4.1 Sannsynlighetsregning | Matematikk 2P

Grunnleggende sannsynlighet og sannsynlighetsregler.

50 min

14 oppgaver

UtfallsromHendelserAddisjonssetningenMultiplikasjonssetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Betinget sannsynlighet 4.3Binomisk sannsynlighet 4.4Normalfordeling

Sannsynsrekning

Sannsyn handlar om å rekne ut sjansen for at noko skjer. Anten det er å vinne i Lotto, at det regnar i morgon, eller at ein tilfeldig vald elev har brune auge -- alt kan skildrast med sannsyn.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva utfallsrom og hendingar er
- Korleis rekne ut sannsynet for ei hending
- Komplementsetninga
- Addisjonssetninga for foreinlege og uforeinlege hendingar
- Bruke valtre og systematisk oppteljing

Utfallsrom, hending og sannsyn

\Omega

✏️Eksempel: Terningkast

Du kastar ein vanleg terning. Kva er sannsynet for å få a) 4, b) eit partal, c) eit tal større enn 4?

Løysing:

Utfallsrom: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , altså 6 moglege utfall.

a) Hending $A$ : «få 4». Gunstige utfall: $\{4\}$ -- 1 utfall.

$P(A) = \frac{1}{6}$

b) Hending $B$ : «partal». Gunstige utfall: $\{2, 4, 6\}$ -- 3 utfall.

$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Hending $C$ : «tal større enn 4». Gunstige utfall: $\{5, 6\}$ -- 2 utfall.

$P(C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Du trekkjer eitt kort frå ein vanleg kortstokk med 52 kort. Kva er sannsynet for å trekkje eit ess?

📝Oppgave 2

I ein pose ligg 5 raude, 3 blå og 2 grøne kuler. Du trekkjer éi kule tilfeldig. a) Kva er sannsynet for å trekkje ei raud kule? b) Kva er sannsynet for å trekkje ei kule som ikkje er blå?

Komplementsetninga

A'

✏️Eksempel: Komplementsetninga

Sannsynet for at det regnar i morgon er 0,35. Kva er sannsynet for at det ikkje regnar?

Løysing:

Lat $A$ = «det regnar». Då er $A'$ = «det regnar ikkje».

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$

Svar: Sannsynet for at det ikkje regnar er $0{,}65$ eller $65\%$ .

📝Oppgave 3

Sannsynet for at ein tilfeldig vald elev har bursdag i januar er $\displaystyle \frac{31}{365}$ . Kva er sannsynet for at eleven ikkje har bursdag i januar?

Addisjonssetninga

A

✏️Eksempel: Addisjonssetninga

Du trekkjer eitt kort frå ein kortstokk. Kva er sannsynet for å trekkje eit ess eller eit hjarterkort?

Løysing:

$A$ : «trekkje ess» → $\displaystyle P(A) = \frac{4}{52}$

$B$ : «trekkje hjarter» → $\displaystyle P(B) = \frac{13}{52}$

Hendingane er foreinlege -- hjarter-ess er både ess og hjarter.

$\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (hjarter-ess)

$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Svar: Sannsynet er $\displaystyle \frac{4}{13} \approx 0{,}31$ .

📝Oppgave 4

I ein klasse er det 30 elevar. 18 spelar fotball, 12 spelar handball, og 5 spelar begge delar. a) Er hendingane «spelar fotball» og «spelar handball» foreinlege eller uforeinlege? b) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald elev spelar fotball eller handball?

Valtre (treediagram)

Eit valtre (treediagram) er eit verktøy for å visualisere alle moglege utfall i forsøk med fleire trinn. Reglar for valtre: 1. Kvart forgreiningspunkt viser dei moglege utfalla i eitt trinn 2. Langs greinene skriv vi sannsyna 3. Multiplikasjonsregelen : Sannsynet for ein sti = produktet av sannsyna langs stien 4. Addisjonsregelen : Sannsynet for ei hending = summen av sannsyna for alle stiar som gir hendinga Summen av alle sannsyna i endepunkta skal alltid bli 1.

