2.4 Prosentfeil og avrunding

Varebilen som krymper i verdi

Håndverkeren Stine kjøper ny varebil til 420 000 kr. Selgeren nevner i forbifarten at slike biler taper rundt 18 % av verdien hvert år. Stine regner kjapt i hodet: 18 % av 420 000 er 75 600, så etter fem år har den vel tapt $5 \cdot 75\,600 = 378\,000$ kr og er nesten verdiløs?

Heldigvis tar hun feil — og grunnen er forskjellen mellom lineær og eksponentiell endring. Lineær endring skjer med et fast beløp per periode. Eksponentiell endring skjer med en fast prosent per periode, og prosenten regnes hver gang av den nye, lavere verdien. Bilen taper mest verdi det første året, litt mindre det neste, og så videre.

Eksponentielle sammenhenger er overalt i yrkeslivet: verditap på biler og maskiner, bakterievekst i matvarer, prisstigning over tid, nedbrytning av medisiner i kroppen. I dette kapittelet lærer vi formelen som beskriver dem alle:

$$N = N_0 \cdot a^x$$

der $N_0$ er startverdien, $a$ er vekstfaktoren og $x$ er antall perioder. Med den skal vi finne ut hva Stines bil faktisk er verdt om fem år — og hvorfor en kyllingfilet på kjøkkenbenken blir farlig fortere enn du tror.

Verditap med vekstfaktor

La oss regne riktig på Stines varebil. Startverdien er $N_0 = 420\,000$ kr. En nedgang på 18 % per år gir vekstfaktor $a = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$. Etter $x = 5$ år er verdien

$$N = 420\,000 \cdot 0{,}82^5 = 420\,000 \cdot 0{,}3707 \approx 155\,700 \text{ kr}$$

Bilen er altså verdt rundt 155 700 kr — ikke null, slik Stines hoderegning antydet. Verditapet er $420\,000 - 155\,700 = 264\,300$ kr, fortsatt en solid sum, men fordelt slik at det første året koster mest: 18 % av 420 000 er 75 600 kr, mens det femte året bare tar 18 % av en mye lavere verdi.

Legg merke til hvordan formelen virker: vi ganger med 0,82 én gang for hvert år, og potensen $0{,}82^5$ samler alle fem årene i én operasjon. Sammenlign med en lineær modell, der verdien hadde sunket med samme kronebeløp hvert år og truffet null etter drøyt fem år. Den eksponentielle kurven flater i stedet ut — den nærmer seg null, men når den aldri.

Det samme regnestykket gjelder alt som vokser med fast prosent, bare med vekstfaktor over 1: en pris som stiger 8 % i året, har vekstfaktor 1,08, og etter $x$ år er prisen ganget med $1{,}08^x$. Én formel, alle retninger.

Dobling, halvering og kyllingen på benken

På storkjøkkenet der venninnen til Stine jobber, gjelder en jernregel: kjølevarer skal raskt inn i kjøleskapet. Hvorfor så strengt? Matematikken gir svaret.

Et parti kyllingfilet har 200 bakterier ved levering, og i romtemperatur dobles antallet hver 30. minutt. Doblingen betyr vekstfaktor $a = 2$ per halvtime. Står kyllingen fremme i 3 timer, har det gått $\displaystyle \frac{3}{0{,}5} = 6$ perioder, og antall bakterier er

$$N = 200 \cdot 2^6 = 200 \cdot 64 = 12\,800$$

Fra 200 til nesten 13 000 bakterier på tre timer — det er eksponentiell vekst i praksis, og grunnen til at kjølekjeden aldri skal brytes.

Tiden det tar før noe dobler seg, kalles fordoblingstiden; for kyllingbakteriene er den 30 minutter. Motsatt kalles tiden det tar før noe halveres, for halveringstiden — det brukes blant annet om medisiner i kroppen og radioaktivt avfall. Kjenner du vekstfaktoren $a$, kan begge beregnes med logaritmer:

$$\text{Fordoblingstid} = \frac{\log(2)}{\log(a)} \qquad \text{Halveringstid} = \frac{\log(0{,}5)}{\log(a)}$$

For Stines varebil med $a = 0{,}82$ gir formelen en halveringstid på $\displaystyle \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}82)} \approx 3{,}5$ år — etter cirka tre og et halvt år er bilen verdt halvparten. Slike tall gir en intuitiv følelse for hvor fort en eksponentiell utvikling egentlig går.

Oppsummering

Stines varebil og storkjøkkenets kylling forteller samme historie fra hver sin ende: når noe endrer seg med en fast prosent per periode, er utviklingen eksponentiell, og da gjelder formelen $N = N_0 \cdot a^x$, der $N_0$ er startverdien, $a$ er vekstfaktoren og $x$ er antall perioder.

Vekstfaktoren bygger du som før: $p$ % økning gir $\displaystyle a = 1 + \frac{p}{100}$, $p$ % nedgang gir $\displaystyle a = 1 - \frac{p}{100}$. Er $a > 1$, vokser størrelsen; er $0 < a < 1$, minker den — men den når aldri helt null, slik bilen til 420 000 kr fortsatt var verdt 155 700 kr etter fem år med 18 % årlig verditap.

Forskjellen fra lineær endring er selve kjernen: lineært betyr fast beløp per periode, eksponentielt betyr fast prosent — og prosenten regnes av stadig ny verdi. Derfor eksploderer bakterietall som dobles hver halvtime, fra 200 til 12 800 på tre timer.

Fordoblingstid og halveringstid er tiden det tar før verdien er doblet eller halvert, og kan finnes med logaritmer: $\displaystyle \frac{\log 2}{\log a}$ og $\displaystyle \frac{\log 0{,}5}{\log a}$. Neste gang noen sier «bare noen prosent i året», vet du at det kan bety enormt mye — gitt nok tid.