4.2 Betinget sannsynlighet | Matematikk 2P

Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser.

55 min

13 oppgaver

Betinget sannsynlighetUavhengighetBayes setningTreediagram

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsregning

Betinget sannsynlighet

Noen ganger vet vi at noe allerede har skjedd, og vi vil finne sannsynligheten for noe annet gitt denne informasjonen. For eksempel: Hva er sannsynligheten for at en person er syk, gitt at en test er positiv?

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva betinget sannsynlighet er og hvordan den beregnes
- Multiplikasjonssetningen
- Forskjellen mellom avhengige og uavhengige hendelser
- Bruke treediagram for betinget sannsynlighet
- Praktiske anvendelser som medisinsk testing og kvalitetskontroll

Betinget sannsynlighet

B

✏️Eksempel: Betinget sannsynlighet med tabell

I en klasse med 30 elever spiller 18 fotball og 8 spiller håndball. 4 elever spiller begge deler. En tilfeldig elev velges. Hva er sannsynligheten for at eleven spiller håndball, gitt at eleven spiller fotball?

Løsning:

$A$ : «spiller fotball», $B$ : «spiller håndball»

$\displaystyle P(A) = \frac{18}{30}$ , $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{4}{30}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4/30}{18/30} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \approx 0{,}22$

Svar: Gitt at eleven spiller fotball, er sannsynligheten for at eleven også spiller håndball $\displaystyle \frac{2}{9} \approx 22\%$ .

📝Oppgave 1

I en undersøkelse svarer 60 % av elevene at de liker matte, og 20 % liker både matte og naturfag. Hva er sannsynligheten for at en elev liker naturfag, gitt at eleven liker matte?

📝Oppgave 2

Tabellen viser fordelingen av 200 elever etter kjønn og foretrukket fag:

Matte	Norsk	Totalt
Gutt	50	40	90
Jente	60	50	110
Totalt	110	90	200

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev foretrekker matte, gitt at eleven er jente? b) Hva er sannsynligheten for at eleven er gutt, gitt at eleven foretrekker norsk?

Multiplikasjonssetningen

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

✏️Eksempel: Trekke kuler uten tilbakelegging

En pose inneholder 6 røde og 4 blå kuler. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge er røde?

Løsning:

$A$ : «første kule er rød», $B$ : «andre kule er rød»

$\displaystyle P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Etter at vi har trukket én rød kule, er det 5 røde og 4 blå igjen (9 kuler totalt):

$\displaystyle P(B|A) = \frac{5}{9}$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

Svar: Sannsynligheten for to røde kuler er $\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}33$ .

📝Oppgave 3

I en skål ligger 8 sjokolader: 5 med nøtter og 3 uten nøtter. Du tar tilfeldig to sjokolader etter hverandre (uten tilbakelegging). a) Hva er sannsynligheten for at begge har nøtter? b) Hva er sannsynligheten for at den andre sjokoladen har nøtter, gitt at den første ikke hadde nøtter?

Uavhengige hendelser

A

✏️Eksempel: Uavhengige hendelser

Sannsynligheten for at en buss er forsinket er 0,15. To busser kjører uavhengig av hverandre. Hva er sannsynligheten for at a) begge er forsinket, b) ingen er forsinket, c) nøyaktig én er forsinket?

Løsning:

La $p = 0{,}15$ (forsinket) og $q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ (i rute).

a) $P(\text{begge forsinket}) = p \cdot p = 0{,}15^2 = 0{,}0225$

b) $P(\text{ingen forsinket}) = q \cdot q = 0{,}85^2 = 0{,}7225$

c) «Nøyaktig én» kan skje på to måter: første forsinket + andre i rute, eller omvendt.

$P(\text{nøyaktig én}) = p \cdot q + q \cdot p = 2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85 = 0{,}255$

Kontroll: $0{,}0225 + 0{,}7225 + 0{,}255 = 1{,}00$ ✓

📝Oppgave 4

Sannsynligheten for å bestå en eksamen er 0,80. To elever tar eksamen uavhengig av hverandre. Hva er sannsynligheten for at begge består?

