2.2 Eksponentielle modeller | Matematikk 2P

Vekst og nedgang - eksponentiell modellering.

55 min

14 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon 2.4Stykkevis lineære funksjoner

Eksponentielle modeller

Ikke alt vokser med et fast beløp – noen ting vokser med en fast prosent. Et bankinnskudd med rente, befolkningsvekst og verdifall på biler følger eksponentiell utvikling.

I dette kapittelet skal du lære:
- Forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst
- Bruke vekstfaktor i eksponentielle modeller
- Beregne doblingstid og halveringstid
- Modellere praktiske situasjoner med eksponentielle funksjoner

Eksponentiell funksjon

f(x) = a \cdot b^x

Type	Eksempel	Vekstfaktor
5 % vekst	$b = 1{,}05$	$> 1$
3 % nedgang	$b = 0{,}97$	$< 1$
Uendret	$b = 1{,}00$	$= 1$

✏️Eksempel: Befolkningsvekst

En by har 80 000 innbyggere og vokser med 1,5 % per år. a) Sett opp en eksponentiell modell. b) Hvor mange innbyggere er det om 10 år?

a) $b = 1 + 0{,}015 = 1{,}015$

$f(t) = 80\,000 \cdot 1{,}015^t$

Svar: $f(t) = 80\,000 \cdot 1{,}015^t$ , der $t$ er antall år.

b) $f(10) = 80\,000 \cdot 1{,}015^{10} \approx 92\,843$

Svar: Byen har ca. 92 800 innbyggere om 10 år.

📝Oppgave 1

Et bankinnskudd på 100 000 kr har 4 % årlig rente. Hva er innskuddet verdt etter 8 år?

📝Oppgave 2

Antall elever ved en skole har økt fra 400 til 520 på 5 år.

Finn den årlige vekstfaktoren.

Hva er den prosentvise årlige veksten?

Hvor mange elever vil skolen ha om ytterligere 3 år med samme veksttakt?

Løs oppgaven

Eksponentiell nedgang

Når noe minsker med en fast prosent per periode, har vi eksponentiell nedgang. Vekstfaktoren er da mellom 0 og 1.

Vanlige eksempler:
- Verdifall på biler og elektronikk
- Nedbrytning av legemidler i kroppen
- Radioaktiv nedbrytning

✏️Eksempel: Verdifall på bil

En bil koster 450 000 kr ny og mister 18 % av verdien hvert år. Hva er bilen verdt etter 5 år?

b = 1 - 0{,}18 = 0{,}82

$f(5) = 450\,000 \cdot 0{,}82^5 \approx 166\,800$

$450\,000 - 166\,800 = 283\,200$

Svar: Bilen er verdt ca. 166 800 kr etter 5 år. Den har tapt ca. 283 200 kr i verdi.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell vekst og nedgang

Blå graf: vekst med 12 % per år (

vekstfaktor = 1{,}12

). Rød graf: nedgang med 12 % per år (

vekstfaktor = 0{,}88

). Begge starter på 5000. Se hvor ulikt de utvikler seg, og prøv å lese av halveringstid og doblingstid på grafene.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 5000 * 1.12^x
g(x) = 5000 * 0.88^x
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

En mobiltelefon koster 12 000 kr og mister 30 % av verdien hvert år.

Sett opp en eksponentiell modell.

Hva er telefonen verdt etter 3 år?

Etter hvor mange år er den verdt mindre enn 2 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Vekstfaktoren for en prosess er 0,92. Hva betyr dette?

Doblingstid og halveringstid

b > 1

✏️Eksempel: Doblingstid

En investering på 1 000 kr vokser med 6 % per år. Hvor lang tid tar det før verdien er doblet? Løs oppgaven ved prøving, grafisk og med CAS, og sammenlikn med 70-regelen.

