4.1 Sannsynlighetsregning

Kan vi sette tall på tilfeldigheter?

Tenk deg at du står i en kiosk og vurderer å kjøpe en lodd i et lotteri. Du lurer på: Hvor sannsynlig er det egentlig at jeg vinner? Eller kanskje du sjekker værmeldingen og leser at det er 70 prosent sjanse for regn. Hva betyr egentlig det? Og når vennen din hevder at han "alltid" slår sekser på terningen -- stemmer det, eller er han bare heldig?

Sannsynlighet handler om å sette tall på tilfeldigheter. Det er et matematisk verktøy som lar oss si noe fornuftig om ting vi ikke kan forutsi med sikkerhet. Vi kan ikke vite nøyaktig hva som skjer neste gang vi kaster en terning, men vi kan si noe presist om hva som er sannsynlig. Og det viser seg at disse beregningene har enorm praktisk verdi -- fra forsikringsmatematikk og medisinsk forskning til poker og Lotto.

I dette kapittelet skal vi starte helt fra begynnelsen: Hva er egentlig et utfallsrom? Hva mener vi med en hendelse? Og hvordan regner vi ut sannsynligheten for at noe bestemt skjer? Vi skal også lære noen kraftige verktøy: komplementsetningen, addisjonssetningen og valgtrær.

Utfallsrom, hendelser og den grunnleggende formelen

La oss starte med det aller mest grunnleggende. Når vi gjør et forsøk der utfallet er tilfeldig -- for eksempel kaster en terning -- kaller vi mengden av alle mulige utfall for utfallsrommet. Vi bruker symbolet $\Omega$ (den greske bokstaven omega) for dette. Kaster du en vanlig terning, er utfallsrommet $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Seks mulige utfall, ikke noe mer, ikke noe mindre.

En hendelse er det vi er interessert i å finne sannsynligheten for. Det kan være ett enkelt utfall, som "å få 4", eller en samling av utfall, som "å få et partall". Matematisk sier vi at en hendelse $A$ er en delmengde av utfallsrommet. Hendelsen "partall" inneholder utfallene $\{2, 4, 6\}$ -- tre av de seks mulige.

Og nå kommer selve nøkkelen: Sannsynligheten for en hendelse $A$ er gitt ved formelen $\displaystyle P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$. Denne formelen forutsetter at alle utfall er like sannsynlige -- noe som gjelder for en rettferdig terning, en godt blandet kortstokk og mange andre situasjoner. Sannsynligheten er alltid et tall mellom 0 og 1, der $P(A) = 0$ betyr at hendelsen er umulig, og $P(A) = 1$ betyr at den er sikker.

La oss teste formelen med terningen. Sannsynligheten for å få nøyaktig 4 er $\displaystyle P(\text{fire}) = \frac{1}{6}$, fordi det er 1 gunstig utfall av 6 mulige. Sannsynligheten for et partall er $\displaystyle P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, fordi det er 3 partall blant de 6 mulige. Og sannsynligheten for et tall større enn 4 er $\displaystyle P(\text{tall} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, fordi bare 5 og 6 oppfyller kravet.

Hva med en kortstokk? En standard kortstokk har 52 kort, og det finnes 4 ess. Sannsynligheten for å trekke et ess tilfeldig er altså $\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

Komplementsetningen -- å tenke baklengs

Noen ganger er det lettere å beregne sannsynligheten for at noe ikke skjer, enn for at det skjer. Og det er her komplementsetningen kommer inn som et elegant triks.

Komplementhendelsen til $A$, skrevet $A'$, er rett og slett hendelsen "A skjer ikke". Og fordi noe enten skjer eller ikke skjer, vet vi at $P(A) + P(A') = 1$. Snur vi om på dette, får vi komplementsetningen: $P(A') = 1 - P(A)$.

La oss ta et hverdagslig eksempel. Værmeldingen sier at det er 35 prosent sjanse for regn i morgen. Hva er sjansen for at det ikke regner? Vi setter opp: $P(\text{ikke regn}) = 1 - P(\text{regn}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$. Altså 65 prosent sjanse for tørt vær. Enkelt og greit.

