2.1 Lineære modeller | Matematikk 2P

Lineære sammenhenger og modeller i praktiske situasjoner.

50 min

13 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon

Lineære modeller

Mange sammenhenger i hverdagen kan beskrives med lineære funksjoner. Et mobilabonnement med fast pris pluss pris per GB, en taxitur med startpris pluss pris per km, eller en spareavtale med fast beløp per måned – alle er lineære modeller.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva en lineær funksjon er og hva stigningstall og konstantledd betyr
- Hvordan sette opp lineære modeller fra praktiske situasjoner
- Hvordan løse likninger og likningssett grafisk og algebraisk
- Hvordan tolke skjæringspunkter

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

✏️Eksempel: Mobilabonnement

Et mobilabonnement koster 149 kr i måneden pluss 49 kr per GB data. Sett opp en lineær modell for månedskostnaden og finn kostnaden ved 5 GB.

La $x$ = antall GB og $f(x)$ = månedskostnad i kroner.

$f(x) = 49x + 149$

- Stigningstall $a = 49$ betyr at kostnaden øker med 49 kr per GB
- Konstantledd $b = 149$ er den faste månedsprisen

Kostnad ved 5 GB: $f(5) = 49 \cdot 5 + 149 = 245 + 149 = 394$ kr

Svar: Månedskostnaden er 394 kr ved 5 GB.

📝Oppgave 1

En taxi tar 60 kr i startpris og 15 kr per km. Hva koster en tur på 12 km?

📝Oppgave 2

Et leiebilselskap tar 500 kr per dag pluss 3,50 kr per km.

Sett opp en lineær modell for kostnaden ved å leie bil i én dag.

Hva koster det å kjøre 200 km?

Du har budsjettert 1 200 kr. Hvor langt kan du kjøre?

Løs oppgaven

Finne funksjonsuttrykk fra to punkter

Hvis du kjenner to punkter på grafen, kan du finne funksjonsuttrykket:

1. Beregn stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Sett inn ett av punktene i $y = ax + b$ og løs for $b$

✏️Eksempel: Finne funksjonsuttrykk

En svømmehall har følgende priser: 5 besøk koster 350 kr og 12 besøk koster 630 kr. Sett opp en lineær modell.

To punkter: $(5, 350)$ og $(12, 630)$

$\displaystyle a = \frac{630 - 350}{12 - 5} = \frac{280}{7} = 40$

$350 = 40 \cdot 5 + b$

$b = 350 - 200 = 150$

$f(x) = 40x + 150$

Svar: $f(x) = 40x + 150$ , der $x$ er antall besøk. Grunnprisen (for eksempel et årskort) er 150 kr, og hvert besøk koster 40 kr.

📝Oppgave 3

En strømleverandør har følgende månedspriser: Ved 100 kWh forbruk er prisen 850 kr, ved 300 kWh er prisen 1 450 kr.

Finn en lineær modell for prisen.

Hva er den faste månedsprisen?

Hva koster strømmen per kWh?

Løs oppgaven

Skjæringspunkt mellom to lineære funksjoner

f(x) = a_1 x + b_1

✏️Eksempel: Sammenligne to abonnementer

Abonnement A koster 199 kr/mnd pluss 9 kr per GB. Abonnement B koster 349 kr/mnd med fri data. Når lønner det seg å velge B?

A(x) = 9x + 199

B(x) = 349

Skjæringspunkt: $9x + 199 = 349$

$9x = 150$

$\displaystyle x = \frac{150}{9} \approx 16{,}7$ GB

For $x > 16{,}7$ GB er B billigst. For $x < 16{,}7$ GB er A billigst.

Svar: Bruker du mer enn ca. 17 GB per måned, lønner B seg.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Sammenligne to abonnementer grafisk

Blått abonnement:

f(x) = 199 + 0{,}5x

(høy fastpris, lav minuttpris). Rødt:

g(x) = 99 + 1{,}5x

. Det grønne skjæringspunktet viser forbruket der abonnementene koster det samme – til venstre er rødt billigst, til høyre er blått billigst.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 199 + 0.5x
g(x) = 99 + 1.5x
S = Skjæring(f, g)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetColor(S, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Treningssenter X koster 299 kr/mnd uten bindingstid. Treningssenter Y koster 3 000 kr i innmeldingsavgift + 199 kr/mnd.

