2.3 Praktisk modellering | Matematikk 2P-Y

Bruk funksjoner og grafer til å modellere situasjoner fra arbeidslivet.

45 min

8 oppgaver

ModelleringBreak-evenKostnadsanalyseBeslutninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære sammenhenger 2.2Prosentvis endring

Matematisk modellering

Modellering handler om å bruke matematikk til å beskrive virkeligheten.

En matematisk modell kan være:
- En formel som beregner kostnader
- En graf som viser utvikling over tid
- En likning som beskriver en sammenheng

Modeller forenkler virkeligheten, men hjelper oss å forstå og ta beslutninger.

✏️Eksempel 1: Break-even analyse

En snekker starter egen bedrift. Han har følgende kostnader og inntekter:

Faste kostnader per måned:
- Verkstedleie: 8 000 kr
- Forsikringer: 2 500 kr
- Verktøy og vedlikehold: 1 500 kr

Variable kostnader og inntekter per time arbeid:
- Materialkostnad i snitt: 150 kr/time
- Timepris til kunde: 580 kr/time

a) Sett opp kostnadsfunksjon $K(t)$ og inntektsfunksjon $I(t)$ der $t$ er antall fakturerte timer.
b) Hvor mange timer må han fakturere for å gå i null (break-even)?
c) Hva blir fortjenesten hvis han fakturerer 50 timer i måneden?

Løsning:

a) Kostnadsfunksjon:
Faste kostnader: $8\,000 + 2\,500 + 1\,500 = 12\,000$ kr
Variable kostnader: $150t$ kr
$K(t) = 150t + 12\,000$

Inntektsfunksjon:
$I(t) = 580t$

b) Break-even (der $I(t) = K(t)$ ):
$580t = 150t + 12\,000$
$430t = 12\,000$
$t = \frac{12\,000}{430} \approx 27{,}9 \text{ timer}$

Han må fakturere minst 28 timer for å gå i null.

c) Fortjeneste ved 50 timer:
$\text{Fortjeneste} = I(50) - K(50) = 580 \cdot 50 - (150 \cdot 50 + 12\,000)$
$= 29\,000 - 19\,500 = 9\,500 \text{ kr}$

📊Utforsk: Break-even grafisk

Rød graf: kostnader $k(x) = 8000 + 50x$ (faste kostnader pluss 50 kr per enhet). Blå graf: inntekter $i(x) = 130x$ . Det grønne skjæringspunktet er break-even ved 100 enheter – til høyre for punktet går bedriften med overskudd.

📝Oppgave 2.9

En frisør driver egen salong med følgende økonomi:

Faste månedskostnader:
- Husleie: 12 000 kr
- Strøm og internett: 1 800 kr
- Forsikring: 1 200 kr

Per kunde:
- Produktkostnad: 45 kr
- Inntekt per klipp: 450 kr

a) Sett opp kostnadsfunksjon $K(x)$ og inntektsfunksjon $I(x)$ der $x$ er antall kunder.
b) Hvor mange kunder trengs for break-even?
c) Hva blir månedlig fortjeneste ved 80 kunder?

Sett opp funksjonene

Break-even

Fortjeneste ved 80 kunder

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.10

En bedrift vurderer å kjøpe versus leie en varebil.

Kjøp:
- Pris: 420 000 kr
- Årlige kostnader (forsikring, service): 25 000 kr
- Drivstoff og slitasje: 3,50 kr/km

Leasing:
- Månedlig leie: 7 500 kr (inkl. service og forsikring)
- Drivstoff: 3,50 kr/km

Bedriften kjører ca. 25 000 km per år.

a) Sett opp årlig kostnadsfunksjon for kjøp $K_k(x)$ der $x$ er antall km.
b) Sett opp årlig kostnadsfunksjon for leasing $K_l(x)$ .
c) Hva blir årskostnaden for hver løsning ved 25 000 km?
d) Etter hvor mange år er kjøp billigere enn leasing? (Ignorer verdifall på bilen)

Kjøpskostnad per år

Leasingkostnad per år

Årskostnad 25 000 km

Når er kjøp billigere?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.11

En verksted tilbyr tre ulike serviceavtaler for bedrifters maskiner:

Avtale A: Betaling per oppdrag
- Utkjøring: 950 kr
- Timepris: 890 kr

Avtale B: Månedlig grunnpakke
- Fast månedspris: 4 500 kr
- Timepris: 650 kr
- Utkjøring inkludert

Avtale C: Fullservice
- Fast månedspris: 12 000 kr
- Alt inkludert (opptil 15 timer/måned)

En bedrift anslår at de trenger ca. 8 timer service per måned.

a) Sett opp kostnadsfunksjoner for de tre avtalene som funksjon av timer $t$ .
b) Hva koster hver avtale ved 8 timer per måned?
c) Ved hvor mange timer blir avtale B billigere enn A?
d) Ved hvor mange timer blir avtale C billigere enn B?

Kostnadsfunksjoner

Kostnad ved 8 timer

B billigere enn A

C billigere enn B

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matematisk modellering: Å beskrive en praktisk situasjon med en funksjon, f.eks. kostnad $K(x)$ og inntekt $I(x)$ .
- Break-even (nullpunkt): Antallet der inntekt $=$ kostnad. Løses ved å sette $I(x) = K(x)$ .
- Overskudd: $O(x) = I(x) - K(x)$ .
- Gyldighetsområde: En modell gjelder bare for visse verdier av $x$ — vurder alltid om svaret gir mening i praksis.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Modell	Funksjon som beskriver en praktisk situasjon
Break-even	Der inntekter og kostnader er like store
Overskudd	Inntekt minus kostnad
Gyldighetsområde	Verdiene av $x$ der modellen gir mening

Viktige formler

O(x) = I(x) - K(x)

- Break-even: løs

I(x) = K(x)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.