7.2 Ulikheter

Kaféregningen uten prisliste

Du sitter på kafé med to vennegjenger. Den første gjengen kjøpte tre kaffe og to boller og betalte 175 kr. Den andre kjøpte to kaffe og fire boller og betalte 190 kr. Ingen husker hva en kaffe eller en bolle kostet hver for seg – men kan vi regne det ut? Ja, faktisk. To opplysninger om to ukjente priser er akkurat nok.

Dette er situasjonen der én likning ikke strekker til. Likningen $3k + 2b = 175$ har uendelig mange løsninger alene – kaffen kan koste 1 kr og bollen 86 kr, eller noe helt annet. Men sammen med $2k + 4b = 190$ snevres mulighetene inn til nøyaktig én kombinasjon. Et likningssett med to ukjente består av to likninger med $x$ og $y$ (eller $k$ og $b$) som skal gjelde samtidig. Løsningen er verdiparet som passer i begge likningene.

I denne fortellingen lærer du to systematiske metoder for å finne dette verdiparet – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden – og hvordan du oversetter hverdagssituasjoner som kaféregningen til likningssett. Til slutt skal vi se hva løsningen betyr grafisk.

Innsettingsmetoden – bytt ut den ene ukjente

Den første metoden bygger på en enkel idé: Hvis du vet hva $y$ er uttrykt ved $x$, kan du bytte ut $y$ i den andre likningen – og dermed sitte igjen med én likning med én ukjent. Det kan du allerede løse.

Se på settet $y = 2x + 1$ og $3x + y = 16$. Den første likningen forteller oss nøyaktig hva $y$ er: $2x + 1$. Vi setter dette inn i den andre likningen i stedet for $y$: $3x + (2x + 1) = 16$. Nå er det bare én ukjent igjen: $5x + 1 = 16$, så $5x = 15$ og $x = 3$. Til slutt finner vi $y$ ved å sette tilbake i den første likningen: $y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Løsningen er verdiparet $(3, 7)$.

Et eksempel fra butikken: Lise kjøpte to t-skjorter og en caps for 650 kr, Jonas kjøpte én t-skjorte og tre capser for 575 kr. Med $t$ for t-skjortepris og $c$ for capspris får vi $2t + c = 650$ og $t + 3c = 575$. Fra den første: $c = 650 - 2t$. Inn i den andre: $t + 3(650 - 2t) = 575$, altså $t + 1\,950 - 6t = 575$, som gir $-5t = -1\,375$ og $t = 275$. Da er $c = 650 - 2 \cdot 275 = 100$. En t-skjorte koster 275 kr og en caps 100 kr.

Innsettingsmetoden er ekstra praktisk når en av likningene allerede er løst for en ukjent, slik som $y = 2x + 1$. Da er innsettingen rett fram.

Addisjonsmetoden – la en ukjent forsvinne

Den andre metoden er nesten magisk: Vi legger sammen de to likningene, side for side, slik at en av de ukjente forsvinner. Det fungerer når den ukjente har motsatte fortegn i de to likningene.

Enklest mulig eksempel: $x + y = 10$ og $x - y = 4$. Legger vi sammen venstresidene og høyresidene, blir $+y$ og $-y$ borte: $2x = 14$, altså $x = 7$. Da gir den første likningen $y = 3$. Løsningen er $(7, 3)$.

Ofte må vi forberede likningene først. Ta settet $2x + 3y = 19$ og $4x - 3y = 5$ – her står $+3y$ og $-3y$ allerede klare til å oppheve hverandre: addisjon gir $6x = 24$, så $x = 4$, og innsetting gir $3y = 19 - 8 = 11$, altså $\displaystyle y = \frac{11}{3}$. Men i kaféoppgaven fra innledningen, $3k + 2b = 175$ og $2k + 4b = 190$, må vi gange den første likningen med 2 først: $6k + 4b = 350$. Trekker vi så den andre likningen fra denne, forsvinner $b$-leddene: $4k = 160$, som gir $k = 40$. Da er $2 \cdot 40 + 4b = 190$, altså $4b = 110$ og $b = 27{,}50$. Kaffen kostet 40 kr og bollen 27,50 kr.

Et klassisk eksempel til slutt: En bonde har høns og sauer – 20 dyr og 56 bein til sammen. Med $h$ høns og $s$ sauer: $h + s = 20$ og $2h + 4s = 56$. Fra den første: $h = 20 - s$. Innsatt: $2(20 - s) + 4s = 56$, altså $40 + 2s = 56$, som gir $s = 8$ og $h = 12$. Velg den metoden som gir minst arbeid – og sjekk alltid løsningen i begge likningene.

Den grafiske historien – to linjer møtes

Det finnes en tredje måte å se likningssett på, og den gir metodene mening. Hver av likningene i et likningssett kan tegnes som en rett linje i et koordinatsystem. Likningen $y = 2x + 1$ er en linje; $3x + y = 16$ kan skrives om til $y = -3x + 16$ – også en linje.

Hvert punkt på den første linjen er en kombinasjon av $x$ og $y$ som oppfyller den første likningen. Hvert punkt på den andre linjen oppfyller den andre. Løsningen av likningssettet – verdiparet som passer i begge – må derfor ligge på begge linjene samtidig. Det finnes bare ett slikt punkt: skjæringspunktet. For settet vårt skjærer linjene hverandre i $(3, 7)$, nøyaktig løsningen vi regnet ut med innsetting.

Den grafiske måten gir god intuisjon: To rette linjer som ikke er parallelle, møtes i nøyaktig ett punkt – derfor har et vanlig likningssett nøyaktig én løsning. Grafisk løsning er også en fin kontrollmetode: tegn linjene digitalt og les av skjæringspunktet.

Når du møter et praktisk problem med to ukjente størrelser – to priser, to antall – er fremgangsmåten alltid den samme: Gi de ukjente navn, oversett opplysningene til to likninger, velg metode (innsetting når en ukjent allerede er uttrykt, addisjon når ledd kan oppheve hverandre), finn den ene ukjente, sett tilbake og finn den andre. Og som alltid: sjekk løsningen i begge likningene.

To likninger, to ukjente, én løsning

Kaféregningen fra innledningen er ikke lenger et mysterium: kaffen kostet 40 kr og bollen 27,50 kr. Veien dit gikk gjennom et likningssett – to likninger med to ukjente som gjelder samtidig, der løsningen er verdiparet $(x, y)$ som passer i begge.

Du har nå to metoder i verktøykassen. Med innsettingsmetoden uttrykker du den ene ukjente fra én likning og setter uttrykket inn i den andre – spesielt lettvint når en likning allerede står på formen $y = \ldots$. Med addisjonsmetoden legger du likningene sammen slik at en ukjent forsvinner, om nødvendig etter å ha ganget en av likningene med et passende tall. Begge metodene ender samme sted: én likning med én ukjent, som du løser på vanlig måte før du setter tilbake og finner den andre.

Grafisk er løsningen skjæringspunktet mellom de to linjene likningene beskriver – derfor har et vanlig sett nøyaktig én løsning. Og oppskriften for praktiske problemer sitter: gi de ukjente navn, oversett opplysningene til to likninger, velg metode, løs – og sjekk svaret i begge likningene. Neste gang noen lurer på hva kaffen egentlig kostet, vet du nøyaktig hva du skal gjøre.