3.2 Andregradsfunksjoner | Matematikk for økonomer

Når grafen begynner å bue

Kast en ball rett opp i lufta og se for deg banen den følger: opp, et lite øyeblikk på toppen, og ned igjen i en jevn bue. Den buen er en parabel, og den er grafen til en helt egen type funksjon -- andregradsfunksjonen.

En andregradsfunksjon har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ , der $a$ , $b$ og $c$ er konstanter og $a\neq 0$ . Det avgjørende er $x^2$ -leddet; uten det ville vi bare hatt en rett linje. Vi kaller $a$ den ledende koeffisienten, $b$ er tallet foran $x$ , og $c$ er konstantleddet -- som samtidig er $y$ -verdien der grafen krysser $y$ -aksen, siden $f(0)=c$ .

Fortegnet til $a$ bestemmer hele formen. Er $a>0$ , åpner parabelen oppover -- den smiler og har et bunnpunkt. Er $a<0$ , åpner den nedover -- den surmuler og har et toppunkt. Tallets størrelse betyr også noe: jo større $|a|$ er, desto smalere blir parabelen. Se på $f(x)=2x^2-4x+1$ . Her er $a=2>0$ , så den smiler og har bunnpunkt, den skjærer $y$ -aksen i $(0,1)$ siden $f(0)=1$ , og fordi $|a|=2>1$ er den ganske smal.

Symmetrilinja og det ene ytterpunktet

Det vakreste med en parabel er at den er symmetrisk: brett den om en loddrett linje gjennom toppen eller bunnen, og de to halvdelene legger seg nøyaktig oppå hverandre. Den linja kaller vi symmetrilinja, og den har en enkel formel: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ . Akkurat på denne linja ligger parabelens ene ytterpunkt -- toppunktet hvis den surmuler, bunnpunktet hvis den smiler.

La oss finne bunnpunktet til $f(x)=x^2-6x+5$ . Her er $a=1$ , $b=-6$ og $c=5$ . Symmetrilinja blir $\displaystyle x=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$ . Det gir bunnpunktets $x$ -verdi. For å finne $y$ -verdien setter vi inn: $f(3)=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4$ . Bunnpunktet er altså $(3,-4)$ . Siden $a>0$ , vet vi at det er en bunn og ikke en topp.

Det samme grepet finner et toppunkt. For $f(x)=-2x^2+8x-3$ er $a=-2<0$ , så her venter et toppunkt. Symmetrilinja er $\displaystyle x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{-4}=2$ , og $f(2)=-2\cdot 2^2+8\cdot 2-3=-8+16-3=5$ . Toppunktet er $(2,5)$ . Husker du ballen? Med høyden $h(t)=-5t^2+20t$ finner vi tiden for maksimal høyde på samme vis: $\displaystyle t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2$ sekunder, og $h(2)=-5\cdot 4+40=20$ meter.

Toppunktform -- å lese svaret rett ut

De vanlige formlene virker fint, men noen ganger ønsker vi en form der topp- eller bunnpunktet rett og slett står og lyser mot oss. Den formen heter toppunktform: $f(x)=a(x-h)^2+k$ , der $(h,k)$ er topp- eller bunnpunktet. Verktøyet vi bruker for å komme dit, kalles fullstendig kvadrats metode.

La oss skrive $f(x)=x^2-4x+7$ på toppunktform. Først grupperer vi $x$ -leddene: $f(x)=(x^2-4x)+7$ . Så fullfører vi kvadratet ved å ta halvparten av tallet foran $x$ og kvadrere det: $\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2=(-2)^2=4$ . Vi legger til og trekker fra dette tallet, slik at vi ikke endrer uttrykket: $f(x)=(x^2-4x+4)-4+7$ . Parentesen er nå et perfekt kvadrat, $(x-2)^2$ , og resten blir $3$ . Altså: $f(x)=(x-2)^2+3$ , med bunnpunkt $(2,3)$ .

Alt dette henger sammen i én oversikt. For $f(x)=ax^2+bx+c$ med $a\neq 0$ finner vi symmetrilinja med $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ og skjæringen med $y$ -aksen i $(0,c)$ . Vil vi i tillegg ha nullpunktene -- der parabelen krysser $x$ -aksen -- bruker vi abc-formelen $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , der diskriminanten $D=b^2-4ac$ avslører hvor mange nullpunkter det finnes. Men det er en fortelling for neste kapittel.

Oppsummering

En andregradsfunksjon er $f(x)=ax^2+bx+c$ med $a\neq 0$ , og grafen er en parabel. Fortegnet til $a$ avgjør formen: $a>0$ gir en smilende parabel med bunnpunkt, mens $a<0$ gir en surmulende med toppunkt. Jo større $|a|$ , desto smalere parabel, og skjæringen med $y$ -aksen er alltid $(0,c)$ .

Parabelen er symmetrisk om symmetrilinja $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ , og nettopp på den linja ligger topp- eller bunnpunktet. Vi finner $y$ -verdien ved å sette symmetrilinjas $x$ inn i funksjonen -- slik fant vi bunnpunktet $(3,-4)$ til $x^2-6x+5$ og toppunktet $(2,5)$ til $-2x^2+8x-3$ .

Med fullstendig kvadrats metode kan vi skrive funksjonen på toppunktform $f(x)=a(x-h)^2+k$ , der $(h,k)$ er ytterpunktet vi kan lese rett av. Disse verktøyene -- sammen med abc-formelen og diskriminanten $D=b^2-4ac$ for nullpunktene -- gjør at vi kan tegne og forstå enhver parabel.