2.4 Ulikheter | Matematikk for økonomer

Løsning av lineære og andregradsulikheter med fortegnsskjema.

45 min

12 oppgaver

Lineære ulikheterAndregradsulikheterFortegnsskjemaIntervallnotasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Andregradslikninger

Når kravet ikkje er eit likskapsteikn

Du planlegg ein lansering. Du må selje minst 200 einingar for å dekkje kostnadene, men leverandøren kan levere maks 800 einingar. Kor mange skal du bestille? Dette er ein ulikskap – ikkje ei likning.

Medan ei likning krev at to storleikar er nøyaktig like, skildrar ein ulikskap at den eine er større enn, mindre enn, eller forskjellig frå den andre. Ulikskapane styrer det aller meste av økonomiske avgjerder:

- Budsjettrestriksjonar: $\text{kostnader} \leq \text{budsjett}$
- Kapasitetsgrenser: $\text{produksjon} \leq \text{maks kapasitet}$
- Lovkrav: $\text{eigenkapital} \geq 25\%$ av balansen
- Lønnsemdskrav: $\text{inntekt} > \text{kostnad}$

I dette kapittelet lærer du å løyse førstegradsulikskapar, å skrive løysinga som intervall på tallinja, og å bruke ulikskapar til å finne til dømes kva for eit prisintervall som gjev overskot.

Dei fire ulikskapsteikna

A

Teikn	Tyding	Døme
$A < B$	$A$ er mindre enn $B$	$3 < 5$
$A \leq B$	$A$ er mindre enn eller lik $B$	$5 \leq 5$
$A > B$	$A$ er større enn $B$	$7 > 2$
$A \geq B$	$A$ er større enn eller lik $B$	$5 \geq 5$

Lineær ulikskap

ax + b < c, \quad ax + b \leq c, \quad ax + b > c, \quad ax + b \geq c

Intervallnotasjon

a < x < b

Ulikskap	Intervall (parentes)	Intervall (vinkel)
$a < x < b$	$(a, b)$	$\langle a, b \rangle$
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$	$[a, b]$
$a \leq x < b$	$[a, b)$	$[a, b \rangle$
$a < x \leq b$	$(a, b]$	$\langle a, b]$
$x > a$	$(a, \infty)$	$\langle a, \rightarrow \rangle$
$x \geq a$	$[a, \infty)$	$[a, \rightarrow \rangle$
$x < b$	$(-\infty, b)$	$\langle \leftarrow, b \rangle$
$x \leq b$	$(-\infty, b]$	$\langle \leftarrow, b]$

📜Reknereglar for ulikskapar

Lat

A

B

C

vere reelle tal eller uttrykk i

x

1. Addisjon og subtraksjon: Du kan leggje til eller trekkje frå det same på begge sider utan å endre teiknet.
$A < B \;\Leftrightarrow\; A + C < B + C$

2. Multiplikasjon/divisjon med positivt tal: Teiknet blir behalde.
$\text{Viss } C > 0: \quad A < B \;\Leftrightarrow\; A \cdot C < B \cdot C$

3. Multiplikasjon/divisjon med negativt tal: Teiknet snur.
$\text{Viss } C < 0: \quad A < B \;\Leftrightarrow\; A \cdot C > B \cdot C$

Dette gjeld også for $\leq$ , $>$ og $\geq$ .

Den vanlegaste feilen elevar gjer

Når du gangar eller deler ein ulikskap med eit NEGATIVT tal, snur ulikskapsteiknet.

Dette er den feilen som oftast gjer at ei elles rett løysing blir feil. Døme:

$-2x > 6 \quad \bigg| \;\div (-2)$
$x < -3 \quad \text{(IKKJE } x > -3\text{)}$

Sjekk: For $x = -4$ er $-2 \cdot (-4) = 8 > 6$ . Rett! For $x = 0$ er $-2 \cdot 0 = 0$ , som ikkje er $> 6$ . Det viser at løysinga må vere $x < -3$ .