Treediagram for betinget sannsynlighet

Treediagram er spesielt nyttig for å visualisere betinget sannsynlighet. Langs hver gren skriver vi den betingede sannsynligheten for det aktuelle utfallet.

For å finne sannsynligheten for en bestemt sti, multipliserer vi sannsynlighetene langs stien. For å finne den totale sannsynligheten for en hendelse, summerer vi alle stier som fører til hendelsen.

Totalsetningen for sannsynlighet:
$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')$

✏️Eksempel: Treediagram – kvalitetskontroll

En fabrikk har to maskiner. Maskin A produserer 60 % av varene, og maskin B produserer 40 %. Maskin A har 2 % feilrate, mens maskin B har 5 % feilrate. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt vare er defekt?

Løsning:

Treediagram:
- Maskin A (0,60): Defekt (0,02) | OK (0,98)
- Maskin B (0,40): Defekt (0,05) | OK (0,95)

Totalsetningen:
$P(\text{defekt}) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}02 + 0{,}40 \cdot 0{,}05$
$= 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$

Svar: Sannsynligheten for at en tilfeldig vare er defekt er $3{,}2\%$ .

📝Oppgave 5

En sykdom rammer 1 % av befolkningen. En test for sykdommen gir positivt resultat hos 95 % av de syke (sensitivitet), men gir også falskt positivt hos 3 % av de friske. a) Tegn et treediagram for situasjonen. b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person tester positivt? c) Hva er sannsynligheten for at en person faktisk er syk, gitt at testen er positiv?

Praktisk anvendelse

Betinget sannsynlighet dukker opp i mange virkelige situasjoner:

Medisinsk testing: Selv en nøyaktig test kan gi mange falske positive resultater hvis sykdommen er sjelden. Dette kalles den falske positive paradoksen.

Kvalitetskontroll: Fabrikker bruker betinget sannsynlighet til å vurdere om en feil skyldes en bestemt maskin.

Rettsvesen: DNA-bevis og fingeravtrykk tolkes med betinget sannsynlighet – det er viktig å skille mellom $P(\text{match}|\text{uskyldig})$ og $P(\text{uskyldig}|\text{match})$ .

Oppsummering

- Betinget sannsynlighet: $\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- Multiplikasjonssetningen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
- Uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ når $A$ og $B$ ikke påvirker hverandre
- Totalsetningen: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')$
- Treediagram er et kraftig verktøy for å organisere betingede sannsynligheter

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Betinget sannsynlighet	Sannsynlighet for $B$ gitt at $A$ har skjedd
Uavhengige hendelser	Hendelser der den ene ikke påvirker den andre
Totalsetningen	Beregner $P(B)$ ved å summere over alle mulige betingelser
Falsk positiv	Positiv test hos en frisk person

📝Oppgave 6

Et flyselskap har to ruter. Rute A har 70 % av avgangene, og rute B har 30 %. Sannsynligheten for forsinkelse på rute A er 0,10, og på rute B er den 0,20. a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig avgang er forsinket? b) En avgang er forsinket. Hva er sannsynligheten for at den var på rute B?

📝Oppgave 7

To venner, Ole og Kari, skal uavhengig av hverandre ta teoriprøven for førerkort. Sannsynligheten for at Ole består er 0,75 og for Kari 0,85. a) Hva er sannsynligheten for at begge består? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av dem består? c) Hva er sannsynligheten for at minst én av dem består?

📝Oppgave 8

En bedrift kjøper komponenter fra to leverandører. Leverandør X leverer 70 % av komponentene med 3 % feilrate. Leverandør Y leverer 30 % med 7 % feilrate. a) Hva er den totale feilraten for bedriftens komponenter? b) En komponent viser seg å være defekt. Hva er sannsynligheten for at den kom fra leverandør Y? c) Bedriften vurderer å bytte til kun leverandør X. Hvor mye ville feilraten synke?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.