2.1 Lineære modeller

Lineære modeller -- rette linjer som beskriver virkeligheten

Tenk deg at du skal kjøpe nytt mobilabonnement. Tilbudet sier 149 kroner i måneden, pluss 49 kroner per gigabyte data. Du lurer på hva regningen blir hvis du bruker 3 gigabyte -- eller 10. Du trenger egentlig ikke matematikk for å svare, du kan bare multiplisere og legge sammen. Men det er nettopp det som er matematikken: å sette opp en regel som fungerer for alle mulige verdier.

I dette kapittelet skal vi se at overraskende mange sammenhenger i hverdagen kan beskrives av den enkleste funksjonstypen som finnes: den lineære funksjonen. Fra taxiturer og leiebiler til bedrifters produksjonskostnader og spareavtaler -- mønsteret er det samme: en fast grunnpris pluss en kostnad som vokser jevnt.

Den lineære funksjonen -- hva er det egentlig?

En lineær funksjon har alltid formen $f(x) = ax + b$. Det er bare to tall som bestemmer alt: $a$ og $b$. La oss forstå hva de betyr.

Stigningstallet $a$ forteller hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1. Tenk på det som prisen per enhet. I mobilabonnement-eksempelet er $a = 49$ -- kostnaden øker med 49 kroner for hver ekstra gigabyte. Hvis $a$ er positivt, stiger grafen. Hvis $a$ er negativt, synker den. Og jo større $|a|$ er, desto brattere er linjen.

Konstantleddet $b$ er verdien av funksjonen når $x = 0$. Det er grunnprisen -- det du betaler uansett, før du har brukt en eneste gigabyte. I vårt eksempel er $b = 149$ kroner.

Sett sammen blir modellen: $f(x) = 49x + 149$. Vil du vite hva 5 gigabyte koster? Sett inn: $f(5) = 49 \cdot 5 + 149 = 245 + 149 = 394$ kroner.

Hvis du kjenner to punkter på grafen, kan du finne stigningstallet med formelen $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Det er rett og slett endringen i $y$ delt på endringen i $x$ -- hvor mye funksjonen stiger per skritt i $x$-retningen. Tenk på en taxi: startprisen er 60 kroner, og det koster 15 kroner per kilometer. Da er $f(x) = 15x + 60$. En tur på 12 kilometer koster $f(12) = 15 \cdot 12 + 60 = 180 + 60 = 240$ kroner.

Finne funksjonsuttrykk fra to punkter

Ofte kjenner vi ikke formelen direkte -- vi har bare noen tallverdier. En svømmehall forteller deg at 5 besøk koster 350 kroner og 12 besøk koster 630 kroner. Kan vi finne en formel?

Ja! Vi har to punkter: $(5, 350)$ og $(12, 630)$. Først finner vi stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{630 - 350}{12 - 5} = \frac{280}{7} = 40$. Det koster altså 40 kroner per besøk.

Deretter finner vi konstantleddet. Vi setter inn ett av punktene i $y = 40x + b$: $350 = 40 \cdot 5 + b$, som gir $b = 350 - 200 = 150$. Modellen blir $f(x) = 40x + 150$.

Hva betyr det at $b = 150$? Det er kostnaden selv om du ikke har besøkt svømmehallen -- kanskje en årskortavgift. Og 40 kroner per besøk er det du betaler i tillegg hver gang du dukker opp.

La oss prøve et lignende eksempel med strøm. En leverandør tar 850 kroner for 100 kWh og 1 450 kroner for 300 kWh. Stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{1\,450 - 850}{300 - 100} = \frac{600}{200} = 3$ kroner per kWh. Konstantleddet: $850 = 3 \cdot 100 + b$, altså $b = 550$. Modellen er $f(x) = 3x + 550$. Den faste månedsprisen er 550 kroner, og strømmen koster 3 kroner per kilowattime.

Skjæringspunkter -- når to linjer møtes

Kanskje det mest nyttige med lineære modeller er at vi kan sammenligne to alternativer. Tenk deg at du vurderer to mobilabonnementer: Abonnement A koster 199 kroner i måneden pluss 9 kroner per gigabyte. Abonnement B koster 349 kroner flat, med fri data.

Vi setter opp modellene: $A(x) = 9x + 199$ og $B(x) = 349$. Når er de like dyre? Vi løser $9x + 199 = 349$, som gir $9x = 150$ og $x \approx 16{,}7$ gigabyte.

Bruker du under 17 GB i måneden, er A billigst. Bruker du mer, lønner B seg. Det er skjæringspunktet -- der de to grafene krysser hverandre, og der beslutningen tipper.

Samme prinsipp gjelder for treningssentre. Senter X tar 299 kroner per måned uten binding. Senter Y krever 3 000 kroner i innmeldingsavgift, men bare 199 kroner per måned etterpå. Modellene for total kostnad etter $x$ måneder: $X(x) = 299x$ og $Y(x) = 199x + 3\,000$.

