Tilbake
4.3
Binomisk sannsynlighet

4.3 Binomisk sannsynlighet

Alle fag for VG2

Binomiske forsøk og binomisk sannsynlighetsmodell.

50 min
14 oppgaver
Binomiske forsøkBinomisk formelForventningsverdiStandardavvik
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Binomisk sannsynlighet

Mange situasjoner handler om gjentatte forsøk med to mulige utfall: suksess eller fiasko. Kaster du en mynt 10 ganger – hvor sannsynlig er nøyaktig 7 krone? Tar du 20 skudd i basketball med 60 % treffprosent – hva er sjansen for minst 15 treff?

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva et binomisk forsøk er
- Bruke den binomiske sannsynlighetsformelen
- Beregne forventningsverdi og standardavvik
- Bruke digitale verktøy for binomisk sannsynlighet

Binomisk forsøk

Et binomisk forsøk har fire kjennetegn:

1. Fast antall forsøk nn
2. To mulige utfall i hvert forsøk: «suksess» eller «fiasko»
3. Fast sannsynlighet pp for suksess i hvert forsøk
4. Uavhengige forsøk – utfallet i ett forsøk påvirker ikke de andre

Den stokastiske variabelen XX = «antall suksesser» følger en binomisk fordeling.

Vi skriver X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n, p).

Eksempler:
- Kaste mynt 10 ganger (n=10n = 10, p=0,5p = 0{,}5)
- 20 basketballskudd med 60 % treffprosent (n=20n = 20, p=0,6p = 0{,}6)
- 15 flervalgsoppgaver med 4 alternativer, ren gjetting (n=15n = 15, p=0,25p = 0{,}25)

✏️Eksempel: Er forsøket binomisk?

Avgjør om følgende forsøk er binomiske:

a) Du kaster en terning 8 ganger og teller antall seksere.
b) Du trekker 5 kort fra en kortstokk uten tilbakelegging og teller antall ess.
c) Du svarer på 12 sant/usant-spørsmål ved å gjette tilfeldig.

Løsning:

a) Ja, binomisk. n=8n = 8, suksess = «6», p=16\displaystyle p = \frac{1}{6}. Kastene er uavhengige og pp er konstant.

b) Nei, ikke binomisk. Trekking uten tilbakelegging gjør forsøkene avhengige. pp endrer seg for hvert trekk (men kan tilnærmes som binomisk hvis kortstokken er stor nok).

c) Ja, binomisk. n=12n = 12, suksess = «riktig svar», p=0,5p = 0{,}5. Spørsmålene er uavhengige ved ren gjetting.

📝Oppgave 1

Hvilket av følgende er et binomisk forsøk?

Binomisk sannsynlighetsformel
Sannsynligheten for nøyaktig kk suksesser i nn forsøk med suksesssannsynlighet pp:

P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

der binomialkoeffisienten er:

(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Binomialkoeffisienten (nk)\binom{n}{k} forteller oss på hvor mange måter vi kan velge kk suksesser blant nn forsøk.

Forklaring av formelen:
- pkp^k: sannsynligheten for kk suksesser
- (1−p)n−k(1-p)^{n-k}: sannsynligheten for n−kn-k fiaskoer
- (nk)\binom{n}{k}: antall rekkefølger dette kan skje på

✏️Eksempel: Binomisk sannsynlighet

Du kaster en terning 5 ganger. Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig 2 seksere?

Løsning:

n=5n = 5, k=2k = 2, p=16\displaystyle p = \frac{1}{6}

Binomialkoeffisient: (52)=5!2!⋅3!=1202⋅6=10\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3

=10⋅136⋅125216=10⋅1257776=12507776≈0,161= 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = 10 \cdot \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161

Svar: Sannsynligheten for nøyaktig 2 seksere er ca. 16,1%16{,}1\%.

📊Utforsk: Binomisk fordeling

Punktene viser P(X=k)P(X = k) for et binomisk forsøk med n=10n = 10 og p=0,5p = 0{,}5, for eksempel 10 myntkast. Det røde punktet viser at P(X=5)≈0,246P(X = 5) \approx 0{,}246 er mest sannsynlig. Endre pp til 0,80{,}8 i kommandoene og se hvordan fordelingen forskyver seg.

📝Oppgave 2

En flervalgsoppgave har 4 alternativer der ett er riktig. En elev gjetter tilfeldig på 8 oppgaver. a) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig 3 riktige? b) Hva er sannsynligheten for å få 0 riktige?

📝Oppgave 3

Hva er verdien av binomialkoeffisienten (62)\binom{6}{2}?

Forventningsverdi og standardavvik
For en binomisk fordeling X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n, p):

Forventningsverdi (gjennomsnittlig antall suksesser):
E(X)=μ=n⋅pE(X) = \mu = n \cdot p

Standardavvik (mål på spredning):
σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Tolkning:
- E(X)E(X) er det antallet suksesser vi forventer «i snitt» over mange gjentakelser
- σ\sigma forteller hvor mye resultatet typisk avviker fra forventningen
- De fleste resultater vil ligge innenfor μ±2σ\mu \pm 2\sigma

✏️Eksempel: Forventningsverdi og standardavvik

En basketballspiller treffer 70 % av straffekastene. Hun tar 20 straffekast. Finn forventningsverdi og standardavvik for antall treff.

