7.2 Likningssett

Løse to likninger med to ukjente ved innsettings- og addisjonsmetoden.

45 min

10 oppgaver

LikningssettInnsettingsmetodenAddisjonsmetoden

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Likninger med en ukjent

Likningssett

Noen ganger trenger vi to likninger for å bestemme to ukjente. Et likningssett er to likninger som gjelder samtidig.

Du lærer:
- Innsettingsmetoden
- Addisjonsmetoden
- Å sette opp likningssett fra tekst

Likningssett

x

✏️Innsettingsmetoden

Løs: $y = 2x+1$ og $3x+y = 16$ .

3x + (2x + 1) = 16

$5x + 1 = 16$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Kontroll: $3 \cdot 3 + 7 = 16$

Svar: $x = 3$ og $y = 7$

✏️Addisjonsmetoden

Én gruppe kjøper 3 kaffe og 2 boller og betaler 175 kr. En annen gruppe kjøper 2 kaffe og 4 boller og betaler 190 kr. Hva koster en kaffe, og hva koster en bolle?

La $k$ være prisen på en kaffe og $b$ prisen på en bolle.

$\text{(I)}\quad 3k + 2b = 175$

$\text{(II)}\quad 2k + 4b = 190$

Vi ganger (I) med 2 slik at begge likningene får leddet $4b$ . Når vi trekker (II) fra, forsvinner $b$ .

$2 \cdot \text{(I)}:\quad 6k + 4b = 350$

$2 \cdot \text{(I)} - \text{(II)}:\quad 4k = 160$

$k = 40$

Innsatt i (I):

$3 \cdot 40 + 2b = 175$

$2b = 55$

$b = 27{,}50$

Svar: En kaffe koster 40 kr og en bolle 27,50 kr.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Likningssett løst grafisk

Likningssettet

y = 2x + 1

y = -x + 7

er tegnet som to linjer. Løsningen er det grønne skjæringspunktet

(2, 5)

– det eneste punktet som ligger på begge linjene. Endre likningene og se hvordan løsningen flytter seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f: y = 2x + 1
g: y = -x + 7
S = Skjæring(f, g)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetColor(S, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Samme likningssett løst på tre måter

Løs likningssettet $x + 2y = 8$ og $3x - y = 3$

a) ved regning

b) grafisk i GeoGebra

c) med CAS i GeoGebra

d) Vurder de tre metodene.

$\text{(II)}:\quad y = 3x - 3$

Innsatt i (I):

$x + 2(3x - 3) = 8$

$x + 6x - 6 = 8$

$7x = 14$

$x = 2$

$y = 3 \cdot 2 - 3 = 3$

f: x + 2y = 8

g: 3x - y = 3

S = Skjæring(f, g)

$S = (2, 3)$

To rette linjer: x + 2y = 8 synker slakt fra (0, 4), og 3x − y = 3 stiger bratt gjennom (1, 0). Linjene skjærer hverandre i punktet (2, 3), som er markert.

Løs({x + 2y = 8, 3x - y = 3}, {x, y})

$\{\{x = 2,\; y = 3\}\}$

Regning viser hvert steg og gir eksakt svar, men tar lengst tid og gir lett regnefeil. Grafen viser løsningen som skjæringspunktet mellom to linjer og gjør det lett å se om svaret er rimelig, men en avlesning er bare så nøyaktig som figuren. CAS gir eksakt svar raskest, men viser ikke hvordan svaret kommer fram. På del 1 av eksamen må vi regne. På del 2 velger vi CAS eller graf og kontrollerer svaret i begge likningene.

Kontroll: $2 + 2 \cdot 3 = 8$ og $3 \cdot 2 - 3 = 3$

Svar: $x = 2$ og $y = 3$

📝Oppgave 1

Løs likningssettet $x + y = 10$ og $x - y = 4$ .

📝Oppgave 2

Løs likningssettet $y = 3x - 5$ og $2x + y = 15$ med innsettingsmetoden.

📝Oppgave 3

Lise kjøper 2 t-skjorter og 1 caps og betaler 650 kr. Jonas kjøper 1 t-skjorte og 3 capser og betaler 575 kr. Hva koster en t-skjorte, og hva koster en caps?

📝Oppgave 4

Løs likningssettet $2x + 3y = 19$ og $4x - 3y = 5$ .

📝Oppgave 5

En bonde har høns og sauer, til sammen 20 dyr. Dyrene har til sammen 56 bein. Hvor mange høns og hvor mange sauer har bonden?

📝Oppgave 6

Løs likningssettet $2x + y = 9$ og $x - y = 3$ på tre måter.

Løs likningssettet ved regning.

Løs likningssettet grafisk i GeoGebra.

Løs likningssettet med CAS.

Hvilken metode ville du brukt på del 1 og på del 2 av eksamen? Begrunn svaret.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løse likningssett med to ukjente:

- Et likningssett består av to likninger med to ukjente. Løsningen er verdiparet $(x, y)$ som passer i begge likningene.
- Innsettingsmetoden: Uttrykk den ene ukjente fra én likning, og sett uttrykket inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Legg sammen (eller trekk fra) likningene slik at en ukjent forsvinner.
- Grafisk er løsningen skjæringspunktet mellom de to linjene.
- Med CAS løser vi likningssettet med Løs({likning1, likning2}, {x, y}). Kontroller alltid svaret i begge likningene.
- Praktiske problemer med to ukjente størrelser (priser, antall) kan oversettes til likningssett.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likningssett	To likninger med to ukjente
Innsettingsmetoden	Sett uttrykk for én ukjent inn i den andre likningen
Addisjonsmetoden	Legg sammen likningene for å eliminere en ukjent
Grafisk løsning	Skjæringspunktet mellom grafene

Viktig fremgangsmåte

1. Velg metode (innsetting eller addisjon).
2. Finn den ene ukjente.
3. Sett tilbake og finn den andre.
4. Sjekk løsningen i begge likningene.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.