4.1 Sannsynlighetsregning | Matematikk 2P

Grunnleggende sannsynlighet og sannsynlighetsregler.

50 min

14 oppgaver

UtfallsromHendelserAddisjonssetningenMultiplikasjonssetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Betinget sannsynlighet 4.3Binomisk sannsynlighet 4.4Normalfordeling

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighet handler om å beregne sjansen for at noe skjer. Enten det er å vinne i Lotto, at det regner i morgen, eller at en tilfeldig valgt elev har brune øyne – alt kan beskrives med sannsynlighet.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva utfallsrom og hendelser er
- Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse
- Komplementsetningen
- Addisjonssetningen for forenlige og uforenlige hendelser
- Bruke valgtre og systematisk opptelling

Utfallsrom, hendelse og sannsynlighet

\Omega

✏️Eksempel: Terningkast

Du kaster en vanlig terning. Hva er sannsynligheten for å få a) 4, b) et partall, c) et tall større enn 4?

Løsning:

Utfallsrom: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , altså 6 mulige utfall.

a) Hendelse $A$ : «få 4». Gunstige utfall: $\{4\}$ – 1 utfall.

$P(A) = \frac{1}{6}$

b) Hendelse $B$ : «partall». Gunstige utfall: $\{2, 4, 6\}$ – 3 utfall.

$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Hendelse $C$ : «tall større enn 4». Gunstige utfall: $\{5, 6\}$ – 2 utfall.

$P(C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Du trekker ett kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Hva er sannsynligheten for å trekke et ess?

📝Oppgave 2

I en pose ligger 5 røde, 3 blå og 2 grønne kuler. Du trekker én kule tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en rød kule? b) Hva er sannsynligheten for å trekke en kule som ikke er blå?

Komplementsetningen

A'

✏️Eksempel: Komplementsetningen

Sannsynligheten for at det regner i morgen er 0,35. Hva er sannsynligheten for at det ikke regner?

Løsning:

La $A$ = «det regner». Da er $A'$ = «det regner ikke».

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$

Svar: Sannsynligheten for at det ikke regner er $0{,}65$ eller $65\%$ .

📝Oppgave 3

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har bursdag i januar er $\displaystyle \frac{31}{365}$ . Hva er sannsynligheten for at eleven ikke har bursdag i januar?

Addisjonssetningen

A

✏️Eksempel: Addisjonssetningen

Du trekker ett kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for å trekke et ess eller et hjertekort?

Løsning:

$A$ : «trekke ess» → $\displaystyle P(A) = \frac{4}{52}$

$B$ : «trekke hjerter» → $\displaystyle P(B) = \frac{13}{52}$

Hendelsene er forenlige – hjerter-ess er både ess og hjerter.

$\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (hjerter-ess)

$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Svar: Sannsynligheten er $\displaystyle \frac{4}{13} \approx 0{,}31$ .

📝Oppgave 4

I en klasse er det 30 elever. 18 spiller fotball, 12 spiller håndball, og 5 spiller begge deler. a) Er hendelsene «spiller fotball» og «spiller håndball» forenlige eller uforenlige? b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev spiller fotball eller håndball?

Valgtre (treediagram)

Et valgtre (treediagram) er et verktøy for å visualisere alle mulige utfall i forsøk med flere trinn. Regler for valgtre: 1. Hvert forgreningspunkt viser de mulige utfallene i ett trinn 2. Langs grenene skrives sannsynlighetene 3. Multiplikasjonsregelen : Sannsynligheten for en sti = produktet av sannsynlighetene langs stien 4. Addisjonsregelen : Sannsynligheten for en hendelse = summen av sannsynlighetene for alle stier som gir hendelsen Summen av alle sannsynlighetene i endepunktene skal alltid bli 1.

✏️Eksempel: Valgtre med to myntkast

Du kaster en mynt to ganger. Bruk et valgtre til å finne sannsynligheten for å få minst én mynt (krone).

Løsning:

Valgtreet:
- 1. kast: Krone ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) eller Mynt ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ )
- 2. kast: Krone ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) eller Mynt ( $\displaystyle \frac{1}{2}$ ) for hver gren

Alle stier:

Utfall	Sannsynlighet
KK	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
KM	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
MK	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
MM	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

«Minst én krone» = KK, KM, MK →

\displaystyle P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Svar: Sannsynligheten er

\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75

📝Oppgave 5

En pose inneholder 3 røde og 2 blå kuler. Du trekker to kuler etter hverandre uten tilbakelegging. Tegn et valgtre og finn sannsynligheten for å trekke to røde kuler.

Systematisk opptelling

Når vi skal finne antall mulige utfall, bruker vi systematisk opptelling. To viktige prinsipper:

Multiplikasjonsprinsippet: Hvis valg 1 kan gjøres på $m$ måter og valg 2 på $n$ måter, kan begge gjøres på $m \cdot n$ måter.

Eksempel: En pizzarestaurant har 3 bunner og 5 fyllinger. Antall kombinasjoner: $3 \cdot 5 = 15$ .

Systematisk opptelling er grunnlaget for å finne utfallsrommet i mer sammensatte forsøk.

✏️Eksempel: Multiplikasjonsprinsippet

En PIN-kode består av 4 siffer (0–9). Hvor mange mulige PIN-koder finnes? Hva er sannsynligheten for å gjette riktig på første forsøk?

Løsning:

Hvert siffer kan velges på 10 måter (0, 1, 2, ..., 9).

Antall mulige PIN-koder: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$

$P(\text{riktig gjett}) = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 = 0{,}01\%$

Svar: Det er 10 000 mulige PIN-koder, og sannsynligheten for å gjette riktig er $0{,}01\%$ .

📝Oppgave 6

Et passord skal bestå av 2 bokstaver (A–Z, 26 muligheter) etterfulgt av 3 siffer (0–9). Hvor mange mulige passord finnes?

Oppsummering

- Sannsynlighet: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ , alltid mellom 0 og 1
- Komplementsetningen: $P(A') = 1 - P(A)$
- Uforenlige hendelser: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- Forenlige hendelser: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Valgtre: Multipliser langs stier, adder mellom stier
- Multiplikasjonsprinsippet: $m \cdot n$ kombinasjoner for uavhengige valg

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Utfallsrom	Mengden av alle mulige utfall
Hendelse	En delmengde av utfallsrommet
Uforenlige hendelser	Hendelser som ikke kan skje samtidig
Komplement	Det motsatte av en hendelse

📝Oppgave 7

I et lotteri er det 100 lodd, hvorav 20 gevinster. Du kjøper 3 lodd. a) Hva er sannsynligheten for at det første loddet gir gevinst? b) Bruk et valgtre til å finne sannsynligheten for at nøyaktig 2 av 3 lodd gir gevinst (uten tilbakelegging). c) Hva er sannsynligheten for at du vinner minst én gevinst?

📝Oppgave 8

I en undersøkelse blant 200 elever viser det seg at 120 liker fotball, 90 liker håndball, 60 liker basketball, 40 liker både fotball og håndball, 30 liker både fotball og basketball, 20 liker både håndball og basketball, og 10 liker alle tre idretter. a) Tegn et Venn-diagram og fyll inn antall elever i hvert område. b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev liker minst én av idrettene? c) Hva er sannsynligheten for at eleven liker nøyaktig én idrett?

📝Oppgave 9

Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen er minst 10?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.