1.5 Faktorisering og kvadratsetningene | Matematikk for økonomer

Faktorisering av tall og uttrykk og de tre kvadratsetningene.

60 min

13 oppgaver

PrimtallsfaktoriseringFaktorisering av uttrykkFørste kvadratsetningAndre kvadratsetningKonjugatsetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Algebra og bokstavregning

Brukes videre i

1.6Rasjonale uttrykk

Faktorisering

Enkel faktorisering

Når vi faktoriserer eit tal skriv vi det som eit produkt av to eller fleire andre tal. Talet 8 kan vi til dømes faktorisere til $4 \cdot 2$ eller alternativt kan vi skrive det som $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Faktorisering er spesielt nyttig når vi arbeider med brøkar fordi det kan hjelpe oss å stryke likt mot likt over og under brøkstreken.

Primtalsfaktorisering

Primtal er tal som berre er deleleg på seg sjølv og talet 1. Talet 1 er ikkje inkludert.

Når vi primtalsfaktoriserer skriv vi tala vi faktoriserer som eit produkt av berre primtal. Til dømes er ein primtalsfaktorisering av $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ulik ei faktorisering som $12 = 4 \cdot 3$ eller $12 = 2 \cdot 6$ ettersom 4 ikkje er eit primtal.

Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 …

✏️Eksempel 1

Primtalsfaktoriser:

a) 6
b) 27
c) 74
d) 520

Løysing:

a) $6 = 2 \cdot 3$

b) $27 = 9 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

c) $74 = 2 \cdot 37$

d) $520 = 52 \cdot 10 = 2 \cdot 26 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13$

📝Oppgave 1

Primtalsfaktoriser tala

390

1050

Løs oppgaven Tren

Å forkorte enkle brøkar ved hjelp av faktorisering

Når vi skal forkorte brøkar finn vi felles faktorar over og under brøkstreken og stryk desse mot kvarandre. I motsetnad til primtalsfaktorisering er målet vårt å finne høgast mogleg felles faktor over og under brøkstreken, på den måten kan vi forkorte raskast mogleg.

Nokre gonger kan det òg løne seg å faktorisere litt om gongen. Dette handlar mest om erfaring.

✏️Eksempel 2

Forkort brøkane:

a) $\displaystyle \frac{18}{6}$

b) $\displaystyle \frac{45}{75}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{18}{6} = \frac{3 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750} = \frac{200 \cdot {\color{red}10}}{75 \cdot {\color{red}10}} = \frac{{\color{blue}25} \cdot 8}{{\color{blue}25} \cdot 3} = \frac{8}{3}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkane

\displaystyle \frac{22}{2}

\displaystyle \frac{25}{10}

\displaystyle \frac{9}{6}

\displaystyle \frac{360}{12}

\displaystyle \frac{108}{54}

\displaystyle \frac{1008}{252}

Løs oppgaven Tren

Faktorisering av uttrykk med fleire ledd

Vi skal no lære korleis vi faktoriserer ut det som er felles i uttrykk med "fleire ledd" (altså uttrykk som har + eller − som skil ledda).

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykka:

a) $4x + 8$
b) $6x^2 - 3x$
c) $4x^3 - 12x^2 + 4x$
d) $15x^2y^2 - 20x^2y$

Løysing:

I a) har det som er felles blitt markert {\color{blue}blått}. Det er dette vi kan faktorisere ut.
Det som er igjen er markert med {\color{red}raudt}. Dette skal stå igjen inne i ein parentes.

a) $4x + 8 = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}x} + {\color{blue}4} \cdot {\color{red}2} = 4({\color{red}x + 2})$

b) $6x^2 - 3x = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 = 3x(2x - 1)$

c) $4x^3 - 12x^2 + 4x = 4x(x^2 - 3x + 1)$

d) $15x^2y^2 - 20x^2y = 5x^2y(3y - 4)$

Merk: Når vi har faktorisert kan vi kontrollere at vi har faktorisert rett ved å gange ut uttrykket vi har fått.