✏️Eksempel: Valtre med to myntkast

Du kastar ein mynt to gonger. Bruk eit valtre til å finne sannsynet for å få minst éin mynt (krone).

Løysing:

Valtreet:
- 1. kast: Krone ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) eller Mynt ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ )
- 2. kast: Krone ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) eller Mynt ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) for kvar grein

Alle stiar:

Utfall	Sannsyn
KK	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
KM	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
MK	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
MM	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

«Minst éi krone» = KK, KM, MK →

\displaystyle P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Svar: Sannsynet er

\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75

📝Oppgave 5

Ein pose inneheld 3 raude og 2 blå kuler. Du trekkjer to kuler etter kvarandre utan tilbakelegging. Teikn eit valtre og finn sannsynet for å trekkje to raude kuler.

Systematisk oppteljing

Når vi skal finne talet på moglege utfall, bruker vi systematisk oppteljing. To viktige prinsipp:

Multiplikasjonsprinsippet: Dersom val 1 kan gjerast på $m$ måtar og val 2 på $n$ måtar, kan begge gjerast på $m \cdot n$ måtar.

Eksempel: Ein pizzarestaurant har 3 botnar og 5 fyll. Tal kombinasjonar: $3 \cdot 5 = 15$ .

Systematisk oppteljing er grunnlaget for å finne utfallsrommet i meir samansette forsøk.

✏️Eksempel: Multiplikasjonsprinsippet

Ein PIN-kode består av 4 siffer (0--9). Kor mange moglege PIN-kodar finst? Kva er sannsynet for å gjette rett på første forsøk?

Løysing:

Kvart siffer kan veljast på 10 måtar (0, 1, 2, ..., 9).

Tal moglege PIN-kodar: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$

$P(\text{riktig gjett}) = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 = 0{,}01\%$

Svar: Det er 10 000 moglege PIN-kodar, og sannsynet for å gjette rett er $0{,}01\%$ .

📝Oppgave 6

Eit passord skal bestå av 2 bokstavar (A--Z, 26 moglegheiter) etterfølgt av 3 siffer (0--9). Kor mange moglege passord finst?

Oppsummering

- Sannsyn: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ , alltid mellom 0 og 1
- Komplementsetninga: $P(A') = 1 - P(A)$
- Uforeinlege hendingar: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- Foreinlege hendingar: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Valtre: Multipliser langs stiar, adder mellom stiar
- Multiplikasjonsprinsippet: $m \cdot n$ kombinasjonar for uavhengige val

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Utfallsrom	Mengda av alle moglege utfall
Hending	Ei delmengd av utfallsrommet
Uforeinlege hendingar	Hendingar som ikkje kan skje samtidig
Komplement	Det motsette av ei hending

📝Oppgave 7

I eit lotteri er det 100 lodd, av desse 20 gevinstar. Du kjøper 3 lodd. a) Kva er sannsynet for at det første loddet gir gevinst? b) Bruk eit valtre til å finne sannsynet for at nøyaktig 2 av 3 lodd gir gevinst (utan tilbakelegging). c) Kva er sannsynet for at du vinn minst éin gevinst?

📝Oppgave 8

I ei undersøking blant 200 elevar viser det seg at 120 likar fotball, 90 likar handball, 60 likar basketball, 40 likar både fotball og handball, 30 likar både fotball og basketball, 20 likar både handball og basketball, og 10 likar alle tre idrettar. a) Teikn eit Venn-diagram og fyll inn talet på elevar i kvart område. b) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald elev likar minst éin av idrettane? c) Kva er sannsynet for at eleven likar nøyaktig éin idrett?

📝Oppgave 9

Du kastar to terningar. Kva er sannsynet for at summen er minst 10?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.