Enkle ulikskapar (utan teiknskifte)

Når koeffisienten framfor $x$ er positiv etter at vi har samla $x$ -ledda på éi side, løyser vi ulikskapen akkurat som ei likning.

✏️Døme 1: Lineær ulikskap, positiv koeffisient

Løys ulikskapane:

a) $3x + 9 < 12$

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

3x + 9 < 12

$3x + 9 < 12 \quad | -9$
$3x < 3 \quad | \div 3$
$x < 1$

Løysingsmengde: $L = (-\infty, 1) = \langle \leftarrow, 1 \rangle$

---

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

$\frac{2x - 2}{3} \geq 4 \quad | \cdot 3$
$2x - 2 \geq 12 \quad | +2$
$2x \geq 14 \quad | \div 2$
$x \geq 7$

Løysingsmengde: $L = [7, \infty) = [7, \rightarrow \rangle$

📊Utforsk ulikskapen $3x + 9 < 12$ grafisk

Linja $f(x) = 3x + 9$ ligg under linja $g(x) = 12$ til venstre for skjeringspunktet. Det er nettopp her ulikskapen $3x + 9 < 12$ er oppfylt. Endre koeffisientane og sjå korleis løysingsmengda endrar seg.

📝Oppgave 1

Løys ulikskapane og skriv løysinga som eit intervall.

2x < 8

3x - 6 > 18

\dfrac{x}{2} < 4

\dfrac{x}{5} + 3 > 7

\dfrac{2x}{3} - 6 \leq 2

\dfrac{3x - 2}{3} \geq 1

Løs oppgaven Tren

Ulikskapar med teiknskifte

Når vi gangar eller deler ein ulikskap med eit negativt tal, må vi snu ulikskapsteiknet.

Kvifor må vi snu? Tenk på tallinja. Viss $2 < 5$ , så er $2$ til venstre for $5$ . Når vi gangar begge med $-1$ , byter tala side: $-2$ er no til høgre for $-5$ , altså $-2 > -5$ . Multiplikasjon med eit negativt tal speilvender tala om null, og dermed snur også ulikskapsretninga.

✏️Døme 2: Teiknskifte ved divisjon

Løys ulikskapen $-5x > 20$ .

Vi må dele med

-5

(negativt tal), så vi snur ulikskapsteiknet:

$-5x > 20 \quad | \div (-5)$
$x < -4$

Løysingsmengde: $L = (-\infty, -4)$

Sjekk: Vel $x = -10$ (som er $< -4$ ): $-5 \cdot (-10) = 50 > 20$ . ✓ Vel $x = 0$ (som ikkje er i løysinga): $-5 \cdot 0 = 0$ , og $0$ er ikkje $> 20$ . ✓

✏️Døme 3: Teiknskifte ved multiplikasjon

Løys ulikskapen $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$ .

Vi gangar med

-1

for å fjerne minusteiknet framfor brøken. Då snur teiknet:

$-\frac{x - 2}{5} \geq 3 \quad | \cdot (-1)$
$\frac{x - 2}{5} \leq -3 \quad | \cdot 5$
$x - 2 \leq -15 \quad | +2$
$x \leq -13$

Løysingsmengde: $L = (-\infty, -13]$

✏️Døme 4: Variablar på begge sider

Løys ulikskapen $-3x - 1 > 2x + 4$ .

Vi samlar

x

-ledda på éi side og konstantane på den andre. Vi vel å samle

x

på venstre side:

$-3x - 1 > 2x + 4 \quad | -2x$
$-5x - 1 > 4 \quad | +1$
$-5x > 5 \quad | \div (-5)$

Deler med $-5$ , så teiknet snur:
$x < -1$

Løysingsmengde: $L = (-\infty, -1)$

Alternativt kunne vi flytta $x$ til høgre side i staden, då hadde vi unngått teiknskifte:
$-3x - 1 > 2x + 4 \quad | +3x$
$-1 > 5x + 4 \quad | -4$
$-5 > 5x \quad | \div 5$
$-1 > x \quad \Leftrightarrow \quad x < -1$

Same svar – men ofte enklare å samle slik at koeffisienten framfor $x$ blir positiv.

