2.1 Lineære likninger | Matematikk for økonomer

Løsning av førstegradslikninger med ulike metoder.

45 min

16 oppgaver

Lineære likningerLikningsløsningParenteslikningerBrøklikninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning

Brukes videre i

2.2Andregradslikninger 2.3Likningssett 2.6Praktisk bruk av likninger

Likningar med addisjon og subtraksjon

Før du byrjar på dette kapitlet er det viktig at du har pluss og minus (med parentesar) ordentleg på plass.

Hovudprinsippet for å løyse likningar er at vi alltid gjer det same på begge sider av likskapsteiknet. Når vi skriv $| - 5$ tyder det at vi trekkjer frå 5 på begge sider av likskapen.

✏️Eksempel 1

Løys likningane:

a) $x + 5 = 4$

b) $x - 1 = 4$

Løysing:

a) $x + 5 = 4 \quad | - 5$
$x + 5 - 5 = 4 - 5$
$x = -1$

b) $x - 1 = 4 \quad | + 1$
$x - 1 + 1 = 4 + 1$
$x = 5$

📝Oppgave 1

Løys likningane

x + 3 = 5

x - 9 = 3

x - 20 = 0

x + 200 = -100

x + 22 = 10

x + 10 = -2

Løs oppgaven Tren

Likningar med variablar på begge sider

For å forstå denne delen er det viktig å forstå veldig enkel algebra.

Eksempel på det du må kunne er at:
- $2x + 3x = 5x$
- $7x - 6x = x$

Vi får heller ikkje lov til å blande konstantar og variablar. $3x + 3 + 2x = 5x + 3$ - vi kan ikkje leggje saman $5x$ og $3$ utan å vite kva $x$ er.

✏️Eksempel 2

Løys likningane:

a) $4 = x - 2$

b) $2x + 4 = x$

Løysing:

a) $4 = x - 2 \quad | + 2$
$6 = x$
$x = 6$ (Når $6 = x$ så er også $x = 6$ )

b) $2x + 4 = x \quad | - 4$
$2x = x - 4 \quad | - x$
$2x - x = x - 4 - x$
$x = -4$

📝Oppgave 2

Løys likningane

3 = x - 5

4 = x + 3

2x - 2 = x

3x + 31 = 2x

x + 22 = 2x

4x + 10 = 3x - 2

Løs oppgaven Tren

Likningar med multiplikasjon og divisjon

Når vi har likningar der $x$ er ganga med eit tal, må vi dele begge sider på dette talet for å finne $x$ .

✏️Eksempel 3

Løys likningane:

a) $3x = 12$

b) $4x - 3 = 17$

Løysing:

a) $3x = 12 \quad | \div 3$
$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
$x = 4$

b) $4x - 3 = 17 \quad | + 3$
$4x = 20 \quad | \div 4$
$x = 5$

📝Oppgave 3

Løys likningane

5x = 20

4x = -12

5x + 10 = 15

30x - 100 = 200

9x - 22 = -40

4x + 18 = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Løys likningane:

a) $8x + 15 = 3x$

b) $4x - 5 = 2x + 11$

c) $-4x = 20$

Løysing:

a) $8x + 15 = 3x \quad | - 3x$
$5x + 15 = 0 \quad | - 15$
$5x = -15 \quad | \div 5$
$x = -3$

b) $4x - 5 = 2x + 11 \quad | - 2x$
$2x - 5 = 11 \quad | + 5$
$2x = 16 \quad | \div 2$
$x = 8$

c) $-4x = 20 \quad | \div (-4)$
$\displaystyle \frac{-4x}{-4} = \frac{20}{-4}$
$x = -5$

📝Oppgave 4

Løys likningane

10x - 9 = 7x

4x + 10 = -x

5x + 10 = 4x + 5

-3x = 30

-7x = -10 + 3x

-4x + 8 = 2x + 44

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$\displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$
$x = 10$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6 \quad | - 2$
$\displaystyle \frac{x}{-3} = 4 \quad | \cdot (-3)$
$x = -12$

📝Oppgave 5

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{-5} = -2

\displaystyle \frac{x}{2} + 10 = 12

\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = -5

\displaystyle 110 = \frac{x}{8} + 10

\displaystyle 10 = 8 + \frac{x}{-3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6 \quad | \cdot 3$
$2x = 18 \quad | \div 2$
$x = 9$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9 \quad | + 4$
$\displaystyle \frac{5x}{2} = -5 \quad | \cdot 2$
$5x = -10 \quad | \div 5$
$x = -2$

📝Oppgave 6

Løys likningane

\displaystyle \frac{3x}{5} = 6

\displaystyle \frac{2x}{3} = -8

\displaystyle \frac{3x}{2} - 2 = 7

\displaystyle -15 + \frac{5x}{4} = -5

\displaystyle 3 = \frac{3x}{8} + 6

\displaystyle \frac{10x}{-30} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Grunnleggjande likningar del 2

Likningar med brøkar og parentesar

Før du byrjar på del to av grunnleggjande likningar er det viktig at du har brøkrekning ordentleg på plass.

