2.1 Lineære modeller | Matematikk 2P

Lineære sammenhenger og modeller i praktiske situasjoner.

50 min

13 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon

Lineære modeller

Mange sammenhenger i hverdagen kan beskrives med lineære funksjoner. Et mobilabonnement med fast pris pluss pris per GB, en taxitur med startpris pluss pris per km, eller en spareavtale med fast beløp per måned – alle er lineære modeller.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva en lineær funksjon er og hva stigningstall og konstantledd betyr
- Hvordan sette opp lineære modeller fra praktiske situasjoner
- Hvordan løse likninger og likningssett grafisk og algebraisk
- Hvordan tolke skjæringspunkter

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

✏️Eksempel: Mobilabonnement

Et mobilabonnement koster 149 kr i måneden pluss 49 kr per GB data. Sett opp en lineær modell for månedskostnaden og finn kostnaden ved 5 GB.

Løsning:

La $x$ = antall GB og $f(x)$ = månedskostnad i kroner.

$f(x) = 49x + 149$

- Stigningstall $a = 49$ betyr at kostnaden øker med 49 kr per GB
- Konstantledd $b = 149$ er den faste månedsprisen

Kostnad ved 5 GB: $f(5) = 49 \cdot 5 + 149 = 245 + 149 = 394$ kr

Svar: Månedskostnaden er 394 kr ved 5 GB.

📝Oppgave 1

En taxi tar 60 kr i startpris og 15 kr per km. Hva koster en tur på 12 km?

📝Oppgave 2

Et leiebilselskap tar 500 kr per dag pluss 3,50 kr per km. a) Sett opp en lineær modell for kostnaden ved å leie bil i én dag. b) Hva koster det å kjøre 200 km? c) Du har budsjettert 1 200 kr. Hvor langt kan du kjøre?

Finne funksjonsuttrykk fra to punkter

Hvis du kjenner to punkter på grafen, kan du finne funksjonsuttrykket:

1. Beregn stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Sett inn ett av punktene i $y = ax + b$ og løs for $b$

✏️Eksempel: Finne funksjonsuttrykk

En svømmehall har følgende priser: 5 besøk koster 350 kr og 12 besøk koster 630 kr. Sett opp en lineær modell.

Løsning:

To punkter: $(5, 350)$ og $(12, 630)$

Stigningstall: $\displaystyle a = \frac{630 - 350}{12 - 5} = \frac{280}{7} = 40$ kr per besøk

Finn $b$ : $350 = 40 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 350 - 200 = 150$

Modell: $f(x) = 40x + 150$

Tolkning: Det koster 150 kr i «grunnpris» (f.eks. årskort) og 40 kr per besøk.

📝Oppgave 3

En strømleverandør har følgende månedspriser: Ved 100 kWh forbruk er prisen 850 kr, ved 300 kWh er prisen 1 450 kr. a) Finn en lineær modell for prisen. b) Hva er den faste månedsprisen? c) Hva koster strømmen per kWh?

Skjæringspunkt mellom to lineære funksjoner

f(x) = a_1 x + b_1

✏️Eksempel: Sammenligne to abonnementer

Abonnement A koster 199 kr/mnd pluss 9 kr per GB. Abonnement B koster 349 kr/mnd med fri data. Når lønner det seg å velge B?

Løsning:

$A(x) = 9x + 199$ og $B(x) = 349$

Skjæringspunkt: $9x + 199 = 349$

$9x = 150$

$x = 16{,}7$ GB

For $x > 16{,}7$ GB er B billigst. For $x < 16{,}7$ GB er A billigst.

Svar: Bruker du mer enn ca. 17 GB per måned, lønner B seg.

📊Utforsk: Sammenligne to abonnementer grafisk

Blått abonnement: $f(x) = 199 + 0{,}5x$ (høy fastpris, lav minuttpris). Rødt: $g(x) = 99 + 1{,}5x$ . Det grønne skjæringspunktet viser forbruket der abonnementene koster det samme – til venstre er rødt billigst, til høyre er blått billigst.

📝Oppgave 4

Treningssenter X koster 299 kr/mnd uten bindingstid. Treningssenter Y koster 3 000 kr i innmeldingsavgift + 199 kr/mnd. a) Sett opp lineære modeller for totalkostnaden etter x måneder. b) Etter hvor mange måneder har Y blitt billigere enn X? c) Hva er totalkostnaden for hvert senter etter 12 måneder?

📝Oppgave 5

Grafen til f(x) = −3x + 12 krysser x-aksen. Hva er nullpunktet?

Likningssett

Når vi har to ukjente, trenger vi to likninger. Dette kalles et likningssett.

Innsettingsmetoden: Løs én likning for én variabel, sett inn i den andre.

Addisjonsmetoden: Kombiner likningene slik at én variabel forsvinner.

Grafisk løsning: Tegn grafene og finn skjæringspunktet.

✏️Eksempel: Likningssett i praksis

På en kantine koster en baguett og en juice til sammen 95 kr. To baguetter og en juice koster 145 kr. Hva koster hver?

Løsning:

La $b$ = pris baguett og $j$ = pris juice.

$b + j = 95$ ... (1)
$2b + j = 145$ ... (2)

Trekk (1) fra (2): $(2b + j) - (b + j) = 145 - 95$

$b = 50$

Sett inn i (1): $50 + j = 95 \Rightarrow j = 45$

Svar: En baguett koster 50 kr og en juice koster 45 kr.

📝Oppgave 6

En billett til voksen og en til barn koster til sammen 180 kr på kino. Tre voksne og to barn koster 470 kr. Finn prisen for hver billettype.

Oppsummering

- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ med stigningstall $a$ og konstantledd $b$
- Stigningstall fra to punkter: $a = \Delta y / \Delta x$
- Skjæringspunkt: Der to funksjoner er like – løs $f(x) = g(x)$
- Likningssett: To likninger med to ukjente – løs med innsetting eller addisjon

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stigningstall	Hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1
Konstantledd	Verdien av funksjonen når $x = 0$
Nullpunkt	$x$ -verdi der $f(x) = 0$
Skjæringspunkt	Der to grafer krysser hverandre

📝Oppgave 7

En bedrift produserer lamper. Faste kostnader er 60 000 kr/mnd. Variable kostnader er 120 kr/lampe. Salgsprisen er 250 kr/lampe. a) Sett opp lineære modeller for inntekt og kostnad. b) Finn nullpunktet grafisk og algebraisk. c) Hva er overskuddet ved produksjon av 600 lamper?

📝Oppgave 8

Du vurderer å kjøpe elbil eller bensinbil. Elbil: kjøpspris 350 000 kr, driftskostnader 0,30 kr/km. Bensinbil: kjøpspris 250 000 kr, driftskostnader 1,10 kr/km. a) Sett opp lineære modeller for totalkostnaden. b) Etter hvor mange km er elbilen billigere totalt sett? c) Du kjører 15 000 km/år. Etter hvor mange år har elbilen tjent seg inn?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.