Viss du har $x$ -ledd på begge sider, samlar du dei helst på den sida som gjev positiv koeffisient framfor $x$ . Då slepp du å tenkje på teiknskifte. I praksis tyder det: flytt $x$ -leddet med den minste (mest negative) koeffisienten over til motsett side.

📝Oppgave 2

Løys ulikskapane. Hugs å snu teiknet når du gangar eller deler med eit negativt tal.

-10x < 50

-3x - 1 > 2x + 4

\dfrac{x}{3} + 1 < 4

\dfrac{x}{2} - 1 > \dfrac{x}{3} + 2

\dfrac{x}{2} - 5x \leq 18

\dfrac{-x - 2}{2} \geq \dfrac{x + 3}{4}

Løs oppgaven Tren

Doble ulikskapar

Nokre gonger har vi ein variabel som skal vere mellom to verdiar, til dømes

$-3 \leq 2x + 1 < 7$

Dette er ein dobbel ulikskap og tyder at $2x + 1$ samtidig er $\geq -3$ og $< 7$ . Vi løyser ved å utføre same operasjon på alle tre delane.

✏️Døme 5: Dobbel ulikskap

Løys den doble ulikskapen $-3 \leq 2x + 1 < 7$ .

Vi opererer på alle tre delane samtidig:

$-3 \leq 2x + 1 < 7 \quad | -1$
$-4 \leq 2x < 6 \quad | \div 2$
$-2 \leq x < 3$

Løysingsmengde: $L = [-2, 3)$

Merk at venstre endepunkt er med (lukka hake) fordi ulikskapen der er $\leq$ , medan høgre endepunkt ikkje er med (rund parentes) fordi ulikskapen er streng $<$ .

Hugs: alle tre delane

Doble ulikskapar må handterast som to ulikskapar samtidig – pass på at alle operasjonar blir gjorde på alle tre delane. Viss du til dømes gangar med

-1

, må du snu begge ulikskapsteikna.

Viss dobbel-ulikskapen er $-3 \leq -x < 4$ , blir det etter $\cdot (-1)$ :
$3 \geq x > -4 \quad \Leftrightarrow \quad -4 < x \leq 3$

📝Oppgave 3

Løys dei doble ulikskapane.

0 < 3x + 6 \leq 12

-4 \leq 1 - x < 3

-1 \leq \dfrac{2x - 3}{5} \leq 1

2 < -3x + 5 < 11

Løs oppgaven Tren

Andregradsulikskapar og forteiknsskjema

Overskotet til ei bedrift er ofte eit andregradsuttrykk i pris eller mengd. Spørsmålet «for kva for verdiar er overskotet positivt?» er då ein andregradsulikskap av typen

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{eller} \quad ax^2 + bx + c < 0$

For å løyse ein slik ulikskap:

1. Flytt alt til éi side slik at den andre er null.
2. Faktoriser uttrykket: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , der $x_1$ og $x_2$ er nullpunkta.
3. Sett opp eit forteiknsskjema med éi linje per faktor.
4. Les av løysinga frå produktrada.

Ei grundigare gjennomgang av forteiknsskjema kjem i kapittel 2.5. Her bruker vi det som verktøy.

✏️Døme 6: Andregradsulikskap med forteiknsskjema

For kva for $x$ er $x^2 - 3x - 10 > 0$ ?

Steg 1: Faktoriser. Vi løyser

x^2 - 3x - 10 = 0

med abc-formelen eller sum/produkt-metoden. Sum/produkt: vi søkjer to tal med sum

-3

og produkt

-10

. Dette er

-5

2

, så

$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Nullpunkta er $x = -2$ og $x = 5$ .