Sett opp lineære modeller for totalkostnaden etter $x$ måneder.

Etter hvor mange måneder har Y blitt billigere enn X?

Hva er totalkostnaden for hvert senter etter 12 måneder?

📝Oppgave 5

Grafen til f(x) = −3x + 12 krysser x-aksen. Hva er nullpunktet?

Likningssett

Når vi har to ukjente, trenger vi to likninger. Dette kalles et likningssett.

Innsettingsmetoden: Løs én likning for én variabel, sett inn i den andre.

Addisjonsmetoden: Kombiner likningene slik at én variabel forsvinner.

Grafisk løsning: Tegn grafene og finn skjæringspunktet.

✏️Eksempel: Likningssett i praksis

På en kantine koster en baguett og en juice til sammen 95 kr. To baguetter og en juice koster 145 kr. Hva koster hver?

La $b$ = pris baguett og $j$ = pris juice.

$b + j = 95$ ... (1)
$2b + j = 145$ ... (2)

Trekk (1) fra (2): $(2b + j) - (b + j) = 145 - 95$

$b = 50$

Sett inn i (1): $50 + j = 95 \Rightarrow j = 45$

Svar: En baguett koster 50 kr og en juice koster 45 kr.

📝Oppgave 6

En billett til voksen og en til barn koster til sammen 180 kr på kino. Tre voksne og to barn koster 470 kr. Finn prisen for hver billettype.

Lese av grafer

Mange eksamensoppgaver gir en graf og spør etter verdier vi skal lese av. Avlesningen blir nøyaktig når vi går langs rutelinjene og leser av i rutekryss.

- $y$ når $x$ er kjent: Gå loddrett fra $x$ -verdien til grafen og vannrett videre til $y$ -aksen.
- $x$ når $y$ er kjent: Gå vannrett fra $y$ -verdien til grafen og loddrett ned til $x$ -aksen. Treffer linja grafen flere steder, er det flere løsninger.
- Likningen $f(x) = g(x)$ : $x$ -verdiene i skjæringspunktene mellom grafene.
- Ulikheten $f(x) < g(x)$ : $x$ -verdiene der grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ .
- Stigningstallet til en rett linje: Les av to punkter i rutekryss og regn ut $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

I GeoGebra kontrollerer vi avlesningen med kommandoer som f(100), Skjæring(f, y = 1200) og Skjæring(f, g).

✏️Eksempel: Lese av en kostnadsgraf

Grafen viser kostnaden $K$ i kroner for å leie en varebil og kjøre $x$ kilometer.

Koordinatsystem med kjørelengde i kilometer fra 0 til 200 langs x-aksen og kostnad i kroner fra 0 til 1400 langs y-aksen. En rett linje K starter i 400 på y-aksen og stiger jevnt til 1400 ved 200 km.

a) Hva koster det å kjøre 100 km?

b) Hvor langt kan vi kjøre for 1 200 kr?

c) Finn stigningstallet til grafen. Hva forteller det?

Avlest i grafen:

$K(100) = 900$

Svar: Det koster 900 kr å kjøre 100 km.

Avlest i grafen:

$K(x) = 1\,200$ for $x = 160$

Den samme grafen med stiplede avlesningslinjer: fra 100 på x-aksen opp til grafen og bort til 900 på y-aksen, og fra 1200 på y-aksen bort til grafen og ned til 160 på x-aksen. Punktene (100, 900) og (160, 1 200) er markert.

Svar: Vi kan kjøre 160 km for 1 200 kr.

Punktene $(0, 400)$ og $(100, 900)$ ligger i rutekryss.

$a = \frac{900 - 400}{100 - 0} = \frac{500}{100} = 5$

Svar: Stigningstallet er 5. Hver kilometer koster 5 kr ekstra.

📝Oppgave G1

Grafen viser temperaturen $T$ i °C et døgn i april fra klokka 6 til klokka 22. $x$ er klokkeslettet i timer.

Koordinatsystem med klokkeslett i timer fra 0 til 24 langs x-aksen og temperatur i grader fra 0 til 18 langs y-aksen. Grafen T starter i 0 grader klokka 6, stiger til et toppunkt midt på dagen og synker til 0 grader klokka 22.

Hva var temperaturen klokka 10?

