7.3 Formler og bokstavregning

Når svaret ikke er ett tall

Du har sommerjobb og tjener 165 kr i timen. Målet ditt er å spare minst 4 000 kr. Hvor mange timer må du jobbe? Legg merke til at spørsmålet ikke har ett svar – jobber du 30 timer går det bra, 40 timer går enda bedre. Svaret er et helt område av muligheter, og for å beskrive det trenger vi noe annet enn en likning.

En ulikhet sier at den ene siden er større eller mindre enn den andre. Vi bruker fire symboler: $<$ betyr «mindre enn», $>$ betyr «større enn», mens $\leq$ og $\geq$ betyr «mindre eller lik» og «større eller lik» – de inkluderer altså likhet. Sparekravet ditt blir ulikheten $165t \geq 4\,000$, der $t$ er antall timer.

Mens en likning som regel har én løsning, har en ulikhet en hel løsningsmengde – alle verdiene som oppfyller kravet. I denne fortellingen lærer du å løse ulikheter med nesten samme teknikk som likninger, du møter den ene viktige fellen der reglene skiller seg – og du ser hvordan «minst»- og «maks»-situasjoner fra hverdagen blir til ulikheter.

Å løse ulikheter – nesten som likninger

Den gode nyheten først: Ulikheter løses med de samme grepene som likninger. Du kan legge til og trekke fra det samme på begge sider, og du kan gange og dele med positive tall – ulikhetstegnet peker samme vei hele tiden.

Ta $3x + 7 \leq 22$. Vi trekker 7 fra begge sider: $3x \leq 15$. Så deler vi på 3: $x \leq 5$. Løsningen er ikke ett tall, men alle verdier mindre enn eller lik 5. Setter du inn $x = 4$: $3 \cdot 4 + 7 = 19 \leq 22$, stemmer. Setter du inn $x = 6$: $25 \leq 22$ – usant, akkurat som forventet.

Løsningsmengden kan tegnes på en tallinje: en fylt sirkel på 5 (fordi $\leq$ inkluderer 5) og en strek mot venstre. Hadde ulikheten vært $x < 5$, ville sirkelen vært åpen – 5 er da ikke med.

Parenteser håndteres som før. Ulikheten $5(x - 2) + 3 < 2x + 8$ blir $5x - 10 + 3 < 2x + 8$, altså $5x - 7 < 2x + 8$. Vi samler ledd: $3x < 15$, som gir $x < 5$. Alle verdier strengt mindre enn 5 oppfyller ulikheten.

Og sommerjobben? $165t \geq 4\,000$ gir $\displaystyle t \geq \frac{4000}{165} \approx 24{,}2$. Siden du jobber hele timer, må du jobbe minst 25 timer. Legg merke til det siste steget: i praktiske oppgaver må svaret ofte rundes til en verdi som gir mening i situasjonen – og når kravet er «minst», runder vi opp.

Fellen: å gange eller dele med negativt tall

Nå kommer den ene regelen som skiller ulikheter fra likninger – og som er kilden til nesten alle feil i dette temaet.

Se på den åpenbart sanne ulikheten $2 < 5$. Gang begge sider med $-1$: venstre side blir $-2$, høyre side blir $-5$. Men $-2$ er ikke mindre enn $-5$ – det er motsatt! På tallinjen ligger $-2$ til høyre for $-5$. Multiplikasjonen med et negativt tall speiler tallene rundt null, og da bytter «størst» og «minst» plass.

Derfor lyder regelen: Når du ganger eller deler begge sider av en ulikhet med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet.

La oss bruke den. Løs $-4x \geq 20$: Vi deler begge sider på $-4$, og snur tegnet: $x \leq -5$. Sjekk gjerne med $x = -6$: $-4 \cdot (-6) = 24 \geq 20$, stemmer. Hadde vi glemt å snu tegnet og svart $x \geq -5$, ville for eksempel $x = 0$ gitt $0 \geq 20$ – åpenbart galt.

Et eksempel til: $-2x < 10$ gir $x > -5$ – tegnet snus fordi vi deler på $-2$. Legg merke til at det bare er ganging og deling med negative tall som krever snuing. Å legge til eller trekke fra negative tall er helt trygt, og det samme er ganging og deling med positive tall. Et godt råd er å sjekke løsningen med et prøvetall: velg et tall i løsningsmengden din og se om den opprinnelige ulikheten stemmer.

«Maks» og «minst» i hverdagen

Nå skal verktøyet ut i praksis, for hverdagen er full av ulikheter i forkledning. Hver gang du hører ordene «minst», «maks», «høyst», «ikke mer enn» eller «innenfor budsjettet», er det en ulikhet som snakker.

Du står på taxiholdeplassen med 300 kr i lomma. Taxien tar 60 kr i startgebyr og 12 kr per kilometer. Hvor langt kan du kjøre? Kostnaden $60 + 12k$ må holde seg innenfor det du har: $60 + 12k \leq 300$. Vi trekker fra 60: $12k \leq 240$, og deler på 12: $k \leq 20$. Du kan kjøre maks 20 km.

Eller mobilabonnementet: Abonnement A koster 199 kr i måneden pluss 0,50 kr per SMS, abonnement B koster 349 kr med gratis SMS. Når er A billigst? Vi krever $199 + 0{,}50s < 349$: det gir $0{,}50s < 150$, altså $s < 300$. A lønner seg så lenge du sender færre enn 300 meldinger i måneden.

Legg merke til mønsteret i begge oppgavene: Vi uttrykker kostnaden, setter opp kravet som en ulikhet, løser med vanlige regneregler – og tolker svaret i situasjonen. Tolkningen er halve jobben: $k \leq 20$ betyr «maks 20 km», $s < 300$ betyr «færre enn 300 SMS», og i timeeksempelet fra innledningen måtte $t \geq 24{,}2$ rundes opp til 25 hele timer. Matematikk gir intervallet; situasjonen avgjør hvilke verdier i intervallet som gir mening.

Et helt område av svar

Denne fortellingen begynte med et spørsmål som ikke hadde ett svar, men mange: hvor mange timer du må jobbe for å spare minst 4 000 kr. Slike situasjoner beskriver vi med ulikheter, der symbolene $<$, $>$, $\leq$ og $\geq$ sammenlikner to uttrykk, og der løsningen er en hel løsningsmengde – et intervall av verdier som kan tegnes på en tallinje med åpen sirkel for $<$ og $>$, og fylt sirkel for $\leq$ og $\geq$.

Du løser ulikheter med de samme grepene som likninger – legge til, trekke fra, gange og dele på begge sider – med ett avgjørende unntak: Når du ganger eller deler med et negativt tall, snur du ulikhetstegnet. Husk eksempelet $-2x < 10$, som gir $x > -5$; glemmer du snuingen, blir hele løsningsmengden feil. Ganging og deling med positive tall, og all addisjon og subtraksjon, lar tegnet stå i fred.

Viktigst av alt: hverdagens «maks», «minst» og «innenfor budsjettet» er ulikheter i forkledning. Taxituren, mobilabonnementet og sommerjobben fulgte alle samme oppskrift – uttrykk situasjonen, sett opp kravet, løs ulikheten og tolk svaret i sammenhengen, gjerne rundet til hele enheter. Med det er du rustet til å svare presist også når svaret ikke er ett tall, men et helt område av muligheter.