidskraft ved $K = 25, L = 36$ .

Tolk kva $Q_K = 12$ tyder.

Løs oppgaven Tren

Dei partielle deriverte $f_x$ og $f_y$ er sjølv funksjonar av $x$ og $y$ . Vi kan derfor derivere dei igjen. Det gir oss andreordens partielle deriverte. Desse er sentrale for å avgjere om eit stasjonært punkt er eit maksimum, minimum eller sadelpunkt, og for å forstå om to gode er komplementære eller substitutt.

Andreordens partielle deriverte

f(x, y)

📜Youngs setning (symmetri av andreord)

Dersom

f_{xy}

f_{yx}

er kontinuerlege, så er dei like:

f_{xy} = f_{yx}.

I praksis spelar det altså inga rolle i kva rekkjefølgje vi deriverer.

✏️Eksempel 5 — Andreordens deriverte

Finn alle andreordens partielle deriverte av $f(x, y) = x^3 y^2 - 4xy + y^3$ .

Førsteordens:

f_x = 3 x^2 y^2 - 4y, \quad f_y = 2 x^3 y - 4x + 3 y^2

Andreordens:
- $f_{xx} = (3 x^2 y^2 - 4y)_x = 6 x y^2$
- $f_{yy} = (2 x^3 y - 4x + 3 y^2)_y = 2 x^3 + 6 y$
- $f_{xy} = (3 x^2 y^2 - 4y)_y = 6 x^2 y - 4$
- $f_{yx} = (2 x^3 y - 4x + 3 y^2)_x = 6 x^2 y - 4$

$f_{xy} = f_{yx}$ — Youngs setning er oppfylt.

📝Oppgave 4

Finn $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ for

f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2

f(x, y) = x^2 y

f(x, y) = e^{xy}

f(x, y) = x^2 y^3

✏️Eksempel 6 — Cobb-Douglas, andreord

For $Q(K, L) = A K^{\alpha} L^{\beta}$ , finn $Q_{KK}$ , $Q_{LL}$ og $Q_{KL}$ .

Førsteordens:

Q_K = \alpha A K^{\alpha - 1} L^{\beta}

Q_L = \beta A K^{\alpha} L^{\beta - 1}

Andreordens:
- $Q_{KK} = \alpha(\alpha - 1) A K^{\alpha - 2} L^{\beta}$
- $Q_{LL} = \beta(\beta - 1) A K^{\alpha} L^{\beta - 2}$
- $Q_{KL} = \alpha \beta A K^{\alpha - 1} L^{\beta - 1}$

Vanlegvis er $0 < \alpha < 1$ og $0 < \beta < 1$ . Då blir $\alpha(\alpha - 1) < 0$ og $\beta(\beta - 1) < 0$ , så $Q_{KK} < 0$ og $Q_{LL} < 0$ — avtakande marginalprodukt. Og $Q_{KL} > 0$ tyder at marginalproduktet av kapital aukar når ein har meir arbeidskraft — innsatsfaktorane er komplementære.

For ein nyttefunksjon $U(x, y)$ :
- $U_{xy} > 0$ : godene er komplementære (meir av det eine aukar grensenytta av det andre — kaffi og fløyte)
- $U_{xy} < 0$ : godene er substitutt (meir av det eine reduserer grensenytta av det andre — Pepsi og Cola)

Dei krysspartielle deriverte fortel oss altså noko fundamentalt om korleis to varer eller innsatsfaktorar forheld seg til kvarandre.

✏️Eksempel 7 — Komplementaritet

For nyttefunksjonen $U(x, y) = xy + 2x + 3y$ , er godene komplementære eller substitutt?

U_x = y + 2

U_y = x + 3

U_{xy} = 1 > 0

Godene er komplementære: ei større mengd av $y$ aukar grensenytta av $x$ . Ein klassisk slik nyttefunksjon ville passa for bil og bensin, eller PC og programvare.

📝Oppgave 5

Vurder om godene $x$ og $y$ er komplementære eller substitutt ut frå nyttefunksjonen

U(x, y) = x + y + xy

U(x, y) = 2x + 3y - 0{,}5 xy

U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}

U(x, y) = x^2 - 2xy + y^2

✏️Eksempel 8 — Avtakande marginalprodukt

Ei bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 100 K^{0{,}4} L^{0{,}6}$ . Vis at $Q_{LL} < 0$ for alle $K, L > 0$ og tolk svaret.

Q_L = 60 K^{0{,}4} L^{-0{,}4}

$Q_{LL} = 60 \cdot (-0{,}4) K^{0{,}4} L^{-1{,}4} = -24 K^{0{,}4} L^{-1{,}4}$

Sidan $K^{0{,}4} > 0$ og $L^{-1{,}4} > 0$ for $K, L > 0$ , er $Q_{LL} < 0$ alltid.