Men komplementsetningen er mer enn bare en snarvei for enkle problemer. Den er spesielt nyttig i situasjoner der det er vanskelig å telle de gunstige utfallene direkte, men lett å telle de ugunstige. Tenk for eksempel på spørsmålet: "Hva er sannsynligheten for å få minst én sekser på tre terningkast?" Å telle alle måter du kan få minst én sekser på er litt rotete -- det kan være én, to eller tre seksere. Men å beregne sannsynligheten for ingen seksere er enkelt: $\displaystyle P(\text{ingen sekser}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$. Dermed er $\displaystyle P(\text{minst én sekser}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}42$.

Her er et annet eksempel å tenke på: Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har bursdag i januar er $\displaystyle \frac{31}{365}$ (31 dager i januar av 365 dager totalt). Da er sannsynligheten for at eleven ikke har bursdag i januar $\displaystyle 1 - \frac{31}{365} = \frac{334}{365}$.

Addisjonssetningen -- når vi spør "det ene eller det andre"

Hva om du trekker et kort fra en kortstokk og lurer på: "Hva er sjansen for å trekke et ess eller et hjertekort?" Her er det fristende å bare legge sammen sannsynlighetene, men da må vi passe på litt. Noen hendelser kan nemlig skje samtidig, og da teller vi noe dobbelt hvis vi bare adderer.

Vi skiller mellom to typer hendelser. Uforenlige hendelser er hendelser som ikke kan skje samtidig. Kaster du en terning, kan du ikke få både 3 og 5 i samme kast. For uforenlige hendelser $A$ og $B$ er regelen enkel: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Unionen $A \cup B$ betyr "A eller B (eller begge)".

Men mange hendelser er forenlige -- de kan skje samtidig. Å trekke et ess og å trekke et hjertekort er forenlige hendelser, fordi hjerter-ess er begge deler. Hvis vi bare legger sammen $P(\text{ess}) + P(\text{hjerter})$, teller vi hjerter-ess dobbelt. Derfor trenger vi den generelle addisjonssetningen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, der $P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at begge skjer.

La oss regne ut kortstokk-eksempelet. Det er 4 ess i kortstokken, så $\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52}$. Det er 13 hjerterkort, så $\displaystyle P(\text{hjerter}) = \frac{13}{52}$. Og det er 1 hjerter-ess, så $\displaystyle P(\text{ess} \cap \text{hjerter}) = \frac{1}{52}$. Dermed: $\displaystyle P(\text{ess} \cup \text{hjerter}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0{,}31$.

Her er et eksempel med en skoleklasse. I en klasse med 30 elever spiller 18 fotball, 12 håndball, og 5 spiller begge deler. Hendelsene "spiller fotball" og "spiller håndball" er forenlige fordi 5 elever gjør begge deler. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball eller håndball er $\displaystyle P(F \cup H) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

Valgtrær -- å se alle mulighetene

Når et forsøk har flere trinn -- for eksempel to myntkast etter hverandre -- kan det bli uoversiktlig å holde styr på alle mulige utfall. Da er et valgtre (også kalt treediagram) et fantastisk verktøy. Det lar deg se alle stiene gjennom forsøket, og det gjør det enkelt å beregne sannsynligheter.

Slik fungerer det: Hvert forgreningspunkt i treet representerer ett trinn i forsøket, og grenene viser de mulige utfallene. Langs hver gren skriver vi sannsynligheten for det utfallet. For å finne sannsynligheten for en bestemt sti gjennom treet -- altså en bestemt kombinasjon av utfall -- multipliserer vi sannsynlighetene langs stien. Dette er multiplikasjonsregelen. Og for å finne sannsynligheten for en hendelse som kan skje på flere måter, legger vi sammen sannsynlighetene for alle stier som gir hendelsen. Det er addisjonsregelen.