✏️Eksempel 7

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5 \quad | \cdot 2x$
$30 = 10x$
$10x = 30 \quad | \div 10$
$x = 3$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2 \quad | \cdot (x + 2)$
$\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 2(x + 2)$
$3 = 2(x + 2)$
$3 = 2x + 4$
$2x + 4 = 3 \quad | - 4$
$2x = -1 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 7

Løys likningane

\displaystyle \frac{6}{x} = 2

\displaystyle \frac{2}{3x} = 2

\displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 7

\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 1

\displaystyle 3 = \frac{-2}{x - 3} + 6

\displaystyle \frac{2}{2x - 5} = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1 \quad | \cdot 2$
$x - 3 = 2(x + 1)$
$x - 3 = 2x + 2 \quad | + 3$
$x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$-x = 5 \quad | \cdot (-1)$
$x = -5$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2 \quad | \cdot (x + 3)$
$3x + 1 = 2(x + 3)$
$3x + 1 = 2x + 6 \quad | - 1$
$3x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$x = 5$

📝Oppgave 8

Løys likningane

\displaystyle \frac{4x - 6}{3} = x + 3

\displaystyle \frac{3x}{x + 1} = 2

\displaystyle \frac{13x + 2}{2x} = 7

\displaystyle \frac{x + 1}{4} - 15 = -5

\displaystyle 3 = \frac{x - 1}{8} + 6

\displaystyle \frac{3 - x}{x} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1 \quad | - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 2$
$\displaystyle x = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1 \quad | + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{7}{5} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle 2x = \frac{21}{5} \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{21}{10}$

📝Oppgave 9

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{10} + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{5} - 2

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - 3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$

Løysing alternativ 1 (finn fellesnemnar):

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{3x + 2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{5x}{6} = 1 \quad | \cdot 6

5x = 6 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{6}{5}

Løysing alternativ 2 (gang med fellesnemnar):
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \quad | \cdot 6$
$\displaystyle \frac{6 \cdot x}{2} + \frac{6 \cdot x}{3} = 1 \cdot 6$
$3x + 2x = 6$
$5x = 6 \quad | \div 5$
$\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{5} = -\frac{x}{2} + 10

\displaystyle 4 = \frac{3x}{7} + x

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{x}{4} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 11

Løys likningane:

a) $3(x - 2) = 4$

b) $4 - 2(x + 1) = 22$

Løysing:

a) $3(x - 2) = 4$
$3x - 6 = 4 \quad | + 6$
$3x = 10 \quad | \div 3$
$\displaystyle x = \frac{10}{3}$

b) $4 - 2(x + 1) = 22 \quad | - 4$
$-2(x + 1) = 18$
$-2x - 2 = 18 \quad | + 2$
$-2x = 20 \quad | \div (-2)$
$x = -10$

📝Oppgave 11

Løys likningane

2(x - 1) = 4

5(x - 2) = 3

2 + 3(x - 1) = 5

5(x + 1) = 2(x - 1)

6 - 3(x + 2) = x

-2(3x - 15) = 8x - (-x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 12

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$1 - (2x - 4) = 10$
$1 - 2x + 4 = 10 \quad | - 1 - 4$
$-2x = 5 \quad | \div (-2)$
$\displaystyle x = -\frac{5}{2}$

b) Vi ser at fellesnemnar blir $2(x + 1)$ . Gang med dette på begge sider:
$\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$
$\displaystyle \frac{2 \cdot 2x}{2(x + 1)} - \frac{3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3x - 3}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 2} = 2 \quad | \cdot (2x + 2)$
$x - 3 = 4x + 4 \quad | - 4x + 3$
$-3x = 7 \quad | \div (-3)$
$\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

📝Oppgave 12

Løys likningane

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{2} = 4

\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 2

\displaystyle \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2} = 1

\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 5} = -\frac{3}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{2x + 1} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{-x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 13

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$

Løysing:

\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5

\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5 \quad | \cdot 4

1 - 3x + 8x = 20 \quad | - 1

5x = 19 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{19}{5}

📝Oppgave 13

Løys likningane

\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5

\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3} - 1\right) = 1

\displaystyle \frac{3}{5}\left(5 - \frac{x}{3}\right) + 2x = 2

\displaystyle \frac{3}{7}\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 - x

\displaystyle \frac{5x}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x}{2} - 1

\displaystyle \frac{x}{4} - 1 = x\left(\frac{1}{3} - 2\right)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapitlet om lineære likningar.

Finn feilen. Ein student løyser likninga

2(x+3) = 10

slik:

2(x+3) = 10 \Rightarrow 2x + 3 = 10 \Rightarrow x = 3{,}5

. Kvar er feilen, og kva er rett svar?

Ei lineær likning på forma $ax + b = 0$ har normalt éi løysing. Når har ho inga løysing, og når har ho uendeleg mange? Gi konkrete eksempel.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære likningar

Omgrep/Regel	Formel/Forklaring
Standardform	$ax + b = c$ , med $a \neq 0$
Løysing	$x = \dfrac{c - b}{a}$
Tal på løysingar (éi)	Viss $a \neq 0$ — nøyaktig éi løysing
Tal på løysingar (inga)	Viss $a = 0$ og $b \neq c$ — inga løysing
Tal på løysingar (uendeleg)	Viss $a = 0$ og $b = c$ — alle $x \in \mathbb{R}$
Ekvivalent operasjon 1	Legg til/trekk frå same tal på begge sider
Ekvivalent operasjon 2	Gang/divider begge sider med same tal ( $\neq 0$ )
Parentesar	Distribuer før du flyttar ledd: $a(b+c) = ab + ac$
Brøklikning	Gang begge sider med fellesnemnar for å fjerne brøkar
Sjekk	Set løysinga inn i den opphavlege likninga

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Likningar: Du gjer det same på begge sider for å bevare likskapen.
- Variablar på begge sider: Samle x-ledd på éi side og tal på den andre.
- Multiplikasjon og divisjon: Del på koeffisienten framfor x.
- Brøkar og parentesar: Fjern nemnarar og parentesar før du løyser.

Viktige formlar

ax + b = c \quad \Rightarrow \quad x = \frac{c - b}{a}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Likning	Uttrykk med likskapsteikn
Variabel	Den ukjende, ofte x
Koeffisient	Talet framfor variabelen
Standardform	$ax + b = c$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.