📝Oppgave 3

Faktoriser ut det som er felles (Blir vanlegvis berre skrive "Faktoriser")

2x + 4

9y + 3

8x^2 - 4x + 12

16xy - 9y

15x^2 - 3xy^3

14a^2b + 42b^3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Faktoriser ut $-3$ frå uttrykket: $-3x + 9$

Løysing:

Vi kan tenke slik:

Vi set $-3$ utanfor ein parentes. Inne i parentesen skal det stå det vi må gange $-3$ med for å få uttrykket til venstre for likskapsteiknet.

$-3x + 9 = -3 \cdot x - 3 \cdot (-3) = -3(x - 3)$

✏️Eksempel 5

Løys oppgåvene:

a) Faktoriser ut det som står framfor $x$ (altså 3) frå $3x + 2$

b) Faktoriser ut det framfor x-en med høgast eksponent: $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2$

Løysing:

Når vi faktoriserer ut eit tal kan vi òg tenke at det som skal stå igjen inne i parentesen er det originale uttrykket delt på det som blir faktorisert ut.

a) $\displaystyle 3x + 2 = 3 \cdot x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)$

Merk: Fordelen med å faktorisere ut det som står framfor $x$ er at vi lett kan sjå kva $x$ må vere for at det inne i parentesen skal bli 0. I dette tilfellet kan vi sjå at $\displaystyle x = -\frac{2}{3}$ gjer at det som står inne i parentesen blir 0. Vi kjem tilbake til dette litt seinare.

b) $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$

📝Oppgave 4

Faktoriser ut det som står framfor x-en med høgast potens

-2x + 6

3x + 1

\displaystyle \frac{1}{2}x - 3

-2x^2 + 10x - 12

\displaystyle -\frac{1}{5}x + 4

4x^2 + 4x + 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Faktoriser ut det som står framfor x-en med høgast potens og det som eventuelt er felles.

\displaystyle \frac{1}{6}x + 1

\displaystyle \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3

-2x^2 + x

16x^2 - 9

-5x^2 - 3

\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)x^3 - 5x

Løs oppgaven Tren

Kvadratsetningane

I byrjinga kan kvadratsetningane verke nokså uviktige. Det verkar jo berre som vi lærer ein "hurtigregel" for korleis vi gangar saman uttrykk som er opphøgde i 2. Men, det er berre byrjinga på kva vi bruker kvadratsetningane til. Spesielt 3. kvadratsetning (Konjugatsetninga) er spesielt viktig å lære seg, då ho blir brukt mykje i matematikken.

📜1. Kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Bevis: (Det er faktisk viktig å forstå kvifor)

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Hugs: $b \cdot a = a \cdot b$

📜2. Kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Bevis:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

✏️Eksempel 6

Rekn ut ved hjelp av 1. kvadratsetning:

a) $(x + 3)^2$
b) $(2x + 5y)^2$
c) $3(x + 2)^2$

Løysing:

Vi bruker 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

a) $(x + 3)^2$

Her er $a = x$ og $b = 3$ :

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

b) $(2x + 5y)^2$

Her er $a = 2x$ og $b = 5y$ :

$(2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2$

c) $3(x + 2)^2$

Her reknar vi først ut $(x + 2)^2$ og gangar med 3:

$3(x + 2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

✏️Eksempel 7

Rekn ut ved hjelp av 2. kvadratsetning:

a) $(x - 5)^2$
b) $(x^2 - 2y)^2$

Løysing:

Vi bruker 2. kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

a) $(x - 5)^2$

Her er $a = x$ og $b = 5$ :

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

b) $(x^2 - 2y)^2$

Her er $a = x^2$ og $b = 2y$ :

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

📝Oppgave 6

Rekn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(x + 2)^2

(x - 9)^2

2(x + 6)^2

-2(x - 4)^2

(2x - 7)^2

(-2a + b)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Rekn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(3 + x)^2

2(x - 3)^2

5(x + 2y)^2

-2(3x + 5y)^2

\displaystyle \frac{1}{2}(2x - 6y)^2

(2x^3 - 2z^2)^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning

Eit av dei nyttigaste bruksområda for kvadratsetningane er at vi kan faktorisere enkelte andregraduttrykk om vi gjennomfører dei i motsett retning.