Steg 2: Forteiknsskjema.

Forteiknsskjema for $x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5)$

x-linje

-2

5

(x+2)

(x-5)

x^2 - 3x - 10

Steg 3: Les av. Vi ønskjer at

(x+2)(x-5) > 0

, altså der produktrada er

+

Løysingsmengde: $L = (-\infty, -2) \cup (5, \infty)$

Legg merke til at vi får to intervall, sameina med $\cup$ ("eller").

✏️Døme 7: Når er overskotet positivt?

Ei bedrift har overskotsfunksjon

O(x) = -x^2 + 30x - 200

der

x

er talet på selde einingar (i tusen). For kva for salsnivå går bedrifta med overskot, dvs.

O(x) > 0

Vi løyser

-x^2 + 30x - 200 > 0

Steg 1: Faktoriser. Først gangar vi med $-1$ for å få positiv koeffisient. Hugs å snu teiknet:
$-x^2 + 30x - 200 > 0 \quad | \cdot (-1)$
$x^2 - 30x + 200 < 0$

Sum/produkt: to tal med sum $30$ og produkt $200$ . Dette er $10$ og $20$ :
$x^2 - 30x + 200 = (x - 10)(x - 20)$

Steg 2: Forteiknsskjema.

Forteiknsskjema for $(x-10)(x-20)$

x-linje

10

20

(x-10)

(x-20)

(x-10)(x-20)

Steg 3: Les av. Vi vil ha

(x-10)(x-20) < 0

, altså der produktrada er

-

Det gjev $10 < x < 20$ .

Svar: Bedrifta går med overskot når salet er mellom $10\,000$ og $20\,000$ einingar. Break-even-punkta er ved $x = 10$ og $x = 20$ , og maksimalt overskot ligg midt imellom (ved $x = 15$ ).

Løysingsmengde: $L = (10, 20)$

Rasjonale ulikskapar (kort innføring)

Når $x$ står i nemnaren, må vi vere forsiktige. Det vanlegaste dømet er $\displaystyle \frac{1}{x} > 0$ . Det er freistande å gange med $x$ og få $1 > 0$ , men det er feil – for $x$ kan vere negativ.

I staden bruker vi forteiknsskjema. Hugs:

- $\dfrac{1}{x}$ er negativ når $x < 0$ .
- $\dfrac{1}{x}$ er udefinert ved $x = 0$ (markert med eit hol).
- $\dfrac{1}{x}$ er positiv når $x > 0$ .

Ei fyldigare handsaming av rasjonale ulikskapar kjem i kapittel 2.5.

Aldri gang med eit uttrykk som inneheld ukjende

Når du løyser

\dfrac{1}{x} > 0

, kan du IKKJE multiplisere med

x

utan å vurdere forteiknet til

x

. Bruk forteiknsskjema i staden.

Meir generelt: For å løyse ein rasjonal ulikskap flyttar du alt til éi side slik at du får
$\frac{\text{teljar}}{\text{nemnar}} \gtrless 0$
og set opp forteiknsskjema over teljar og nemnar.

✏️Døme 8: Rasjonal ulikskap

Løys ulikskapen $\dfrac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ .

Vi har allereie forma $\displaystyle \frac{\text{teljar}}{\text{nemnar}} \geq 0$ .

Nullpunkt: teljar er null ved $x = 1$ , og nemnar er null (udefinert) ved $x = -3$ .

Forteiknsskjema for $\frac{x-1}{x+3}$

x-linje

-3

1

(x-1)

\displaystyle \frac{1}{x+3}

\displaystyle \frac{x-1}{x+3}

Vi vil ha $\displaystyle \frac{x-1}{x+3} \geq 0$ . Det skjer der produktrada er $+$ eller $0$ .

