2.3 Praktisk modellering | Matematikk 2P-Y

Bruk funksjoner og grafer til å modellere situasjoner fra arbeidslivet.

45 min

8 oppgaver

ModelleringBreak-evenKostnadsanalyseBeslutninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære sammenhenger 2.2Prosentvis endring

Matematisk modellering

Modellering handlar om å bruke matematikk til å skildre verkelegheita.

Ein matematisk modell kan vere:
- Ein formel som reknar ut kostnader
- Ein graf som viser utvikling over tid
- Ei likning som skildrar ein samanheng

Modellar forenklar verkelegheita, men hjelper oss å forstå og ta avgjerder.

✏️Døme 1: Break-even-analyse

Ein snikkar startar eiga bedrift. Han har følgjande kostnader og inntekter:

Faste kostnader per månad:
- Verkstadleige: 8 000 kr
- Forsikringar: 2 500 kr
- Verktøy og vedlikehald: 1 500 kr

Variable kostnader og inntekter per time arbeid:
- Materialkostnad i snitt: 150 kr/time
- Timepris til kunde: 580 kr/time

a) Set opp kostnadsfunksjon $K(t)$ og inntektsfunksjon $I(t)$ der $t$ er talet på fakturerte timar.
b) Kor mange timar må han fakturere for å gå i null (break-even)?
c) Kva blir forteneste dersom han fakturerer 50 timar i månaden?

Løysing:

a) Kostnadsfunksjon:
Faste kostnader: $8\,000 + 2\,500 + 1\,500 = 12\,000$ kr
Variable kostnader: $150t$ kr
$K(t) = 150t + 12\,000$

Inntektsfunksjon:
$I(t) = 580t$

b) Break-even (der $I(t) = K(t)$ ):
$580t = 150t + 12\,000$
$430t = 12\,000$
$t = \frac{12\,000}{430} \approx 27{,}9 \text{ timar}$

Han må fakturere minst 28 timar for å gå i null.

c) Forteneste ved 50 timar:
$\text{Forteneste} = I(50) - K(50) = 580 \cdot 50 - (150 \cdot 50 + 12\,000)$
$= 29\,000 - 19\,500 = 9\,500 \text{ kr}$

📊Utforsk: Break-even grafisk

Raud graf: kostnader $k(x) = 8000 + 50x$ (faste kostnader pluss 50 kr per eining). Blå graf: inntekter $i(x) = 130x$ . Det grøne skjeringspunktet er break-even ved 100 einingar – til høgre for punktet går bedrifta med overskot.

📝Oppgave 2.9

Ein frisør driv eigen salong med følgjande økonomi:

Faste månadskostnader:
- Husleige: 12 000 kr
- Straum og internett: 1 800 kr
- Forsikring: 1 200 kr

Per kunde:
- Produktkostnad: 45 kr
- Inntekt per klypp: 450 kr

a) Set opp kostnadsfunksjon $K(x)$ og inntektsfunksjon $I(x)$ der $x$ er talet på kundar.
b) Kor mange kundar trengst for break-even?
c) Kva blir månadleg forteneste ved 80 kundar?

Set opp funksjonane

Break-even

Forteneste ved 80 kundar

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.10

Ei bedrift vurderer å kjøpe versus leige ein varebil.

Kjøp:
- Pris: 420 000 kr
- Årlege kostnader (forsikring, service): 25 000 kr
- Drivstoff og slitasje: 3,50 kr/km

Leasing:
- Månadleg leige: 7 500 kr (inkl. service og forsikring)
- Drivstoff: 3,50 kr/km

Bedrifta køyrer ca. 25 000 km per år.

a) Set opp årleg kostnadsfunksjon for kjøp $K_k(x)$ der $x$ er talet på km.
b) Set opp årleg kostnadsfunksjon for leasing $K_l(x)$ .
c) Kva blir årskostnaden for kvar løysing ved 25 000 km?
d) Etter kor mange år er kjøp billigare enn leasing? (Sjå bort frå verdifall på bilen)

Kjøpskostnad per år

Leasingkostnad per år

Årskostnad 25 000 km

Når er kjøp billigare?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.11

Ein verkstad tilbyr tre ulike serviceavtalar for maskinene til bedrifter:

Avtale A: Betaling per oppdrag
- Utkøyring: 950 kr
- Timepris: 890 kr

Avtale B: Månadleg grunnpakke
- Fast månadspris: 4 500 kr
- Timepris: 650 kr
- Utkøyring inkludert

Avtale C: Fullservice
- Fast månadspris: 12 000 kr
- Alt inkludert (opptil 15 timar/månad)

Ei bedrift reknar med at dei treng ca. 8 timar service per månad.

a) Set opp kostnadsfunksjonar for dei tre avtalane som funksjon av timar $t$ .
b) Kva kostar kvar avtale ved 8 timar per månad?
c) Ved kor mange timar blir avtale B billigare enn A?
d) Ved kor mange timar blir avtale C billigare enn B?

Kostnadsfunksjonar

Kostnad ved 8 timar

B billigare enn A

C billigare enn B

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matematisk modellering: Å skildre ein praktisk situasjon med ein funksjon, t.d. kostnad $K(x)$ og inntekt $I(x)$ .
- Break-even (nullpunkt): Talet der inntekt $=$ kostnad. Blir løyst ved å setje $I(x) = K(x)$ .
- Overskot: $O(x) = I(x) - K(x)$ .
- Gyldigheitsområde: Ein modell gjeld berre for visse verdiar av $x$ — vurder alltid om svaret gir meining i praksis.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Modell	Funksjon som skildrar ein praktisk situasjon
Break-even	Der inntekter og kostnader er like store
Overskot	Inntekt minus kostnad
Gyldigheitsområde	Verdiane av $x$ der modellen gir meining

Viktige formlar

O(x) = I(x) - K(x)

- Break-even: løys

I(x) = K(x)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.