2.4 Stykkevis lineære funksjoner

Funksjoner satt sammen av flere rette linjer, brukt i portotakster, strømpriser og skattesatser.

50 min

10 oppgaver

Stykkevis lineær funksjonKnekkpunktTakster og priserDersom-kommando

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Eksponentielle modeller

Brukes videre i

2.5Regresjonsanalyse

Stykkevis lineære funksjoner

Mange priser i hverdagen følger ikke én rett linje. Portotakster hopper ved visse vektgrenser, og skattesatser endres ved ulike inntektsnivåer. Slike modeller kalles stykkevis lineære funksjoner.

Stykkevis lineær funksjon

f(x) = \begin{cases} a_1 x + b_1, & x < c \\ a_2 x + b_2, & x \geq c \end{cases}

✏️Treningsavtale

Et senter tar 200 kr/gang for de 8 første treningene og 100 kr/gang deretter. Finn $K(x)$ .

K(x) = 200x

for

1 \le x \le 8

$K(8) = 200 \cdot 8 = 1\,600$

$K(x) = 1\,600 + 100(x - 8) = 100x + 800$ for $x > 8$

Svar: $K(x) = 200x$ når $1 \le x \le 8$ , og $K(x) = 100x + 800$ når $x > 8$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Stykkevis lineær prismodell

Grafen viser en pris som er 40 kr per time for de første 10 timene, og deretter 25 kr per time. Legg merke til knekkpunktet ved

x = 10

der stigningstallet endrer seg. Prøv å endre grensene og prisene i Dersom-kommandoen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = Dersom(x <= 10, 40x, 400 + 25(x - 10))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Fra graf til uttrykk

Grafen viser leieprisen $K(x)$ kroner for en båt i $x$ timer. Grafen består av to rette linjestykker: det første går fra $(0, 50)$ til knekkpunktet $(4, 250)$ , det andre går fra $(4, 250)$ gjennom $(10, 400)$ .

a) Finn stigningstallet til hver del, og forklar hva tallene betyr.

b) Finn uttrykket for $K(x)$ , og skriv det som en kommando i GeoGebra.

a) Første del: $\displaystyle a_1 = \frac{250 - 50}{4 - 0} = \frac{200}{4} = 50$

Andre del: $\displaystyle a_2 = \frac{400 - 250}{10 - 4} = \frac{150}{6} = 25$

Svar: Leien er 50 kr per time de 4 første timene og 25 kr per time etter det. Knekkpunktet er $(4, 250)$ .

b) Første del: $K(x) = 50x + 50$ for $0 \le x \le 4$

Andre del: $K(x) = 250 + 25(x - 4) = 25x + 150$ for $x > 4$

Kontroll: $25 \cdot 10 + 150 = 400$

K(x) = Dersom(x <= 4, 50x + 50, 25x + 150)

Svar: $K(x) = 50x + 50$ når $0 \le x \le 4$ , og $K(x) = 25x + 150$ når $x > 4$ .

📝Oppgave 1

Parkering koster 30 kr/time de første 2 timene og 50 kr/time etterpå. Hva koster 5 timer?

📝Oppgave 2

En mobiltariff koster 199 kr/mnd for 5 GB. Ekstra data koster 50 kr/GB. Sett opp $K(x)$ der $x$ er antall GB.

📝Oppgave 3

En elektriker tar 800 kr i utrykningsgebyr. I tillegg koster det 400 kr per time for de 3 første timene og 600 kr per time etter det. Hva koster en jobb på 5 timer?

📝Oppgave 4

Grafen til en stykkevis lineær funksjon knekker ved $x = 10$ . Stigningstallet er 3 når $x < 10$ og 1 når $x > 10$ . Hva betyr det?

📝Oppgave 5

I en forenklet modell for progressiv skatt betaler man 22 % skatt av de første 200 000 kr og 34 % av inntekten over 200 000 kr. Beregn skatten for en inntekt på 350 000 kr.

📝Oppgave 6

Grafen til en stykkevis lineær funksjon $f$ går som et rett linjestykke fra $(0, 0)$ til knekkpunktet $(5, 600)$ , og videre som en rett linje gjennom $(8, 780)$ .

Finn stigningstallet før og etter knekkpunktet.

Finn uttrykket for $f(x)$ .

Regn ut $f(12)$ , og skriv funksjonen som en Dersom-kommando i GeoGebra.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært om stykkevis lineære funksjoner:

- En stykkevis lineær funksjon er satt sammen av flere lineære deler som gjelder på hvert sitt intervall.
- Punktet der funksjonen skifter regel, kalles et knekkpunkt — der endres stigningstallet.
- Slike funksjoner brukes ofte i praksis: taxipriser, strømavtaler, lønn med overtid og trappetrinnsmodeller for skatt.
- For å regne ut en funksjonsverdi må du først finne ut hvilket intervall $x$ ligger i, og så bruke riktig uttrykk.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stykkevis lineær funksjon	Funksjon med ulike lineære uttrykk på ulike intervaller
Knekkpunkt	Punkt der stigningstallet endres
Intervall	Området av $x$ -verdier der ett uttrykk gjelder

Viktig fremgangsmåte

- Finn hvilket intervall

x

-verdien ligger i.
- Bruk det lineære uttrykket som gjelder der.
- Sjekk at delene henger sammen i knekkpunktene. (I en trappefunksjon henger de ikke sammen – der hopper verdien.)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.