La oss se på et konkret eksempel. Du kaster en mynt to ganger. Valgtreet har fire stier: Krone-Krone (KK), Krone-Mynt (KM), Mynt-Krone (MK) og Mynt-Mynt (MM). Hver sti har sannsynlighet $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Hva er sannsynligheten for minst én krone? Det er stiene KK, KM og MK, altså $\displaystyle P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Valgtrær er spesielt nyttige når sannsynlighetene endrer seg mellom trinnene. Tenk deg en pose med 3 røde og 2 blå kuler. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Sannsynligheten for rød på første trekk er $\displaystyle \frac{3}{5}$. Men hvis den første var rød, er det nå bare 2 røde og 2 blå igjen -- 4 kuler totalt. Så sannsynligheten for rød på andre trekk gitt at den første var rød, er $\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Sannsynligheten for to røde kuler er $\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$.

En viktig kontroll: Summen av sannsynlighetene i alle endepunkter i et valgtre skal alltid bli 1. Hvis den ikke gjør det, har du gjort en feil underveis.

Systematisk opptelling og multiplikasjonsprinsippet

Noen ganger trenger vi ikke å tegne hele valgtreet -- vi trenger bare å vite hvor mange mulige utfall det finnes. Og da har vi et kraftig prinsipp: multiplikasjonsprinsippet. Det sier at hvis valg 1 kan gjøres på $m$ måter og valg 2 kan gjøres på $n$ måter, så kan begge valgene gjøres på $m \cdot n$ måter.

Tenk på en pizzarestaurant med 3 typer bunn og 5 typer fylling. Hvor mange ulike pizzakombinasjoner kan du lage? Med multiplikasjonsprinsippet: $3 \cdot 5 = 15$ kombinasjoner. Du trenger ikke å liste opp alle femten -- prinsippet gir deg svaret direkte.

Prinsippet utvides naturlig til flere valg. En PIN-kode består av 4 siffer, og hvert siffer kan være 0 til 9 -- altså 10 muligheter. Antall mulige PIN-koder er $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$. Sannsynligheten for å gjette riktig PIN på første forsøk er dermed $\displaystyle P = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 = 0{,}01\%$. Ikke akkurat oppmuntrende for en tyv.

Hva med et passord som består av 2 bokstaver (A--Z, 26 muligheter per posisjon) etterfulgt av 3 siffer (0--9)? Da er antall mulige passord $26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 676\,000$. Legg merke til at vi multipliserer antall muligheter for hver posisjon -- vi adderer dem ikke. Dette er en vanlig feil: å skrive $26 + 26 + 10 + 10 + 10 = 82$ i stedet for å multiplisere. Addering gir antall valg per posisjon summert, men multiplikasjon gir antall kombinasjoner.

Systematisk opptelling med multiplikasjonsprinsippet er grunnlaget for mye av sannsynlighetsregningen. Når du har funnet antall mulige utfall, kan du sette det rett inn i formelen $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ og finne sannsynligheten.

Oppsummering

Vi har nå vært gjennom de grunnleggende byggeklossene i sannsynlighetsregningen, og du har fått et solid fundament å bygge videre på.

Nøkkelbegreper du nå kjenner:
- Utfallsrommet $\Omega$ er mengden av alle mulige utfall i et forsøk
- En hendelse $A$ er en delmengde av utfallsrommet -- de utfallene vi er interessert i
- Sannsynligheten for en hendelse er $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{mulige utfall}}$, alltid mellom 0 og 1
- Komplementsetningen: $P(A') = 1 - P(A)$ -- sannsynligheten for at A ikke skjer
- Addisjonssetningen for uforenlige hendelser: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- Addisjonssetningen for forenlige hendelser: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Valgtre: Multipliser sannsynligheter langs stier, adder mellom stier
- Multiplikasjonsprinsippet: $m \cdot n$ kombinasjoner for uavhengige valg

Det viktigste du tar med deg:
Sannsynlighetsregning handler om å tenke systematisk om tilfeldigheter. Med utfallsrom, hendelser og noen få regneregler kan du beregne sjansen for nesten hva som helst -- fra terningkast til PIN-koder. Og når det blir uoversiktlig, er valgtreet din beste venn.