3.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk for økonomer

Eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor og halveringstid.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstidDoblingstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Prosentregning

Brukes videre i

3.4Logaritmer 4.1Renter og renteberegning 4.6Kontinuerlig forrentning 7.1Funksjoner av to variabler

Ein eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Desse funksjonane modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre område.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å teikne eksponentialfunksjonar
- Praktiske bruksområde

Eksponentiell vekst og nedgang

Endre vekstfaktoren b og startverdien a. Sjå korleis b > 1 gir vekst, b < 1 gir nedgang, b = 1 gir konstant.

f(x) = a \cdot b^x

a

(startverdi)

100

b

(vekstfaktor)

1,1

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ avgjer om funksjonen veks eller avtek:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Dersom noko aukar med $p\%$ per eining:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Dersom noko avtek med $p\%$ per eining:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

Ein bakteriekultur startar med 1000 bakteriar og doblar seg kvar time. Set opp ein funksjon for talet på bakteriar etter $t$ timar.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

Ein populasjon på 500 individ veks med 8% per år. Set opp ein funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

Ein bil mistar 15% av verdien kvart år. Han kostar 400 000 kr ny. Set opp ein funksjon for verdien til bilen etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

Ei maskin kostar 200 000 kr og mistar 25% av verdien kvart år. Set opp ein funksjon og finn verdien etter 4 år.

Eigenskapane til grafen

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjering)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkt
- Horisontal asymptote $y = 0$

Dersom $b > 1$ :
- Grafen stig
- Bratt vekst for store $x$

Dersom $0 < b < 1$ :
- Grafen søkk
- Nærmar seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Samanlikn grafane til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stig frå venstre mot høgre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Søkk frå venstre mot høgre
- $g(0) = 1$

Dei to grafane er speglingar av kvarandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjer om funksjonane viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tida det tek før verdien er dobla.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstida $T$ .

Halveringstid: Tida det tek før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstida $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du set 10 000 kr i banken med 3% årleg rente. Kor mykje har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% auke per år

20% nedgang per time

Tredobling per veke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punkta $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du startar med 200 gram. Set opp ein funksjon og finn kor mykje som er att etter 15 år.

📜Oppsummering: Eksponentialfunksjonar

For eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ med $a \neq 0$ , $b > 0$ og $b \neq 1$ :

Omgrep	Formel/Regel
Generell form	$f(x) = a \cdot b^x$
Startverdi	$f(0) = a$
Vekstfaktor	$b$
Vekst (stigande)	$b > 1$
Nedgang (avtakande)	$0 < b < 1$
Prosentvis vekst $p\%$	$b = 1 + \dfrac{p}{100}$
Prosentvis nedgang $p\%$	$b = 1 - \dfrac{p}{100}$
Doblingstid	$T = \dfrac{\ln 2}{\ln b}$
Halveringstid (nedgang)	$T = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln b}$
Horisontal asymptote	$y = 0$
Naturleg grunntal	$e \approx 2{,}718$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein medstudent skriv: "Med 5 % årleg vekst over 12 år veks kapitalen totalt med

5\% \cdot 12 = 60\%

, så sluttverdien blir

1{,}60

gonger startverdien." Kva er feilen i resonnementet? Rekn ut den faktiske veksten og forklar prinsippet som manglar.

Forklar utan rekning. Forklar kvifor eksponentiell vekst med EIN KVAR vekstfaktor

b > 1

(uansett kor liten — til dømes

b = 1{,}0001

) til slutt vil overgå lineær vekst med EIN KVAR stigingskoeffisient (uansett kor stor — til dømes

a = 10^{10}

). Kva er det grunnleggjande prinsippet?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ med variabelen i eksponenten.
- Startverdi og vekstfaktor: $a$ er startverdien, $b$ er vekstfaktoren.
- Vekst og nedgang: $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang.
- Eigenskapane til grafen: Alltid positiv, med $y$ -skjering i $a$ og ingen nullpunkt.

Viktige formlar

f(x) = a \cdot b^x, \qquad f(0) = a

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Eksponentialfunksjon	$f(x) = a \cdot b^x$
Startverdi	$a$ , verdien ved $x = 0$
Vekstfaktor	$b$ , avgjer vekst eller nedgang
Eksponentiell vekst	$b > 1$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.