2.3 Praktisk modellering

Snekkeren som ville stå på egne bein

Even har jobbet som snekker i fire år og bestemmer seg for å starte eget firma. Han er trygg på håndverket — men nå dukker det opp spørsmål av en annen type: Hvor mange timer må jeg fakturere i måneden før jeg tjener penger? Hva sitter jeg igjen med hvis jeg får oppdrag for 50 timer?

For å svare trenger Even matematisk modellering: å bruke matematikk til å beskrive virkeligheten. En matematisk modell kan være en formel som beregner kostnader, en graf som viser utvikling over tid, eller en likning som beskriver en sammenheng. Modeller forenkler alltid virkeligheten — ingen formel fanger alt som kan skje på en byggeplass — men nettopp forenklingen gjør at vi kan forstå situasjonen og ta gode beslutninger.

I dette kapittelet bygger vi Evens modell steg for steg: først en kostnadsfunksjon og en inntektsfunksjon, deretter finner vi punktet der firmaet går i null, og til slutt regner vi ut fortjenesten. Det er samme fremgangsmåte du kan bruke på en hvilken som helst liten virksomhet — fra foodtruck til frisørstol.

Å bygge modellen

Even setter opp tallene sine. Hver måned har han faste kostnader uansett hvor mye han jobber: verkstedleie 8 000 kr, forsikringer 2 500 kr, verktøy og vedlikehold 1 500 kr. Til sammen

$$8\,000 + 2\,500 + 1\,500 = 12\,000 \text{ kr}$$

I tillegg går det i snitt 150 kr i materialkostnad for hver time han jobber, og han tar 580 kr per time av kunden.

Nå kan vi oversette dette til matematikk. La $t$ være antall fakturerte timer i måneden. Kostnadsfunksjonen består av de variable kostnadene $150t$ pluss de faste 12 000 kr:

$$K(t) = 150t + 12\,000$$

Inntektsfunksjonen er enklere — 580 kr ganger antall timer:

$$I(t) = 580t$$

Begge er lineære funksjoner. Tegner vi dem i samme koordinatsystem, starter kostnadslinjen på 12 000 kr (de faste kostnadene løper fra dag én) og stiger med 150 kr per time, mens inntektslinjen starter i origo og stiger brattere, med 580 kr per time. Siden inntektslinjen er brattest, må de to linjene krysse hverandre et sted — og akkurat det krysningspunktet er det viktigste punktet i hele modellen. Der skal vi i neste seksjon.

Break-even — og hva modellen egentlig sier

Hvor mange timer må Even fakturere for å gå i null? Det skjer der inntektene akkurat dekker kostnadene, altså der $I(t) = K(t)$. Dette punktet kalles break-even eller nullpunktet:

$$580t = 150t + 12\,000$$

Vi trekker $150t$ fra begge sider: $430t = 12\,000$, som gir

$$t = \frac{12\,000}{430} \approx 27{,}9 \text{ timer}$$

Even må altså fakturere minst 28 timer i måneden for å gå i null. Det er under en uke med fullt belegg — plutselig føles ikke firmadrømmen så skummel.

Hva så med en god måned på 50 timer? Overskuddet er differansen mellom inntekt og kostnad, $O(t) = I(t) - K(t)$:

$$O(50) = 580 \cdot 50 - (150 \cdot 50 + 12\,000) = 29\,000 - 19\,500 = 9\,500 \text{ kr}$$

Til slutt et ord om sunn fornuft: enhver modell har et gyldighetsområde — de verdiene av $t$ der modellen gir mening. Negative timer er meningsløst, og det finnes en øvre grense for hvor mange timer Even fysisk kan jobbe i en måned. Setter du inn $t = 800$, gir formelen et svar, men svaret er tull. Vurder alltid om resultatet gir mening i praksis før du stoler på det — det er forskjellen på å regne og å modellere.

Oppsummering

Even gikk fra magefølelse til modell: han oversatte firmaet sitt til to lineære funksjoner, kostnaden $K(t) = 150t + 12\,000$ og inntekten $I(t) = 580t$, og dermed kunne han svare presist på spørsmålene som holdt ham våken om natta.

Matematisk modellering er nettopp dette — å beskrive en praktisk situasjon med funksjoner. Break-even eller nullpunktet finner du ved å sette $I(x) = K(x)$ og løse likningen; for Even ble svaret 28 timer i måneden. Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$, og med 50 fakturerte timer satt han igjen med 9 500 kr.

Men husk modellens viktigste fotnote: gyldighetsområdet. En formel svarer villig på alt du spør om, også det meningsløse. Det er du som må vurdere om svaret gir mening — om timene er mulige å jobbe, om prisene holder seg, om forenklingene er rimelige. En modell er et kart, ikke terrenget. Brukt med hodet er den likevel det beste verktøyet du har når du skal planlegge en virksomhet — eller bare finne ut om sommerjobben lønner seg.