2.4 Prosentfeil og avrunding | Matematikk 2P-Y

Forstå konsekvenser av avrunding og prosentfeil i beregninger.

40 min

9 oppgaver

ProsentfeilAvrundingGjentatt avrundingFeilmargin

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Prosentvis endring

Eksponentiell vekst og nedgang

Noen størrelser vokser eller minker med en fast prosentandel i hver periode. Da sier vi at utviklingen er eksponentiell.

Eksempler fra yrkeslivet:
- Verditap på en varebil (f.eks. 15 % per år)
- Bakterievekst i matvarer
- Prisstigning over tid
- Nedbrytning av medisiner i kroppen

Forskjellen fra lineær vekst er at endringen ikke er et fast tall, men en fast prosent.

Vekstfaktor

p\,\%

✏️Eksempel 1: Verditap på en varebil

En håndverker kjøper en varebil til 420 000 kr. Bilen mister 18 % av verdien hvert år. Hva er bilen verdt etter 5 år?

Løsning:

Startverdi: $N_0 = 420\,000$ kr
Nedgang: 18 %, vekstfaktor $a = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$
Antall år: $x = 5$

$N = 420\,000 \cdot 0{,}82^5$
$N = 420\,000 \cdot 0{,}3707$
$N \approx 155\,700 \text{ kr}$

Etter 5 år er bilen verdt ca. 155 700 kr.

Bilen har tapt $420\,000 - 155\,700 = 264\,300$ kr i verdi.

📊Utforsk: Verditap på varebil

Grafen viser verdien av en varebil kjøpt for 300 000 kr som taper 15 % av verdien hvert år: $f(x) = 300\,000 \cdot 0{,}85^x$ . Punktet viser verdien etter 5 år. Legg merke til at verditapet i kroner er størst de første årene.

Halveringstid og fordoblingstid

Halveringstid er tiden det tar for en størrelse å bli halvert (redusert til halvparten). Brukes f.eks. om medisin i kroppen eller radioaktivt avfall.

Fordoblingstid er tiden det tar for en størrelse å bli doblet. Brukes f.eks. om bakterievekst eller investeringer.

For å finne halveringstid ved jevn prosentvis nedgang:
$\text{Halveringstid} = \frac{\log(0{,}5)}{\log(a)}$

For å finne fordoblingstid ved jevn prosentvis økning:
$\text{Fordoblingstid} = \frac{\log(2)}{\log(a)}$

der $a$ er vekstfaktoren.

✏️Eksempel 2: Bakterievekst i mat

Et parti kyllingfilet har 200 bakterier ved levering. Antall bakterier dobles hver 30. minutt ved romtemperatur. Hvor mange bakterier er det etter 3 timer?

Løsning:

Startverdi: $N_0 = 200$
Fordoblingstid: 30 minutter
Vekstfaktor per 30 min: $a = 2$
Antall perioder (30-min): $\displaystyle x = \frac{3 \text{ timer}}{0{,}5 \text{ timer}} = 6$

$N = 200 \cdot 2^6 = 200 \cdot 64 = 12\,800$

Etter 3 timer er det 12 800 bakterier på kyllingen.

Dette viser hvorfor det er viktig med riktig kjølelagring!

For å beregne $0{,}82^5$ på kalkulatoren:
1. Tast inn $0{,}82$
2. Trykk potenstegnet ( $x^y$ eller $\hat{}$ )
3. Tast inn $5$
4. Trykk $=$

De fleste kalkulatorer har en $\log$ -knapp for å beregne halveringstid og fordoblingstid.

📝Oppgave 2.13

Finn vekstfaktoren:

a) 5 % økning
b) 12 % nedgang
c) 3,5 % økning
d) 20 % nedgang

Vekstfaktor ved 5 % økning

Vekstfaktor ved 12 % nedgang

Vekstfaktor ved 3,5 % økning

Vekstfaktor ved 20 % nedgang

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.14

En anleggsmaskin ble kjøpt for 850 000 kr. Den mister 20 % av verdien hvert år.

a) Hva er vekstfaktoren?
b) Hva er maskinen verdt etter 1 år?
c) Hva er maskinen verdt etter 3 år?
d) Hvor mye har maskinen tapt i verdi etter 3 år?

Vekstfaktor

Verdi etter 1 år

Verdi etter 3 år

Verditap etter 3 år

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.15

En pasient får en dose smertestillende medisin. Kroppen bryter ned 30 % av medisinen per time. Pasienten fikk 400 mg.

a) Hva er vekstfaktoren for medisinmengden?
b) Hvor mye medisin er igjen etter 2 timer?
c) Hvor mye medisin er igjen etter 5 timer?
d) Bruk formelen for halveringstid til å finne hvor lang tid det tar før halvparten er borte.

Vekstfaktor

Mengde etter 2 timer

Mengde etter 5 timer

Halveringstid

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.16

En bonde starter med 500 høner. Antall egg produsert per dag er 420. Bonden planlegger å utvide med 10 % flere høner hvert år.

a) Hvor mange høner har bonden etter 2 år?
b) Hvor mange høner har bonden etter 4 år?
c) Finn fordoblingstiden for antall høner.
d) Hvor mange egg kan bonden forvente per dag etter 4 år, hvis hver høne legger like mange egg? (Avrund til nærmeste hele egg.)

Antall høner etter 2 år

Antall høner etter 4 år

Fordoblingstid

Egg per dag etter 4 år

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentiell vekst/nedgang: $f(t) = a \cdot b^t$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.
- $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang. Ved $p\,\%$ endring per tidsenhet er $\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}$ .
- Forskjell fra lineær vekst: Eksponentiell endring skjer med en fast prosent per tidsenhet, lineær med et fast beløp.
- Fordoblingstid/halveringstid: Tiden det tar før verdien er doblet eller halvert.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Eksponentiell funksjon	$f(t) = a \cdot b^t$
Startverdi	$a = f(0)$
Vekstfaktor	$b$ , tallet det ganges med per tidsenhet
Fordoblingstid	Tid før verdien er doblet
Halveringstid	Tid før verdien er halvert

Viktige formler

f(t) = a \cdot b^t

- Verdi etter

n

perioder: startverdi

\cdot b^n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.