Når var temperaturen høyest, og hvor høy var den?

Når var temperaturen 12 °C?

I hvilket tidsrom var temperaturen over 12 °C?

Løs oppgaven

📝Oppgave G2

Grafen viser prisen $K$ i kroner for $x$ kg druer.

Koordinatsystem med vekt i kilogram fra 0 til 7 langs x-aksen og pris i kroner fra 0 til 220 langs y-aksen. En rett linje K går gjennom origo og stiger jevnt.

Hva koster 2 kg druer?

Hvor mange kilo druer får du for 120 kr?

Finn kiloprisen. Hvorfor er prisen proporsjonal med vekten?

Løs oppgaven

📝Oppgave G3

To taxiselskaper har ulike priser. Grafene viser prisen i kroner for en tur på $x$ km med taxi A og taxi B.

Koordinatsystem med turlengde i kilometer fra 0 til 20 langs x-aksen og pris i kroner fra 0 til 400 langs y-aksen. Linja for taxi A starter lavere på y-aksen enn linja for taxi B, men er brattere, og de to linjene krysser hverandre.

Hva koster en tur på 20 km med hvert av selskapene?

For hvilken turlengde koster de to selskapene like mye? Hva er prisen da?

For hvilke turlengder er taxi A billigst?

Finn startprisen og kilometerprisen for taxi A.

📝Oppgave G4

Grafen viser mengden virkestoff $M$ i milligram i blodet $t$ timer etter at en pasient tok en tablett.

Koordinatsystem med tid i timer fra 0 til 16 langs x-aksen og virkestoff i milligram fra 0 til 200 langs y-aksen. Grafen M starter i 200 og synker raskt i begynnelsen og så stadig langsommere.

Hvor mye virkestoff var det i blodet da pasienten tok tabletten?

Hvor mye virkestoff var igjen etter 8 timer?

Finn halveringstiden.

Når er det 25 mg virkestoff igjen?

Løs oppgaven

📝Oppgave G5

Grafene til funksjonene $f$ og $g$ er tegnet i koordinatsystemet.

Koordinatsystem med x fra minus 1 til 7 og y fra minus 1 til 10. Grafen til f er en parabel som vender den hule siden opp, med bunnpunkt nær x lik 3. Grafen til g er en rett linje gjennom origo som stiger og skjærer parabelen to steder.

Løs likningen $f(x) = g(x)$ grafisk.

Løs ulikheten $f(x) < g(x)$ grafisk.

Løs likningen $f(x) = 2$ grafisk.

Hvor mange løsninger har likningen $f(x) = k$ når $k = 0$ , når $k = 1$ og når $k = 3$ ?

📝Oppgave 7

En bedrift produserer lamper. Faste kostnader er 60 000 kr/mnd. Variable kostnader er 120 kr/lampe. Salgsprisen er 250 kr/lampe.

Sett opp lineære modeller for inntekt og kostnad.

Finn hvor mange lamper bedriften må selge for at inntekten skal bli lik kostnaden (nullpunktet for overskuddet), både grafisk og ved regning.

Hva er overskuddet ved produksjon av 600 lamper?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Du vurderer å kjøpe elbil eller bensinbil. Elbil: kjøpspris 350 000 kr, driftskostnader 0,30 kr/km. Bensinbil: kjøpspris 250 000 kr, driftskostnader 1,10 kr/km.

Sett opp lineære modeller for totalkostnaden.

Etter hvor mange km er elbilen billigere totalt sett?

Du kjører 15 000 km per år. Etter hvor mange år har elbilen tjent seg inn?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ med stigningstall $a$ og konstantledd $b$
- Stigningstall fra to punkter: $a = \Delta y / \Delta x$
- Skjæringspunkt: Der to funksjoner er like – løs $f(x) = g(x)$
- Likningssett: To likninger med to ukjente – løs med innsetting eller addisjon
- Lese av grafer: Les av i rutekryss. Løsningene av $f(x) = g(x)$ er $x$ -verdiene i skjæringspunktene, og $f(x) < g(x)$ der grafen til $f$ ligger under grafen til $g$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stigningstall	Hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1
Konstantledd	Verdien av funksjonen når $x = 0$
Nullpunkt	$x$ -verdi der $f(x) = 0$
Skjæringspunkt	Der to grafer krysser hverandre

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.