3.2 Andregradsfunksjoner | Matematikk for økonomer

Parabeler, toppunkt, bunnpunkt og nullpunkter.

50 min

16 oppgaver

AndregradsfunksjonerParabelToppunktBunnpunktNullpunkter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Lineære funksjoner 2.2Andregradslikninger

Brukes videre i

3.5Nullpunkter og fortegn 6.1Kostnadsfunksjoner

Ein andregradsfunksjon er ein funksjon på forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ .

Grafen til ein andregradsfunksjon blir kalla ein parabel.

I dette kapitlet lærer du:
- Korleis parablar ser ut
- Å finne toppunkt eller botnpunkt
- Å finne symmetrilinje
- Å teikne parablar

Utforsk andregradsfunksjonen

Dra på koeffisientane a, b, c og sjå korleis parabelen, toppunktet og nullpunkta endrar seg.

f(x) = ax^2 + bx + c

a

b

c

−3

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Forma til parabelen

Forteiknet til $a$ avgjer om parabelen er smilande eller sur:

- $a > 0$ : Parabelen opnar oppover (har botnpunkt)
- $a < 0$ : Parabelen opnar nedover (har toppunkt)

Jo større $|a|$ er, desto smalare er parabelen.
Jo mindre $|a|$ er, desto breiare er parabelen.

✏️Eksempel 1

Beskriv grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

Vi har $a = 2$ , $b = -4$ og $c = 1$ .

Form: Sidan $a = 2 > 0$ , opnar parabelen oppover (har botnpunkt).

Skjering med y-aksen: $f(0) = 1$ , så grafen skjer $y$ -aksen i $(0, 1)$ .

Parabelen er relativt smal fordi $|a| = 2 > 1$ .

📝Oppgave 1

Avgjer om funksjonane har toppunkt eller botnpunkt, og om parabelen er smal eller brei:

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -3x^2 + 6x

\displaystyle h(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 4x + 5

📜Symmetrilinje og toppunkt/botnpunkt

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ gjeld:

Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$

Toppunkt/botnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Parabelen er symmetrisk om den vertikale linja $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .

✏️Eksempel 2

Finn symmetrilinje og botnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Vi har

a = 1

b = -6

c = 5

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

x-koordinaten til botnpunktet: $x = 3$

y-koordinaten til botnpunktet:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Botnpunkt: $(3, -4)$

Sidan $a = 1 > 0$ , har funksjonen botnpunkt (ikkje toppunkt).

📝Oppgave 2

Finn symmetrilinje og botnpunkt for funksjonane:

f(x) = x^2 - 8x + 12

g(x) = x^2 + 4x + 1

✏️Eksempel 3

Finn toppunkt for $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Vi har

a = -2

b = 8

c = -3

Sidan $a = -2 < 0$ , har funksjonen eit toppunkt.

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

y-koordinaten til toppunktet:
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Toppunkt: $(2, 5)$

📝Oppgave 3

Finn toppunkt eller botnpunkt for funksjonane:

f(x) = -x^2 + 2x + 8

g(x) = 2x^2 - 8x + 5

h(x) = -3x^2 - 6x + 1

Metoden med fullstendig kvadrat

Vi kan skrive $f(x) = ax^2 + bx + c$ på toppunktform:

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

der $(h, k)$ er toppunktet/botnpunktet.

For å finne denne forma bruker vi metoden med fullstendig kvadrat.

✏️Eksempel 4

Skriv $f(x) = x^2 - 4x + 7$ på toppunktform.

Steg 1: Grupper

x

-ledda:

f(x) = (x^2 - 4x) + 7

Steg 2: Fullfør kvadratet. Ta halvparten av koeffisienten framfor $x$ og kvadrer:
$\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4$

Steg 3: Legg til og trekk frå dette talet:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$
$f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Toppunktform: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Botnpunkt: $(2, 3)$

📝Oppgave 4

Skriv funksjonane på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

f(x) = x^2 + 6x + 5

g(x) = x^2 - 2x - 8

Å teikne ein parabel

1. Finn forteiknet til $a$ (opnar opp eller ned?)
2. Finn skjering med $y$ -aksen: $(0, c)$
3. Finn symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
4. Finn toppunkt/botnpunkt
5. Finn eventuelle nullpunkt (skjering med $x$ -aksen)
6. Teikn ei jamn kurve gjennom punkta

✏️Eksempel 5

Ein ball blir kasta opp frå bakken. Høgda etter $t$ sekund er $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter. Finn når ballen er på sitt høgaste og kor høgt han når.

Vi har

a = -5

b = 20

c = 0

Sidan $a < 0$ , har funksjonen eit toppunkt (maksimum).

Tid for maksimal høgd:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Maksimal høgd:
$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$

Svar: Ballen når den maksimale høgda si på 20 meter etter 2 sekund.

📝Oppgave 5

Ein rakett blir skoten opp. Høgda etter $t$ sekund er $h(t) = -4t^2 + 32t + 5$ meter. Finn når raketten er på sitt høgaste og kor høgt han når.

📝Oppgave 6

Finn den største verdien av $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ og ved kva $x$ -verdi han blir oppnådd.

📜Oppsummering: Andregradsfunksjonar

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ med $a \neq 0$ :

Omgrep	Formel/Regel
Symmetrilinje	$x = -\dfrac{b}{2a}$
Toppunkt/botnpunkt	$\left(-\dfrac{b}{2a},\; c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$
Opnar oppover (botnpunkt)	$a > 0$
Opnar nedover (toppunkt)	$a < 0$
Skjering med $y$ -aksen	$(0,\; c)$
Nullpunkt (abc-formel)	$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminant	$D = b^2 - 4ac$
$D > 0$	To ulike nullpunkt
$D = 0$	Eitt nullpunkt (dobbeltrot)
$D < 0$	Ingen reelle nullpunkt
Toppunktform	$f(x) = a(x - h)^2 + k$ , der $(h, k)$ er topp-/botnpunkt
Faktorisert form	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapitlet.

Finn feilen. Ein student påstår at "Toppunktet til funksjonen

f(x) = ax^2 + bx + c

ligg i punktet

(-b, c)

." Kva er feilen? Skriv den riktige formelen for både

x

-koordinaten og

y

-koordinaten til topp-/botnpunktet, og forklar kvar formelen kjem frå intuitivt.

Geometrisk argument. Forklar geometrisk (utan å bruke derivasjon) kvifor ein parabel ALLTID har nøyaktig eitt ekstremalpunkt — anten eit toppunkt eller eit botnpunkt. Kva er det som avgjer om parabelen har topp eller botn?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$ med graf som parabel.
- Forma til parabelen: $a > 0$ gir botnpunkt (smilande), $a < 0$ gir toppunkt (sur).
- Symmetrilinje og toppunkt: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .
- Toppunktform: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ med toppunkt $(h, k)$ .

Viktige formlar

x = -\frac{b}{2a}, \qquad f(x) = a(x - h)^2 + k

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Andregradsfunksjon	$f(x) = ax^2 + bx + c$
Parabel	Grafen til andregradsfunksjonen
Symmetrilinje	$x = -b/(2a)$
Toppunktform	$f(x) = a(x-h)^2 + k$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.