2.4 Stykkevis lineære funksjonar

Funksjonar sette saman av fleire rette linjer, brukte i portotakstar, straumprisar og skattesatsar.

50 min

10 oppgaver

Stykkevis lineær funksjonKnekkpunktTakstar og prisarDersom-kommando

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Eksponentielle modeller

Brukes videre i

2.5Regresjonsanalyse

Stykkevis lineære funksjonar

Mange prisar i kvardagen følgjer ikkje éi rett linje. Portotakstar hoppar ved visse vektgrenser, og skattesatsar endrar seg ved ulike inntektsnivå. Slike modellar vert kalla stykkevis lineære funksjonar.

Stykkevis lineær funksjon

f(x) = \begin{cases} a_1 x + b_1, & x < c \\ a_2 x + b_2, & x \geq c \end{cases}

✏️Treningsavtale

Eit senter tek 200 kr/gong for dei 8 første treningane og 100 kr/gong deretter. Finn $K(x)$ .

K(x) = 200x

for

1 \le x \le 8

$K(8) = 200 \cdot 8 = 1\,600$

$K(x) = 1\,600 + 100(x - 8) = 100x + 800$ for $x > 8$

Svar: $K(x) = 200x$ når $1 \le x \le 8$ , og $K(x) = 100x + 800$ når $x > 8$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Stykkevis lineær prismodell

Grafen viser ein pris som er 40 kr per time for dei første 10 timane, og deretter 25 kr per time. Legg merke til knekkpunktet ved

x = 10

der stigingstalet endrar seg. Prøv å endre grensene og prisane i Dersom-kommandoen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = Dersom(x <= 10, 40x, 400 + 25(x - 10))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Frå graf til uttrykk

Grafen viser leigeprisen $K(x)$ kroner for ein båt i $x$ timar. Grafen består av to rette linjestykke: det første går frå $(0, 50)$ til knekkpunktet $(4, 250)$ , det andre går frå $(4, 250)$ gjennom $(10, 400)$ .

a) Finn stigingstalet til kvar del, og forklar kva tala betyr.

b) Finn uttrykket for $K(x)$ , og skriv det som ein kommando i GeoGebra.

a) Første del: $\displaystyle a_1 = \frac{250 - 50}{4 - 0} = \frac{200}{4} = 50$

Andre del: $\displaystyle a_2 = \frac{400 - 250}{10 - 4} = \frac{150}{6} = 25$

Svar: Leiga er 50 kr per time dei 4 første timane og 25 kr per time etter det. Knekkpunktet er $(4, 250)$ .

b) Første del: $K(x) = 50x + 50$ for $0 \le x \le 4$

Andre del: $K(x) = 250 + 25(x - 4) = 25x + 150$ for $x > 4$

Kontroll: $25 \cdot 10 + 150 = 400$

K(x) = Dersom(x <= 4, 50x + 50, 25x + 150)

Svar: $K(x) = 50x + 50$ når $0 \le x \le 4$ , og $K(x) = 25x + 150$ når $x > 4$ .

📝Oppgave 1

Parkering kostar 30 kr/time dei første 2 timane og 50 kr/time etterpå. Kva kostar 5 timar?

📝Oppgave 2

Ein mobiltariff kostar 199 kr/mnd for 5 GB. Ekstra data kostar 50 kr/GB. Set opp $K(x)$ der $x$ er talet på GB.

📝Oppgave 3

Ein elektrikar tek 800 kr i utrykkingsgebyr. I tillegg kostar det 400 kr per time for dei 3 første timane og 600 kr per time etter det. Kva kostar ein jobb på 5 timar?

📝Oppgave 4

Grafen til ein stykkevis lineær funksjon knekkjer ved $x = 10$ . Stigingstalet er 3 når $x < 10$ og 1 når $x > 10$ . Kva betyr det?

📝Oppgave 5

I ein forenkla modell for progressiv skatt betaler ein 22 % skatt av dei første 200 000 kr og 34 % av inntekta over 200 000 kr. Rekn ut skatten for ei inntekt på 350 000 kr.

📝Oppgave 6

Grafen til ein stykkevis lineær funksjon $f$ går som eit rett linjestykke frå $(0, 0)$ til knekkpunktet $(5, 600)$ , og vidare som ei rett linje gjennom $(8, 780)$ .

Finn stigingstalet før og etter knekkpunktet.

Finn uttrykket for $f(x)$ .

Rekn ut $f(12)$ , og skriv funksjonen som ein Dersom-kommando i GeoGebra.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært om stykkevis lineære funksjonar:

- Ein stykkevis lineær funksjon er sett saman av fleire lineære delar som gjeld på kvart sitt intervall.
- Punktet der funksjonen skiftar regel, vert kalla eit knekkpunkt — der vert stigingstalet endra.
- Slike funksjonar vert ofte brukte i praksis: taxiprisar, straumavtaler, løn med overtid og trappetrinnsmodellar for skatt.
- For å rekne ut ein funksjonsverdi må du først finne ut kva for eit intervall $x$ ligg i, og så bruke rett uttrykk.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stykkevis lineær funksjon	Funksjon med ulike lineære uttrykk på ulike intervall
Knekkpunkt	Punkt der stigingstalet vert endra
Intervall	Området av $x$ -verdiar der eitt uttrykk gjeld

Viktig framgangsmåte

- Finn kva for eit intervall

x

-verdien ligg i.
- Bruk det lineære uttrykket som gjeld der.
- Sjekk at delane heng saman i knekkpunkta. (I ein trappefunksjon heng dei ikkje saman – der hoppar verdien.)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.