2.3 Regresjon | Matematikk 2P

Tilpasse funksjoner til data med digitale verktøy.

50 min

12 oppgaver

Lineær regresjonEksponentiell regresjonKorrelasjonModellvalg

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære modeller 2.2Eksponentielle modeller

Regresjon

I praksis har vi ofte datapunkter fra observasjoner eller målinger, og vi ønsker å finne en funksjon som passer best mulig til dataene. Denne prosessen kalles regresjon.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva regresjon er og hvorfor vi bruker det
- Lineær regresjon og korrelasjonskoeffisienten $r$
- Eksponentiell regresjon
- Hvordan velge riktig modell
- Bruke digitale verktøy (regneark/GeoGebra) til regresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Korrelasjon

r

✏️Eksempel: Lineær regresjon

Temperaturen ble målt hver time fra kl. 08 til kl. 14:

Tid (t)	Temp (°C)
0	5
1	7
2	8
3	11
4	12
5	13
6	15

Finn en lineær modell og bruk den til å estimere temperaturen kl. 16 (t = 8).

I GeoGebra:

p = {(0, 5), (1, 7), (2, 8), (3, 11), (4, 12), (5, 13), (6, 15)}

f = RegLin(p)

$f(t) = 1{,}64t + 5{,}21$

r = Korrelasjonskoeffisient(p)

$r = 0{,}992$

f(8)

$f(8) \approx 18{,}4$

Tolkning: Temperaturen stiger med ca. 1,6 °C per time. $r = 0{,}992$ viser en sterk lineær sammenheng, men modellen gjelder trolig bare for dette tidsrommet.

Svar: $f(t) = 1{,}64t + 5{,}21$ . Modellen gir ca. 18,4 °C kl. 16.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Regresjonslinje med RegLin

Datapunktene viser målte verdier. RegLin finner den rette linja som passer best til punktene. Dra i et punkt og se hvordan regresjonslinja justerer seg – ett enkelt avvikende punkt kan flytte hele linja.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste1 = {(1, 12), (2, 19), (3, 31), (4, 38), (5, 52)}
f = RegLin(liste1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

En lineær regresjonsmodell har r = −0,85. Hva betyr dette?

📝Oppgave 2

Sammenhengen mellom timer med trening per uke og hvilepuls ble undersøkt:

Timer trening	0	2	4	6	8	10
Hvilepuls	78	72	68	63	60	56

Bruk digitalt verktøy til å finne en lineær modell. Hva blir estimert hvilepuls for en person som trener 7 timer per uke?

Eksponentiell regresjon

Når dataene ikke følger en rett linje men kurver oppover eller nedover, kan eksponentiell regresjon gi bedre tilpasning.

Eksponentiell regresjon finner $a$ og $b$ i modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Når velge eksponentiell?
- Data som øker/avtar med tilnærmet fast prosent
- Grafen bøyer oppover (vekst) eller nedover (nedgang)
- $R^2$ er høyere for eksponentiell enn for lineær modell

✏️Eksempel: Eksponentiell regresjon

Verdien av en bil ble registrert over flere år:

År	Verdi (1000 kr)
0	350
1	290
2	245
3	200
4	168
5	140

Finn en eksponentiell modell.

I GeoGebra:

p = {(0, 350), (1, 290), (2, 245), (3, 200), (4, 168), (5, 140)}

f = RegEksp(p)

$f(t) = 349{,}9 \cdot 0{,}832^t$

$R^2 = 0{,}9996$ , altså svært god tilpasning.

Tolkning: Vekstfaktoren er $0{,}832$ , så bilen mister ca. $1 - 0{,}832 = 0{,}168 = 16{,}8\,\%$ av verdien hvert år. Startverdien i modellen, ca. 349 900 kr, ligger nær den faktiske prisen på 350 000 kr.

Svar: $f(t) = 349{,}9 \cdot 0{,}832^t$ (i tusen kroner)

📝Oppgave 3

Antall bakterier i en kultur ble telt:

Timer	Antall
0	100
1	150
2	230
3	340
4	510
5	780

Bruk digitalt verktøy til å finne en eksponentiell modell.

Hva er den estimerte vekstprosenten per time?

Estimer antall bakterier etter 8 timer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Når bør man velge eksponentiell regresjon fremfor lineær?

Velge riktig modell

Når du skal velge mellom modeller:

- Plott dataene – se om de følger en rett linje eller kurve
- Kjør begge regresjoner – sammenlign $R^2$ -verdiene
- Vurder konteksten – hva gir mening i situasjonen?
- Vær forsiktig med ekstrapolering – å bruke modellen langt utenfor dataintervallet er usikkert

Tommelfingerregel: Velg den enkleste modellen som gir god tilpasning ( $R^2 > 0{,}9$ ).

📝Oppgave 5

For et datasett gir lineær regresjon $R^2 = 0{,}87$ og eksponentiell regresjon $R^2 = 0{,}96$ .

Hvilken modell passer best?

Hva betyr det at $R^2 = 0{,}96$ ?

📝Oppgave 6

Strømforbruket i en bolig ble registrert:

Måned	kWh
Jan	2400
Feb	2100
Mar	1700
Apr	1200
Mai	800
Jun	600

Bruk digitalt verktøy til å prøve lineær og eksponentiell regresjon. Hvilken modell passer best? Bruk modellen til å estimere forbruket i juli.

📝Oppgave 7

Finn et datasett fra SSB (f.eks. befolkningsutvikling, strømpris, bilsalg) med minst 6 datapunkter. a) Lag et punktdiagram. b) Utfør lineær og eksponentiell regresjon. c) Velg den beste modellen og begrunn valget. d) Bruk modellen til å gjøre en prediksjon og vurder om prediksjonen er rimelig.

Oppsummering

- Regresjon finner funksjonen som passer best til datapunkter
- Lineær regresjon: $y = ax + b$ – for data som følger en rett linje
- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ – for data med fast prosentvis endring
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Måler styrken på den lineære sammenhengen: sterk når $|r| \ge 0{,}7$ , moderat når $0{,}3 \le |r| < 0{,}7$ og svak når $|r| < 0{,}3$
- $R^2$ : Andel av variasjon forklart av modellen
- Velg modellen med høyest $R^2$ og som gir mening i konteksten

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.