Om vi har ei likning på forma $x^2 + b \cdot x + c$ og $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c$ , så kan vi faktorisere ved hjelp av kvadratsetningane:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

✏️Eksempel 8

Faktoriser ved å bruke 1. og 2. kvadratsetning i motsett retning:

a) $x^2 + 4x + 4$
b) $2x^2 - 12x + 18$

Løysing:

a) Vi skal faktorisere $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Her ser vi at det som står framfor $x$ , altså $b = 4$ .
Vi må no sjekke om $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = c$ .
$c = 4$ så dette vilkåret er òg oppfylt. Vi kan difor faktorisere ved hjelp av kvadratsetninga i motsett retning.

Denne utrekninga blir normalt sett ikkje ført og vi nøyer oss med å berre føre resultatet:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

b) $2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2$

📝Oppgave 8

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Hugs at om det står noko framfor $x^2$ skal det faktoriserast ut først.

x^2 + 6x + 9

x^2 - 16x + 64

2x^2 + 8x + 8

3x^2 - 18x + 27

-x^2 + 10x - 25

-4x^2 + 8x - 4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Hugs at om det er noko som er felles eller som står framfor $x^2$ skal det faktoriserast ut først.

x^2 + 18x + 81

-2x^2 - 8x - 8

-3x^2 + 24x - 48

4x^3 - 8x^2 + 4x

-3x^3 + 30x^2 - 75x

\displaystyle x^2 + x + \frac{1}{4}

Løs oppgaven Tren

📜3. Kvadratsetning (Konjugatsetninga)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Bevis:

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

✏️Eksempel 9

Rekn ut ved hjelp av 3. kvadratsetning:

a) $(x + 2)(x - 2)$
b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Løysing:

Vi bruker konjugatsetninga (3. kvadratsetning): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

a) $(x + 2)(x - 2)$

Her er $a = x$ og $b = 2$ :

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Her er $a = x^2$ og $b = 3y$ :

$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y) = (x^2)^2 - (3y)^2 = x^4 - 9y^2$

📝Oppgave 10

Rekn ut ved hjelp av 3. Kvadratsetning

(x + 3)(x - 3)

(x + 9)(x - 9)

(2x + \sqrt{3})(2x - \sqrt{3})

(x^2 - 6)(x^2 + 6)

3(x + 4)(x - 4)

-2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)

Løs oppgaven Tren

3. Kvadratsetning i motsett retning

Vi kan òg bruke konjugatsetninga til å faktorisere uttrykk på forma $a^2 - b^2$ :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

✏️Eksempel 10

Faktoriser uttrykka ved å bruke 3. kvadratsetning i motsett retning:

Altså: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

a) $x^2 - 9$
b) $4x^2 - 25$
c) $4x^2 - 12$

Løysing:

a) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

b) $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$

c) $4x^2 - 12 = 4(x^2 - 3) = 4\left(x^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2\right) = 4(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

📝Oppgave 11

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning

x^2 - 4

x^2 - 81

4x^2 - 9

9x^2 - 81

x^4 - y^4

9a^4 - 16b^4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning (Hugs å faktorisere ut det som er felles først)

2x^2 - 8

12x^2 - 27

4x^2 - 36y^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein student har faktorisert

x^2 - 4 = (x-4)(x+1)

. Kva er rett faktorisering, og kvifor er svaret til studenten feil?

Geometrisk argument. Konjugatsetninga seier at

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

. Forklar dette geometrisk: teikn eit kvadrat med side

a

, fjern eit lite hjørnekvadrat med side

b

(

b < a

). Vis at det attverande arealet både er

a^2 - b^2

og kan omformast til eit rektangel med sider

(a-b)

(a+b)

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Faktorisering

Regel	Formel
Felles faktor	$ab + ac = a(b + c)$
1. kvadratsetning	$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
2. kvadratsetning	$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Konjugatsetninga	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Faktorisering ved gruppering	$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$
Andregradsuttrykk	$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1, x_2$ er røtene frå abc-formelen

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Faktorisering: Å skrive eit uttrykk som eit produkt; trekk ut felles faktor.
- Primtalsfaktorisering: Skrive eit tal som produkt av primtal.
- Kvadratsetningane: Hurtigreglar for å gange ut og faktorisere andregradsuttrykk.
- Konjugatsetninga: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ .

Viktige formlar

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Faktorisering	Skrive uttrykk som eit produkt
Felles faktor	Faktor som inngår i alle ledd
Kvadratsetning	Regel for $(a \pm b)^2$
Konjugatsetning	$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.