- $x < -3$ : produkt er $+$ . ✓
- $x = -3$ : udefinert. Ikkje med i løysinga.
- $-3 < x < 1$ : produkt er $-$ . ✗
- $x = 1$ : produkt er $0$ . Med i løysinga (sidan ulikskapen er $\geq$ ).
- $x > 1$ : produkt er $+$ . ✓

Løysingsmengde: $L = (-\infty, -3) \cup [1, \infty)$

Legg merke til at $x = -3$ får rund parentes (udefinert), medan $x = 1$ får hakeparentes.

Bruk: budsjettrestriksjon og lønnsemdsområde

Ulikskapar er språket for restriksjonar i økonomi. Ein budsjettrestriksjon seier at dei samla kostnadene ikkje kan overstige budsjettet. Eit kapasitetsvilkår seier at produksjonen ikkje kan overstige maksimal kapasitet.

✏️Døme 9: Budsjettrestriksjon

Ei bedrift produserer to varer, $x$ einingar av vare A og $y$ einingar av vare B. Vare A kostar 2 kr per eining å produsere, vare B kostar 3 kr per eining, og samla produksjonskostnader kan ikkje overstige 100 kr. I tillegg kan ikkje talet vere negativt.

Skriv opp ulikskapane som skildrar dei tillatne produksjonsmengdene.

Kostnadsrestriksjon:

2x + 3y \leq 100

Ikkje-negativitet:
$x \geq 0, \quad y \geq 0$

Dei tre ulikskapane til saman definerer eit mogelegheitsområde i $xy$ -planet. Geometrisk er dette ein trekant med hjørne $(0, 0)$ , $(50, 0)$ og $\displaystyle (0, \frac{100}{3})$ .

Dette er starten på lineær programmering, der vi finn dei tillatne kombinasjonane som maksimerer til dømes dekningsbidraget.

✏️Døme 10: Prisintervall for lønnsemd

Etterspurnaden etter ei vare er $q(p) = 100 - 2p$ , der $p$ er pris og $q$ er talet på selde einingar. Variable kostnader er 20 kr per eining, og faste kostnader er 200 kr.

For kva for prisar går bedrifta med overskot?

Inntekt:

R(p) = p \cdot q(p) = p(100 - 2p) = 100p - 2p^2

Kostnad: $C(p) = 20 \cdot q(p) + 200 = 20(100 - 2p) + 200 = 2200 - 40p$

Overskot: $O(p) = R(p) - C(p) = 100p - 2p^2 - (2200 - 40p) = -2p^2 + 140p - 2200$

Vi løyser $O(p) > 0$ :
$-2p^2 + 140p - 2200 > 0 \quad | \div (-2)$
$p^2 - 70p + 1100 < 0 \quad \text{(teiknet snudde)}$

Med abc-formelen: $p = \dfrac{70 \pm \sqrt{4900 - 4400}}{2} = \dfrac{70 \pm \sqrt{500}}{2} \approx \dfrac{70 \pm 22{,}36}{2}$

Det gjev $p_1 \approx 23{,}82$ og $p_2 \approx 46{,}18$ .

Sidan parabelen $p^2 - 70p + 1100$ vender oppover, er han negativ mellom nullpunkta.

Svar: Bedrifta går med overskot når prisen er mellom ca. 23,82 kr og 46,18 kr per eining. I tillegg må sjølvsagt $0 \leq p \leq 50$ for at etterspurnaden $q \geq 0$ . Begge break-even-prisane ligg innanfor dette intervallet.

📝Oppgave 4

Bruk: budsjett og kapasitet.

Ein student har eit månadsbudsjett på 8000 kr. Husleige er 5500 kr, og resten skal dekkje mat og fritid. Kor mykje $x$ kan studenten bruke på mat og fritid og framleis halde seg innanfor budsjettet? Sett opp og løys ein ulikskap.

Ein fabrikk har kapasitet på 800 einingar per veke. Førehandsbestillingar er på 200 einingar. Lat $x$ vere talet på einingar som blir produserte utover førehandsbestillingane. Sett opp og løys ein ulikskap for tillatne verdiar av $x$ .