Skjæringspunktet: $299x = 199x + 3\,000$, altså $100x = 3\,000$ og $x = 30$ måneder. Først etter 2,5 år har Y blitt billigere enn X. Etter bare 12 måneder er X (3 588 kr) langt billigere enn Y (5 388 kr).

Og nullpunktet -- der en funksjon krysser $x$-aksen -- finner vi ved å sette $f(x) = 0$. For $f(x) = -3x + 12$: $-3x + 12 = 0$ gir $x = 4$. Det er den $x$-verdien der funksjonen skifter fortegn.

Likningssett -- to ukjente, to likninger

Noen ganger har vi to ukjente størrelser. På en kantine koster en baguett og en juice til sammen 95 kroner. To baguetter og en juice koster 145 kroner. Hva koster hver?

Vi kaller baguettprisen $b$ og juiceprisen $j$, og setter opp to likninger:
- $b + j = 95$ ... (1)
- $2b + j = 145$ ... (2)

Addisjonsmetoden er elegant her. Trekk likning (1) fra likning (2): $(2b + j) - (b + j) = 145 - 95$, som gir $b = 50$. Sett inn i (1): $50 + j = 95$, altså $j = 45$. En baguett koster 50 kroner og en juice 45 kroner.

Innsettingsmetoden fungerer også. Fra (1): $j = 95 - b$. Sett inn i (2): $2b + (95 - b) = 145$, som gir $b + 95 = 145$ og $b = 50$. Samme svar.

Et kinobillett-eksempel: voksen pluss barn koster 180 kroner. Tre voksne og to barn koster 470 kroner. Likningene: $v + b = 180$ og $3v + 2b = 470$. Fra den første: $b = 180 - v$. Sett inn: $3v + 2(180 - v) = 470$, altså $3v + 360 - 2v = 470$, som gir $v = 110$ og $b = 70$. Voksenbillett: 110 kroner, barnebillett: 70 kroner.

Du kan også løse likningssett grafisk -- tegn begge linjene og les av skjæringspunktet. Det gir samme svar, men er ofte mindre presist enn algebraisk løsning.

Lineære modeller i næringslivet

La oss avslutte med å se hvordan bedrifter bruker lineære modeller. En bedrift produserer lamper med faste kostnader på 60 000 kroner per måned (leie, lønn, utstyr) og variable kostnader på 120 kroner per lampe (materialer). Salgsprisen er 250 kroner per lampe.

Vi setter opp modellene: Inntekten er $I(x) = 250x$ og totalkostnaden er $TK(x) = 120x + 60\,000$.

Nullpunktomsetningen -- der inntekten akkurat dekker kostnadene -- finner vi ved å sette $I(x) = TK(x)$: $250x = 120x + 60\,000$, som gir $130x = 60\,000$ og $x \approx 462$ lamper. Produserer bedriften færre enn 462 lamper, går den med tap. Produserer den flere, tjener den penger.

Overskuddet ved 600 lamper: $R(600) = I(600) - TK(600) = 150\,000 - (72\,000 + 60\,000) = 150\,000 - 132\,000 = 18\,000$ kroner.

Eller tenk på valget mellom elbil og bensinbil. Elbil: 350 000 kroner i kjøpspris, 0,30 kr per km. Bensinbil: 250 000 kroner, 1,10 kr per km. $E(x) = 0{,}30x + 350\,000$ og $B(x) = 1{,}10x + 250\,000$. Skjæringspunkt: $0{,}30x + 350\,000 = 1{,}10x + 250\,000$, som gir $0{,}80x = 100\,000$ og $x = 125\,000$ km. Kjører du 15 000 km i året, tar det $125\,000 / 15\,000 \approx 8{,}3$ år før elbilen er billigere totalt sett.

Lineære modeller er kanskje enkle, men de er overraskende kraftige. Neste gang du sammenligner to tilbud -- et abonnement, en forsikring, en strømleverandør -- prøv å sette opp lineære modeller og finn skjæringspunktet. Det kan spare deg for mye penger.

Oppsummering

Lineære modeller er en av de mest praktiske verktøyene i hverdagsmatematikken. Med bare to tall -- stigningstall og konstantledd -- kan du beskrive en overraskende mengde situasjoner.

Nøkkelbegreper du nå kjenner:
- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ -- en rett linje i koordinatsystemet
- Stigningstall $a$: Hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1 -- prisen per enhet
- Konstantledd $b$: Verdien av funksjonen når $x = 0$ -- grunnprisen
- Stigningstall fra to punkter: $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Nullpunkt: $x$-verdien der $f(x) = 0$
- Skjæringspunkt: Der to lineære funksjoner er like -- løs $f(x) = g(x)$
- Likningssett: To likninger med to ukjente, løses med innsetting eller addisjon

Det viktigste du tar med deg:
Lineære modeller handler om å finne mønstre i tall og bruke dem til å ta bedre beslutninger. Neste gang du sammenligner to priser, abonnementer eller tilbud -- husk at matematikken kan gi deg et klart svar på når det ene alternativet slår det andre.