7.1 Likninger med en ukjent | Matematikk 2P

Løse likninger av første grad med praktiske anvendelser.

50 min

10 oppgaver

LikningUkjentLøsningKontrollFormel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Likningssett 7.3Ulikheter

Likninger med en ukjent

En likning sier at to uttrykk er like. Å løse likningen betyr å finne verdien av den ukjente.

I dette kapittelet lærer du:
- Å løse førstegradslikninger
- Å håndtere parenteser og brøk
- Å sette opp likninger fra tekst
- Å sette inn i, forenkle og snu formler

Likning

\text{venstre side} = \text{høyre side}

✏️Likning med parentes

Løs $3(x - 4) + 2 = 2x + 5$ .

3(x - 4) + 2 = 2x + 5

$3x - 12 + 2 = 2x + 5$

$3x - 10 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 + 10$

$x = 15$

Kontroll: $3(15 - 4) + 2 = 35$ og $2 \cdot 15 + 5 = 35$

Svar: $x = 15$

✏️Praktisk likning

Treningsstudio A koster 299 kr per måned pluss 50 kr per besøk. Treningsstudio B koster 799 kr per måned uansett hvor mange ganger du trener. Ved hvor mange besøk per måned koster de to studioene like mye?

La $x$ være antall besøk per måned.

$299 + 50x = 799$

$50x = 500$

$x = 10$

Svar: Ved 10 besøk per måned koster studioene like mye.

Sett alltid svaret tilbake i likningen for kontroll.

📝Oppgave 1

Løs $5x - 3 = 2x + 12$ .

📝Oppgave 2

Løs $4(2x+1) - 3(x-2) = 25$ .

📝Oppgave 3

En håndverker tar 450 kr i utrykningsgebyr og 380 kr per time. Regningen ble på 2 350 kr. Hvor mange timer arbeidet håndverkeren?

✏️Likning med brøk

Løs $\displaystyle \frac{x}{4} + 1 = \frac{x}{6} + 2$ .

Fellesnevneren er 12. Vi ganger hvert ledd med 12.

$\displaystyle 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot 1 = 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot 2$

$3x + 12 = 2x + 24$

$3x - 2x = 24 - 12$

$x = 12$

Kontroll: $\displaystyle \frac{12}{4} + 1 = 4$ og $\displaystyle \frac{12}{6} + 2 = 4$

Svar: $x = 12$

📝Oppgave 4

Løs $\displaystyle \frac{x}{3}+2 = \frac{x}{2}-1$ .

📝Oppgave 5

Lisa har 800 kr og setter inn 150 kr hver uke. Markus har 350 kr og setter inn 250 kr hver uke. Etter hvor mange uker har Markus mer penger enn Lisa?

Algebraiske uttrykk og formler

Et algebraisk uttrykk består av tall, bokstaver og regneoperasjoner, for eksempel $3x + 2y - 5$ . Delene som er skilt med pluss eller minus, kalles ledd. En formel er en likning som viser sammenhengen mellom flere størrelser, for eksempel $s = v \cdot t$ (strekning = fart · tid).

Med formler gjør vi tre ting:
- setter inn kjente verdier og regner ut den størrelsen vi mangler
- forenkler uttrykk ved å løse opp parenteser og samle ledd av samme slag
- snur formelen, det vil si løser den for en annen størrelse

✏️Sette inn i en formel

Leieprisen for en hytte er $P = 1\,200 + 450n$ kroner, der $n$ er antall døgn. Hva koster det å leie hytta i 6 døgn?

P = 1\,200 + 450 \cdot 6

$P = 1\,200 + 2\,700$

$P = 3\,900$

Svar: Det koster 3 900 kr å leie hytta i 6 døgn.

Regler for å forenkle uttrykk

4a + 3a = 7a

✏️Forenkle uttrykk

Forenkle uttrykkene.

a) $5x + 3y - 2x + y$

b) $4(2a - 3) - 2(a - 5)$

$5x + 3y - 2x + y$

$= 5x - 2x + 3y + y$

$= 3x + 4y$

Svar: $3x + 4y$

$4(2a - 3) - 2(a - 5)$

$= 8a - 12 - 2a + 10$

$= 6a - 2$

Svar: $6a - 2$

Å snu en formel

Å snu en formel betyr å løse den for en annen størrelse enn den som står alene. Vi bruker de samme reglene som for likninger: vi gjør det samme på begge sider til størrelsen vi ønsker, står alene på den ene siden.

✏️Snu enkle formler

a) Formelen $s = v \cdot t$ gir strekningen $s$ når farten er $v$ og tiden er $t$ . Løs formelen for $t$ .

b) Arealet av en trekant er $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ . Løs formelen for $h$ .

$s = v \cdot t$

$\displaystyle \frac{s}{v} = \frac{v \cdot t}{v}$

$\displaystyle t = \frac{s}{v}$

Svar: $\displaystyle t = \frac{s}{v}$

$\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$

$2A = g \cdot h$

$\displaystyle \frac{2A}{g} = h$

$\displaystyle h = \frac{2A}{g}$

Kontroll: Med $g = 6$ og $h = 4$ er $\displaystyle A = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ , og $\displaystyle \frac{2 \cdot 12}{6} = 4$ .