1\,000 \cdot 1{,}06^T = 2\,000

$1{,}06^T = 2$

Prøving:

$T$	$1{,}06^T$
11	1,898
12	2,012

Grafisk:
f(x) = 1000*1.06^x
Skjæring(f, y = 2000)

$(11{,}9;\ 2\,000)$

CAS:

NLøs(1.06^T = 2)

$T \approx 11{,}9$

70-regelen:

$\displaystyle T \approx \frac{70}{6} \approx 11{,}7$

Svar: Verdien er doblet etter ca. 11,9 år, altså i løpet av det 12. året. 70-regelen gir et godt overslag.

✏️Eksempel: Halveringstid

Et giftstoff i en innsjø brytes ned med 12 % per år. Det er 500 kg av stoffet i innsjøen nå.

a) Finn halveringstiden ved prøving og med CAS.

b) Hvor mye av stoffet er igjen etter to halveringstider?

c) Et annet stoff har en halveringstid på 4 år. Vis at vekstfaktoren per år er ca. 0,84.

$b = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

$0{,}88^T = 0{,}5$

Prøving:

$T$	$0{,}88^T$
5	0,528
6	0,464

CAS:
NLøs(0.88^T = 0.5)

T \approx 5{,}4

Svar: Halveringstiden er ca. 5,4 år.

$500 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 125$

Svar: 125 kg er igjen etter to halveringstider, det vil si etter ca. 10,8 år.

$b^4 = 0{,}5$

$\displaystyle b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}841$

Kontroll: $0{,}84^4 \approx 0{,}498 \approx 0{,}5$

Svar: $\displaystyle b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}84$

📝Oppgave 5

En bil mister 15 % av verdien hvert år.

Hva er halveringstiden?

En bil kostet 500 000 kr ny. Når er den verdt under 100 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

En befolkning vokser med 2 % per år. Omtrent hvor lang tid tar det å doble befolkningen? (Bruk 70-regelen)

Lineær og eksponentiell vekst

Lineær	Eksponentiell
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring	Fast beløp per periode	Fast prosent per periode
Graf	Rett linje	Kurve
Eksempel	Lønn + fast årlig tillegg	Sparing med rente

Merk: Bokstavene betyr ikke det samme i de to formlene. I

f(x) = ax + b

b

startverdien og

a

endringen per periode. I

f(x) = a \cdot b^x

a

startverdien og

b

vekstfaktoren.
Viktig: Eksponentiell vekst starter sakte, men blir etter hvert mye kraftigere enn lineær vekst.

📝Oppgave 7

To spareavtaler: A) 50 000 kr startbeløp, øker med 5 000 kr per år. B) 50 000 kr startbeløp, øker med 8 % per år.

Sett opp modeller for begge.

Beregn verdien etter 5 og 15 år for begge.

Etter hvor mange år er B verdt mer enn A?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Norge hadde ca. 5,4 millioner innbyggere i 2022 og vokser med ca. 0,5 % per år.

Sett opp en eksponentiell modell.

Bruk 70-regelen til å anslå hvor lang tid det tar før folketallet er doblet.

Når passerer folketallet 7 millioner ifølge modellen? Løs grafisk eller med CAS.

Drøft om modellen er realistisk på lang sikt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Et legemiddel har en halveringstid på 6 timer i kroppen. En pasient tar 400 mg.

Sett opp en eksponentiell modell.

Hvor mye er igjen etter 18 timer?

Pasienten skal ta ny dose når det er under 50 mg igjen. Etter hvor mange timer bør pasienten ta ny dose?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Eksponentiell funksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ – vekst/nedgang med fast prosent
- Vekstfaktor: $b = 1 + p/100$ for vekst, $b = 1 - p/100$ for nedgang
- Doblingstid: løs $b^T = 2$ ved prøving, grafisk eller med CAS. 70-regelen $T \approx 70/p$ gir et overslag.
- Halveringstid: løs $b^T = 0{,}5$ på samme måte
- Eksponentiell vekst overgår lineær vekst over tid

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.