Ei bedrift sel varer for $p$ kr stykket og har dekningsbidrag $DB(p) = 50p - 1000$ . For kva for prisar er dekningsbidraget positivt? Sett opp og løys ulikskapen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Break-even-intervall: For kva for produksjonsnivå er overskotet positivt?

O(x) = -x^2 + 12x - 27

. Finn produksjonsnivåa der

O(x) > 0

O(x) = -2x^2 + 40x - 150

. Finn

x

slik at

O(x) > 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Samansette ulikskapar.

2(x - 3) - 4(x + 1) \geq -10

\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{2x - 1}{3} > 1

\dfrac{x + 2}{x - 1} \geq 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Finn feilen. Ein student har løyst

-2x > 6

slik:

"Eg deler begge sider med $-2$ og får $x > -3$ ."

a) Forklar kva som er feil i resonnementet.

b) Kva er rett løysing?

c) Sjekk svaret ditt ved å prøve éin verdi i og éin verdi utanfor løysingsmengda.

📝Oppgave 8

Forklar med ord.

a) Forklar, utan å bruke formlar, kvifor du må snu ulikskapsteiknet når du gangar ein ulikskap med eit negativt tal. Bruk gjerne eit konkret talldøme og tallinja.

b) Ei bedrift har overskot $O(x) = -x^2 + 20x - 75$ . Utan å rekne ut break-even-punkta eksplisitt, argumenter geometrisk for at det finst nøyaktig to break-even-punkt, og forklar kva det tyder for overskotsintervallet.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

📜Oppsummering: Lineære ulikskapar

Ulikskapsteikn:

<

\leq

>

\geq

Reknereglar:
1. Legg til/trekk frå same tal på begge sider $\Rightarrow$ teiknet blir behalde.
2. Gang/del med positivt tal $\Rightarrow$ teiknet blir behalde.
3. Gang/del med negativt tal $\Rightarrow$ teiknet snur.

Intervallnotasjon:
- $[a, b]$ – endepunkta er med.
- $(a, b)$ eller $\langle a, b \rangle$ – endepunkta er ikkje med.
- Mot $\pm \infty$ : alltid rund/vinkelparentes.

Doble ulikskapar ( $a < f(x) < b$ ): utfør same operasjon på alle tre delar. Snur teiknet, så snur det på begge sider.

Andregradsulikskapar:
1. Samle alt på éi side.
2. Faktoriser: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
3. Sett opp forteiknsskjema.
4. Les av løysinga.

Rasjonale ulikskapar: Aldri gang begge sider med eit uttrykk som inneheld $x$ . Flytt alt til éi side og bruk forteiknsskjema. Hugs at nemnar $= 0$ gjev hol (udefinert).

Bruk i økonomi:
- Budsjettrestriksjon: $\text{kostnad} \leq \text{budsjett}$ .
- Kapasitetsgrense: $\text{produksjon} \leq \text{maks}$ .
- Lønnsemdsområde: $O(x) > 0$ , der $O$ er overskotsfunksjonen.
- Break-even-intervall: området mellom dei to nullpunkta til ein andregrads overskotsfunksjon.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Ulikskapar: Bruker teikna $<, \leq, >, \geq$ og har ofte eit intervall som løysing.
- Reknereglar: Teiknet blir behalde ved addisjon/subtraksjon, men snur når du gangar eller deler med eit negativt tal.
- Andregradsulikskapar: Blir løyste med forteiknsskjema ut frå nullpunkta.
- Bruk: Ulikskapar skildrar restriksjonar og lønnsemdsområde i økonomi.

Viktige formlar

- Gang/del med negativt tal

\Rightarrow

snu ulikskapsteiknet.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Ulikskap	Uttrykk med $<, \leq, >, \geq$
Teiknskifte	Snu teiknet ved negativ multiplikasjon
Forteiknsskjema	Verktøy for andregradsulikskapar
Intervall	Løysingsmengda til ein ulikskap

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.