Løsning:

X∼Bin(20,  0,70)X \sim \text{Bin}(20,\; 0{,}70)

Forventningsverdi:
E(X)=n⋅p=20⋅0,70=14E(X) = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}70 = 14

Standardavvik:
σ=n⋅p⋅(1−p)=20⋅0,70⋅0,30=4,2≈2,05\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30} = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05

Tolkning: Vi forventer ca. 14 treff, med typiske svingninger på ±2⋅2,05≈±4\pm 2 \cdot 2{,}05 \approx \pm 4. De fleste gangene vil hun treffe mellom 10 og 18 av 20.

📝Oppgave 4

En fabrikk produserer lyspærer med 4 % feilrate. I en pakke med 25 lyspærer: a) Hva er forventet antall defekte lyspærer? b) Hva er standardavviket? c) Ville det vært overraskende å finne 5 defekte lyspærer i en pakke? Begrunn svaret.

📝Oppgave 5

En stokastisk variabel X∼Bin(100,  0,3)X \sim \text{Bin}(100,\; 0{,}3). Hva er forventningsverdien E(X)E(X)?

Bruke digitale verktøy for binomisk sannsynlighet

For større verdier av nn og kk er det upraktisk å regne for hånd. Da bruker vi digitale verktøy.

GeoGebra CAS:
- BinomialKoeffisient(n, k)\texttt{BinomialKoeffisient(n, k)} – beregner (nk)\binom{n}{k}
- Binomial(n, p, k)\texttt{Binomial(n, p, k)} – beregner P(X=k)P(X = k)
- Binomial(n, p, k, true)\texttt{Binomial(n, p, k, true)} – beregner P(X≤k)P(X \leq k) (kumulativ)

Regneark / Excel:
- =BINOM.FORDELING(k; n; p; USANN) for P(X=k)P(X = k)
- =BINOM.FORDELING(k; n; p; SANN) for P(X≤k)P(X \leq k)

Tips: For P(X≥k)P(X \geq k), bruk komplementet:
P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

✏️Eksempel: Bruke kumulativ binomisk sannsynlighet

En elev gjetter tilfeldig på en prøve med 20 sant/usant-spørsmål (p=0,5p = 0{,}5). Hva er sannsynligheten for å få minst 15 riktige?

Løsning:

X∼Bin(20,  0,5)X \sim \text{Bin}(20,\; 0{,}5)

Vi skal finne P(X≥15)=1−P(X≤14)P(X \geq 15) = 1 - P(X \leq 14).

Med GeoGebra: P(X≤14)=Binomial(20, 0.5, 14, true)≈0,9793P(X \leq 14) = \texttt{Binomial(20, 0.5, 14, true)} \approx 0{,}9793

P(X≥15)=1−0,9793=0,0207P(X \geq 15) = 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207

Svar: Sannsynligheten for minst 15 riktige ved ren gjetting er ca. 2,1%2{,}1\%. Det er svært usannsynlig.

📝Oppgave 6

En spørreundersøkelse viser at 40 % av ungdommer foretrekker streaming fremfor tradisjonell TV. Du spør 15 tilfeldig valgte ungdommer. a) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 6 foretrekker streaming? b) Bruk digitale verktøy til å finne sannsynligheten for at færre enn 4 foretrekker streaming.

Oppsummering

- Binomisk forsøk: Fast nn, to utfall, fast pp, uavhengige forsøk
- Binomisk formel: P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
- Forventningsverdi: E(X)=npE(X) = np
- Standardavvik: σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}
- Kumulativ: P(X≤k)P(X \leq k) beregnes lettest med digitale verktøy
- Komplement: P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
Binomisk forsøkForsøk med nn uavhengige repetisjoner med to utfall
Binomialkoeffisient(nk)\binom{n}{k} – antall måter å velge kk av nn
ForventningsverdiGjennomsnittlig antall suksesser: npnp
StandardavvikTypisk spredning rundt forventningen
📝Oppgave 7

En kvalitetskontrollør tester 10 produkter fra en produksjonslinje der 8 % er defekte. a) Hva er sannsynligheten for at ingen av de 10 produktene er defekte? b) Hva er sannsynligheten for at minst 1 produkt er defekt? c) Hva er forventet antall defekte produkter og standardavviket?

📝Oppgave 8

I et TV-quizshow svarer en deltaker på 12 spørsmål. Hvert spørsmål har 3 alternativer. Deltakeren gjetter tilfeldig på alle. a) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig 4 riktige? b) For å gå videre må deltakeren ha minst 8 riktige. Bruk digitale verktøy til å finne denne sannsynligheten. c) Hvor mange riktige svar er det rimelig å forvente? Begrunn svaret med forventningsverdi og standardavvik.

📝Oppgave 9

En stokastisk variabel X∼Bin(50,  0,2)X \sim \text{Bin}(50,\; 0{,}2). Hva er standardavviket σ\sigma?

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.