Svar: $\displaystyle h = \frac{2A}{g}$

✏️Fra fahrenheit til celsius

Sammenhengen mellom temperatur i grader fahrenheit, $F$ , og grader celsius, $C$ , er $F = 1{,}8C + 32$ .

a) Løs formelen for $C$ .

b) En amerikansk oppskrift sier at ovnen skal stå på 356 °F. Hvor mange grader celsius er det?

$F = 1{,}8C + 32$

$F - 32 = 1{,}8C$

$\displaystyle C = \frac{F - 32}{1{,}8}$

Svar: $\displaystyle C = \frac{F - 32}{1{,}8}$

$\displaystyle C = \frac{356 - 32}{1{,}8}$

$\displaystyle C = \frac{324}{1{,}8}$

$C = 180$

Svar: Ovnen skal stå på 180 °C.

✏️Hvor mye må settes inn?

Et beløp $K_0$ som står i banken i $n$ år med vekstfaktor $v$ per år, vokser til $K = K_0 \cdot v^n$ .

a) Løs formelen for $K_0$ .

b) Hvor mye må du sette inn i dag for å ha 50 000 kr om 5 år når renten er 4 % per år?

$K = K_0 \cdot v^n$

$\displaystyle \frac{K}{v^n} = \frac{K_0 \cdot v^n}{v^n}$

$\displaystyle K_0 = \frac{K}{v^n}$

Svar: $\displaystyle K_0 = \frac{K}{v^n}$

$v = 1{,}04$ og $n = 5$

$\displaystyle K_0 = \frac{50\,000}{1{,}04^5}$

$K_0 \approx 41\,096$

Kontroll: $41\,096 \cdot 1{,}04^5 \approx 50\,000$

Svar: Du må sette inn ca. 41 096 kr.

Kontroller en snudd formel ved å velge tall som passer i den opprinnelige formelen, og se at den snudde formelen gir tilbake det tallet du startet med.

📝Oppgave 6

Sett inn i formlene.

Arealet av en trekant er $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ . Finn arealet når $g = 8$ cm og $h = 5$ cm.

En taxitur koster $P = 65 + 18k$ kroner, der $k$ er antall kilometer. Hva koster en tur på 12 km?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Forenkle uttrykkene.

7x - 2 + 3x + 9

2(3a + 4) + 5a

6(x - 2) - (2x - 5)

3(2p - q) - 2(p - 4q)

📝Oppgave 8

Løs formlene for den størrelsen som står i parentes.

P = 4s

(

s

)

I = 250x

(

x

)

TK = 120\,000 + 80x

(

x

)

V = l \cdot b \cdot h

(

h

)

📝Oppgave 9

Gjennomsnittsfarten er $\displaystyle v = \frac{s}{t}$ , der $s$ er strekningen og $t$ er tiden.

Løs formelen for $s$ .

Løs formelen for $t$ .

En syklist holder en gjennomsnittsfart på 18 km/h. Hvor lang tid bruker hun på 45 km?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Et beløp som står i banken med 3,5 % rente per år, vokser etter formelen $K = K_0 \cdot 1{,}035^n$ , der $K_0$ er beløpet som ble satt inn og $n$ er antall år.

Løs formelen for $K_0$ .

Hvor mye må settes inn i dag for at beløpet skal være 100 000 kr om 8 år?

Lisa har 60 000 kr på kontoen. Pengene har stått der i 3 år. Hvor mye satte hun inn?

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Kroppsmasseindeksen er $\displaystyle \text{KMI} = \frac{m}{h^2}$ , der $m$ er massen i kilogram og $h$ er høyden i meter.

Løs formelen for $m$ .

Hvor mye veier en person som er 1,80 m høy og har KMI 25?

Løs formelen for $h$ .

En person veier 72 kg og har KMI 22,5. Hvor høy er personen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løse likninger med én ukjent:

- En likning er en påstand om at to uttrykk er like. Å løse likningen vil si å finne verdien av den ukjente som gjør påstanden sann.
- Grunnregelen: Gjør det samme på begge sider av likhetstegnet — legg til, trekk fra, gang eller del.
- Parenteser løses opp først: $a(b + c) = ab + ac$ .
- Samle ledd med den ukjente på den ene siden og tall på den andre.
- Sjekk svaret ved å sette løsningen inn i den opprinnelige likningen.
- Mange praktiske problemer kan oversettes til en likning: ukjent pris, antall eller tid.
- Et algebraisk uttrykk forenkles ved å løse opp parenteser og samle ledd av samme slag.
- En formel snus med de samme reglene som en likning: gjør det samme på begge sider til størrelsen du ønsker, står alene.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likning	Påstand om at to uttrykk er like
Ukjent	Størrelsen vi skal finne, ofte kalt $x$
Løsning	Verdien som gjør likningen sann
Ledd	Del av et uttrykk skilt med pluss eller minus
Formel	Likning som viser sammenhengen mellom flere størrelser

Viktig fremgangsmåte

1. Løs opp parenteser.
2. Samle

x

-ledd på én side, tall på den andre.
3. Del på tallet foran

x

.
4. Sett prøve på svaret.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.