7.3 Ulikskapar

Løyse lineære ulikskapar og forstå løysingsmengda.

50 min

10 oppgaver

UlikskapLøysingsmengdSnu ulikskapsteiknet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Likninger med en ukjent

Ulikskapar

Ofte er vi ikkje ute etter éin eksakt verdi, men eit område: «Kor mange timar for minst 5 000 kr?»

Du lærer:
- Symbola $<, >, \leq, \geq$
- Å løyse fyrstegradsulikskapar
- Kva som skjer ved gonging/deling med negativt tal
- Å løyse to ulikskapar samtidig

Ulikskap

<

Viktig regel

Når du gongar eller deler med eit negativt tal, må du snu ulikskapsteiknet. Døme: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$ .

✏️Lineær ulikskap

Løys $3x+7 \leq 22$ .

3x + 7 \leq 22

$3x \leq 15$

$x \leq 5$

Svar: $x \leq 5$ , det vil seie alle tal mindre enn eller lik 5.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Ulikskap løyst grafisk

Ulikskapen

2x - 4 > 0

er oppfylt der den blå grafen ligg over x-aksen. Nullpunktet

N = (2, 0)

er grensa, og det skraverte området viser løysinga

x > 2

. Prøv å endre ulikskapsteiknet til

<

i kommandoen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2x - 4
N = Nullpunkt(f)
a: 2x - 4 > 0
SetColor(f, "Blue")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Praktisk ulikskap

Ein elev tener 165 kr per time. Ho vil spare minst 4 000 kr. Kor mange timar må ho minst jobbe?

La $t$ vere talet på arbeidstimar.

$165t \geq 4\,000$

$\displaystyle t \geq \frac{4\,000}{165}$

$t \geq 24{,}24\ldots$

Svar: Ho må jobbe minst 25 heile timar.

To krav samtidig

I praktiske situasjonar må ofte fleire krav vere oppfylte samtidig, til dømes at utgiftene held seg innanfor budsjettet og at inntektene dekkjer utgiftene. Då løyser vi kvar ulikskap for seg. Løysinga er dei verdiane som oppfyller begge ulikskapane, altså der løysingsområda overlappar.

Løysingsmengda kan også skrivast med intervallnotasjon. Hakeparentes tyder at endepunktet er med, vinkelparentes at det ikkje er med: $60 \leq x \leq 80$ blir skrive $[60, 80]$ , og $x > -5$ blir skrive $\langle -5, \rightarrow \rangle$ .

✏️Budsjett og kostnadsdekning

Elevrådet skipar til skuleball. Leige av lokalet kostar 6 000 kr, og mat og drikke kostar 150 kr per gjest. Billetten kostar 250 kr. La $x$ vere talet på gjester.

a) Utgiftene kan vere høgst 18 000 kr. Set opp ein ulikskap og løys han.

b) Billettinntektene skal minst dekkje utgiftene. Set opp ein ulikskap og løys han.

c) Kor mange gjester kan kome når begge krava skal vere oppfylte? Løys også oppgåva grafisk i GeoGebra.

$6\,000 + 150x \leq 18\,000$

$150x \leq 12\,000$

$x \leq 80$

Svar: Det kan kome høgst 80 gjester.

$250x \geq 6\,000 + 150x$

$100x \geq 6\,000$

$x \geq 60$

Svar: Det må kome minst 60 gjester.

$60 \leq x \leq 80$

Grafisk:

f(x) = 6000 + 150x

g(x) = 250x

h: y = 18000

Skjering(f, g)

$(60,\ 15\,000)$

Skjering(f, h)

$(80,\ 18\,000)$

Inntektslinja $g$ ligg over utgiftslinja $f$ for $x \geq 60$ , og $f$ ligg under budsjettgrensa $h$ for $x \leq 80$ .

Utgiftslinja 6000 + 150x, inntektslinja 250x og budsjettgrensa y = 18 000. Inntektslinja kryssar utgiftslinja i (60, 15 000), og utgiftslinja når budsjettgrensa i (80, 18 000). Intervallet frå 60 til 80 gjester er markert på x-aksen.

Svar: Det kan kome mellom 60 og 80 gjester, begge tala medrekna.

📝Oppgave 1

Løys ulikskapen $2x - 5 > 9$ .

📝Oppgave 2

Løys ulikskapen $-4x \geq 20$ .

📝Oppgave 3

Løys ulikskapen $5(x - 2) + 3 < 2x + 8$ .

📝Oppgave 4

Ein taxitur kostar 60 kr i startgebyr og 12 kr per kilometer. Du har 300 kr. Kor mange kilometer kan du høgst køyre?

📝Oppgave 5

Abonnement A kostar 199 kr per månad pluss 0,50 kr per SMS. Abonnement B kostar 349 kr per månad, og SMS er gratis. For kor mange SMS per månad er abonnement A billegast?

📝Oppgave 6

Linn sel vaflar på ein skuledag for 25 kr per stykk. Ho betaler 400 kr for leige av vaffeljern og 6 kr i ingrediensar per vaffel. La $x$ vere talet på vaflar ho sel.

Ho vil ha eit overskot på minst 1 500 kr. Set opp ein ulikskap og løys han.

Vaffeljernet lagar høgst 30 vaflar i timen, og ho sel i 4 timar. Set opp ein ulikskap for $x$ .

Kor mange vaflar må ho selje for at begge krava skal vere oppfylte? Kor stort blir overskotet høgst?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løyse ulikskapar:

- Ein ulikskap samanliknar to uttrykk med $<$ , $>$ , $\le$ eller $\ge$ . Løysinga er som regel eit heilt intervall av verdiar.
- Ulikskapar blir løyste med dei same reglane som likningar — med eitt viktig unntak:
- Snu ulikskapsteiknet når du gongar eller deler med eit negativt tal på begge sider.
- Løysinga kan teiknast på ei tallinje: open sirkel for $<$ og $>$ , fylt sirkel for $\le$ og $\ge$ .
- Praktiske «maks/minst»-situasjonar (budsjett, kapasitet, krav) blir omsette naturleg til ulikskapar.
- Når to krav skal gjelde samtidig, løyser vi kvar ulikskap for seg. Løysinga er verdiane som oppfyller begge, til dømes $60 \leq x \leq 80$ , som med intervallnotasjon blir skrive $[60, 80]$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Ulikskap	Samanlikning med $<$ , $>$ , $\le$ eller $\ge$
Løysingsmengd	Alle verdiar som oppfyller ulikskapen
Intervallnotasjon	$[60, 80]$ : endepunkta er med. $\langle -5, \rightarrow \rangle$ : alle tal større enn $-5$
Å snu teiknet	Nødvendig ved multiplikasjon/divisjon med negativt tal

Viktig å hugse

-2x < 10

gjev

x > -5

— teiknet blir snutt fordi vi deler på

-2

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.