Tolking: Marginalproduktet av arbeidskraft er positivt ( $Q_L > 0$ ) men avtakande ( $Q_{LL} < 0$ ). Kvar ekstra arbeidar gir noko ekstra produksjon, men vinsten av ein ekstra arbeidar blir mindre jo fleire arbeidarar bedrifta allereie har — lova om avtakande grenseproduktivitet.

📝Oppgave 6

Ei bedrift har kostnadsfunksjon $C(x, y) = 100 + 5x + 4y + 0{,}05 x^2 + 0{,}02 xy + 0{,}04 y^2$ .

Finn grensekostnadene $C_x$ og $C_y$ .

Rekn ut $C_x(50, 30)$ .

Finn $C_{xx}, C_{yy}, C_{xy}$ .

Er $C_{xx}$ positiv eller negativ? Kva tyder forteiknet økonomisk?

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9 — Kjerneregel med eksponentialfunksjon

Finn $f_x$ og $f_y$ for $f(x, y) = e^{x^2 + 3y}$ .

Lat

u = x^2 + 3y

. Då er

f = e^u

f_x = e^u \cdot u_x

f_y = e^u \cdot u_y

$u_x = 2x$ , $u_y = 3$ , så

$f_x = 2x \, e^{x^2 + 3y}, \qquad f_y = 3 \, e^{x^2 + 3y}.$

📝Oppgave 7

Finn $f_x$ og $f_y$ ved hjelp av kjerneregel

f(x, y) = (x^2 + y^2)^3

f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}

f(x, y) = \ln(x^2 + y)

f(x, y) = e^{xy^2}

✏️Eksempel 10 — Andreord for Cobb-Douglas, konkret

For $Q(K, L) = 6 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ , rekn ut $Q_{KK}, Q_{LL}, Q_{KL}$ og bestem forteiknet på kvar.

Q_K = 3 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}

Q_L = 3 K^{0{,}5} L^{-0{,}5}

$Q_{KK} = 3 \cdot (-0{,}5) K^{-1{,}5} L^{0{,}5} = -1{,}5 K^{-1{,}5} L^{0{,}5} < 0$
$Q_{LL} = -1{,}5 K^{0{,}5} L^{-1{,}5} < 0$
$Q_{KL} = 3 \cdot 0{,}5 K^{-0{,}5} L^{-0{,}5} = 1{,}5 K^{-0{,}5} L^{-0{,}5} > 0$

Konklusjon: Avtakande marginalprodukt ( $Q_{KK}, Q_{LL} < 0$ ), komplementære innsatsfaktorar ( $Q_{KL} > 0$ ).

📝Oppgave 8

Ei bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 20 x + 30 y - 0{,}5 x^2 - x y - 0{,}5 y^2 - 50$ .

Finn $\pi_x$ og $\pi_y$ .

Rekn ut $\pi_x(5, 10)$ og $\pi_y(5, 10)$ .

Finn $\pi_{xx}, \pi_{yy}, \pi_{xy}$ .

Tolk $\pi_x(5, 10) = 5$ økonomisk.

📜Oppsummering: Partielle deriverte

Omgrep	Notasjon / formel
Partiell deriverte	$f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ , $f_y = \dfrac{\partial f}{\partial y}$
Regel	Deriver mhp éin variabel, handsam andre som konstant
Marginalprodukt kapital	$Q_K$
Marginalprodukt arbeidskraft	$Q_L$
Grensenytte	$U_x, U_y$
Grensekostnad	$C_x, C_y$
Andreordens partielle	$f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}$
Youngs setning	$f_{xy} = f_{yx}$ (under kontinuitet)
Komplementære gode	$f_{xy} > 0$
Substitutt	$f_{xy} < 0$
Avtakande marginalprodukt	$Q_{KK} < 0$ eller $Q_{LL} < 0$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Partiell derivert: Deriver mhp. éin variabel medan dei andre blir haldne konstante.
- Marginalprodukt: $Q_K$ er marginalprodukt av kapital, $Q_L$ av arbeidskraft.
- Andreordens partielle deriverte: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ og krysspartielle $f_{xy}$ .
- Symmetri: $f_{xy} = f_{yx}$ når dei er kontinuerlege.

Viktige formlar

f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad f_{xy} = f_{yx}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Partiell derivert	Deriver éin variabel, hald andre fast
Marginalprodukt	$Q_K$ , $Q_L$
Krysspartiell	$f_{xy}$
Symmetri	$f_{xy} = f_{yx}$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.