7.3 Ulikheter

Løse lineære ulikheter og forstå løsningsmengden.

50 min

10 oppgaver

UlikhetLøsningsmengdeSnu ulikhetstegnet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Likninger med en ukjent

Ulikheter

Ofte er vi ikke ute etter én eksakt verdi, men et område: «Hvor mange timer for minst 5 000 kr?»

Du lærer:
- Symbolene $<, >, \leq, \geq$
- Å løse førstegradsulikheter
- Hva som skjer ved ganging/deling med negativt tall
- Å løse to ulikheter samtidig

Ulikhet

<

Viktig regel

Når du ganger eller deler med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet. Eksempel: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$ .

✏️Lineær ulikhet

Løs $3x+7 \leq 22$ .

3x + 7 \leq 22

$3x \leq 15$

$x \leq 5$

Svar: $x \leq 5$ , det vil si alle tall mindre enn eller lik 5.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Ulikhet løst grafisk

Ulikheten

2x - 4 > 0

er oppfylt der den blå grafen ligger over x-aksen. Nullpunktet

N = (2, 0)

er grensen, og det skraverte området viser løsningen

x > 2

. Prøv å endre ulikhetstegnet til

<

i kommandoen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2x - 4
N = Nullpunkt(f)
a: 2x - 4 > 0
SetColor(f, "Blue")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Praktisk ulikhet

En elev tjener 165 kr per time. Hun vil spare minst 4 000 kr. Hvor mange timer må hun minst jobbe?

La $t$ være antall arbeidstimer.

$165t \geq 4\,000$

$\displaystyle t \geq \frac{4\,000}{165}$

$t \geq 24{,}24\ldots$

Svar: Hun må jobbe minst 25 hele timer.

To krav samtidig

I praktiske situasjoner må ofte flere krav være oppfylt samtidig, for eksempel at utgiftene holder seg innenfor budsjettet og at inntektene dekker utgiftene. Da løser vi hver ulikhet for seg. Løsningen er de verdiene som oppfyller begge ulikhetene, altså der løsningsområdene overlapper.

Løsningsmengden kan også skrives med intervallnotasjon. Hakeparentes betyr at endepunktet er med, vinkelparentes at det ikke er med: $60 \leq x \leq 80$ skrives $[60, 80]$ , og $x > -5$ skrives $\langle -5, \rightarrow \rangle$ .

✏️Budsjett og kostnadsdekning

Elevrådet arrangerer skoleball. Leie av lokalet koster 6 000 kr, og mat og drikke koster 150 kr per gjest. Billetten koster 250 kr. La $x$ være antall gjester.

a) Utgiftene kan være høyst 18 000 kr. Sett opp en ulikhet og løs den.

b) Billettinntektene skal minst dekke utgiftene. Sett opp en ulikhet og løs den.

c) Hvor mange gjester kan komme når begge kravene skal være oppfylt? Løs også oppgaven grafisk i GeoGebra.

$6\,000 + 150x \leq 18\,000$

$150x \leq 12\,000$

$x \leq 80$

Svar: Det kan komme høyst 80 gjester.

$250x \geq 6\,000 + 150x$

$100x \geq 6\,000$

$x \geq 60$

Svar: Det må komme minst 60 gjester.

$60 \leq x \leq 80$

Grafisk:

f(x) = 6000 + 150x

g(x) = 250x

h: y = 18000

Skjæring(f, g)

$(60,\ 15\,000)$

Skjæring(f, h)

$(80,\ 18\,000)$

Inntektslinja $g$ ligger over utgiftslinja $f$ for $x \geq 60$ , og $f$ ligger under budsjettgrensa $h$ for $x \leq 80$ .

Utgiftslinja 6000 + 150x, inntektslinja 250x og budsjettgrensa y = 18 000. Inntektslinja krysser utgiftslinja i (60, 15 000), og utgiftslinja når budsjettgrensa i (80, 18 000). Intervallet fra 60 til 80 gjester er markert på x-aksen.

Svar: Det kan komme mellom 60 og 80 gjester, begge tall medregnet.

📝Oppgave 1

Løs ulikheten $2x - 5 > 9$ .

📝Oppgave 2

Løs ulikheten $-4x \geq 20$ .

📝Oppgave 3

Løs ulikheten $5(x - 2) + 3 < 2x + 8$ .

📝Oppgave 4

En taxitur koster 60 kr i startgebyr og 12 kr per kilometer. Du har 300 kr. Hvor mange kilometer kan du høyst kjøre?

📝Oppgave 5

Abonnement A koster 199 kr per måned pluss 0,50 kr per SMS. Abonnement B koster 349 kr per måned, og SMS er gratis. For hvor mange SMS per måned er abonnement A billigst?

📝Oppgave 6

Linn selger vafler på en skoledag for 25 kr per stykk. Hun betaler 400 kr for leie av vaffeljern og 6 kr i ingredienser per vaffel. La $x$ være antall vafler hun selger.

Hun vil ha et overskudd på minst 1 500 kr. Sett opp en ulikhet og løs den.

Vaffeljernet lager høyst 30 vafler i timen, og hun selger i 4 timer. Sett opp en ulikhet for $x$ .

Hvor mange vafler må hun selge for at begge kravene skal være oppfylt? Hvor stort blir overskuddet høyst?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løse ulikheter:

- En ulikhet sammenlikner to uttrykk med $<$ , $>$ , $\le$ eller $\ge$ . Løsningen er som regel et helt intervall av verdier.
- Ulikheter løses med de samme reglene som likninger — med ett viktig unntak:
- Snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall på begge sider.
- Løsningen kan tegnes på en tallinje: åpen sirkel for $<$ og $>$ , fylt sirkel for $\le$ og $\ge$ .
- Praktiske «maks/minst»-situasjoner (budsjett, kapasitet, krav) oversettes naturlig til ulikheter.
- Når to krav skal gjelde samtidig, løser vi hver ulikhet for seg. Løsningen er verdiene som oppfyller begge, for eksempel $60 \leq x \leq 80$ , som med intervallnotasjon skrives $[60, 80]$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Ulikhet	Sammenlikning med $<$ , $>$ , $\le$ eller $\ge$
Løsningsmengde	Alle verdier som oppfyller ulikheten
Intervallnotasjon	$[60, 80]$ : endepunktene er med. $\langle -5, \rightarrow \rangle$ : alle tall større enn $-5$
Å snu tegnet	Nødvendig ved multiplikasjon/divisjon med negativt tall

Viktig å huske

-2x < 10

gir

x > -5

— tegnet snus fordi vi deler på

-2

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.