2.3 Regresjon | Matematikk 2P

Tilpasse funksjoner til data med digitale verktøy.

50 min

12 oppgaver

Lineær regresjonEksponentiell regresjonKorrelasjonModellvalg

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære modeller 2.2Eksponentielle modeller

Regresjon

I praksis har vi ofte datapunkter fra observasjoner eller målinger, og vi ønsker å finne en funksjon som passer best mulig til dataene. Denne prosessen kalles regresjon.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva regresjon er og hvorfor vi bruker det
- Lineær regresjon og korrelasjonskoeffisienten $r$
- Eksponentiell regresjon
- Hvordan velge riktig modell
- Bruke digitale verktøy (regneark/GeoGebra) til regresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Korrelasjon

r

✏️Eksempel: Lineær regresjon

Temperaturen ble målt hver time fra kl. 08 til kl. 14:

Tid (t)	0	1	2	3	4	5	6
Temp (°C)	5	7	8	11	12	13	15

Finn en lineær modell og bruk den til å estimere temperaturen kl. 16 (t = 8).

Løsning (med digitalt verktøy):

Lineær regresjon gir: $f(t) = 1{,}61t + 5{,}14$

$r = 0{,}995$ (veldig sterk korrelasjon)

Estimat for kl. 16: $f(8) = 1{,}61 \cdot 8 + 5{,}14 = 12{,}88 + 5{,}14 = 18{,}0°C$

Tolkning: Temperaturen stiger med ca. 1,6 °C per time. Modellen passer svært godt til dataene ( $r \approx 1$ ), men den gjelder trolig bare for dette tidsintervallet.

📊Utforsk: Regresjonslinje med RegLin

Datapunktene viser målte verdier. RegLin finner den rette linja som passer best til punktene. Dra i et punkt og se hvordan regresjonslinja justerer seg – ett enkelt avvikende punkt kan flytte hele linja.

📝Oppgave 1

En lineær regresjonsmodell har r = −0,85. Hva betyr dette?

📝Oppgave 2

Sammenhengen mellom timer med trening per uke og hvilepuls ble undersøkt:

Timer trening	0	2	4	6	8	10
Hvilepuls	78	72	68	63	60	56

Bruk digitalt verktøy til å finne en lineær modell. Hva blir estimert hvilepuls for en person som trener 7 timer per uke?

Eksponentiell regresjon

Når dataene ikke følger en rett linje men kurver oppover eller nedover, kan eksponentiell regresjon gi bedre tilpasning.

Eksponentiell regresjon finner $a$ og $b$ i modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Når velge eksponentiell?
- Data som øker/avtar med tilnærmet fast prosent
- Grafen bøyer oppover (vekst) eller nedover (nedgang)
- $r^2$ er høyere for eksponentiell enn for lineær modell

✏️Eksempel: Eksponentiell regresjon

Verdien av en bil ble registrert over flere år:

År	0	1	2	3	4	5
Verdi (1000 kr)	350	290	245	200	168	140

Finn en eksponentiell modell.

Løsning (med digitalt verktøy):

Eksponentiell regresjon: $f(t) = 349 \cdot 0{,}833^t$

$r^2 = 0{,}998$ (svært god tilpasning)

Tolkning: Bilen mister ca. $1 - 0{,}833 = 16{,}7\%$ av verdien hvert år.

Startverdi ≈ 349 000 kr (nær den faktiske 350 000 kr).

📝Oppgave 3

Antall bakterier i en kultur ble telt:

Timer	0	1	2	3	4	5
Antall	100	150	230	340	510	780

a) Bruk digitalt verktøy til å finne en eksponentiell modell. b) Hva er den estimerte vekstprosenten per time? c) Estimer antall bakterier etter 8 timer.

📝Oppgave 4

Når bør man velge eksponentiell regresjon fremfor lineær?

Velge riktig modell

Når du skal velge mellom modeller:

1. Plot dataene – se om de følger en rett linje eller kurve
2. Kjør begge regresjoner – sammenlign $r^2$ -verdiene
3. Vurder konteksten – hva gir mening i situasjonen?
4. Vær forsiktig med ekstrapolering – å bruke modellen langt utenfor dataintervallet er usikkert

Tommelfingerregel: Velg den enkleste modellen som gir god tilpasning ( $r^2 > 0{,}9$ ).

📝Oppgave 5

For et datasett gir lineær regresjon r² = 0,87 og eksponentiell regresjon r² = 0,96. a) Hvilken modell passer best? b) Hva betyr det at r² = 0,96?

Oppsummering

- Regresjon finner funksjonen som passer best til datapunkter
- Lineær regresjon: $y = ax + b$ – for data som følger en rett linje
- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ – for data med fast prosentvis endring
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Måler styrken på den lineære sammenhengen
- $r^2$ : Andel av variasjon forklart av modellen
- Velg modellen med høyest $r^2$ og som gir mening i konteksten

📝Oppgave 6

Strømforbruket i en bolig ble registrert:

Måned	Jan	Feb	Mar	Apr	Mai	Jun
kWh	2400	2100	1700	1200	800	600

Bruk digitalt verktøy til å prøve lineær og eksponentiell regresjon. Hvilken modell passer best? Bruk modellen til å estimere forbruket i juli.

📝Oppgave 7

Finn et datasett fra SSB (f.eks. befolkningsutvikling, strømpris, bilsalg) med minst 6 datapunkter. a) Lag et punktdiagram. b) Utfør lineær og eksponentiell regresjon. c) Velg den beste modellen og begrunn valget. d) Bruk modellen til å gjøre en prediksjon og vurder om prediksjonen er rimelig.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.