2.4 Sammensatt rente

Når prisen endrer spilleregler

Du står i et parkeringshus og leser på skiltet: «30 kr per time de første 2 timene, deretter 20 kr per time.» Hm. Det er ikke én fast timepris – reglene endrer seg underveis. Det samme skjer når mamma jobber overtid og plutselig får 50 prosent mer per time, eller når taxameteret bytter takst etter ti kilometer.

Slike situasjoner kan ikke beskrives med én rett linje. De trenger en funksjon som er satt sammen av flere rette linjer – en stykkevis lineær funksjon. I denne fortellingen skal vi se hvordan slike funksjoner fungerer, hva som skjer i punktene der reglene skifter, og hvordan du regner deg trygt gjennom parkeringshus, strømregninger og lønnsslipper med overtid.

Funksjoner med knekk

En stykkevis lineær funksjon er en funksjon som er definert med ulike lineære uttrykk på ulike intervaller. Formelt kan vi skrive den slik:

$$f(x) = \begin{cases} a_1 x + b_1, & x < c \\ a_2 x + b_2, & x \geq c \end{cases}$$

Grafen ser ut som rette linjer som er limt sammen – og i skjøten, der funksjonen bytter regel, får grafen en knekk. Dette punktet kalles et knekkpunkt, og det er der stigningstallet endrer seg.

La oss se på et treningssenter som tar $200$ kroner per gang for de første $8$ treningene, og $100$ kroner per gang etterpå. For de første åtte gangene er kostnaden rett og slett $K(x) = 200x$. Etter åtte treninger har du betalt $200 \cdot 8 = 1\,600$ kroner, og hver ny trening koster bare $100$ kroner. For $x > 8$ blir kostnaden $K(x) = 1\,600 + 100(x - 8)$, som vi kan forenkle til $K(x) = 100x + 800$.

Når du skal regne ut en funksjonsverdi, er fremgangsmåten alltid den samme: finn først ut hvilket intervall $x$-verdien ligger i, og bruk deretter uttrykket som gjelder der. Skal du finne prisen for $10$ treninger, ser du at $10 > 8$, og bruker det andre uttrykket: $K(10) = 100 \cdot 10 + 800 = 1\,800$ kroner. Bruker du feil uttrykk, får du feil svar – det er den vanligste fellen.

Å lese knekken – hva forteller stigningstallet?

Tilbake til parkeringshuset: $30$ kroner per time de første $2$ timene, deretter $20$ kroner per time. Hva koster det å stå i $5$ timer? Vi deler opp: de første to timene koster $2 \cdot 30 = 60$ kroner, og de tre neste koster $3 \cdot 20 = 60$ kroner. Totalt $120$ kroner. Et annet parkeringshus tar $30$ kroner per time de første 2 timene og $50$ kroner per time etterpå – der ville $5$ timer kostet $60 + 3 \cdot 50 = 210$ kroner. Samme oppskrift, men helt annen pris, fordi stigningstallet etter knekken er forskjellig.

Og det er nettopp poenget: stigningstallet i hvert intervall forteller hvor fort kostnaden vokser der. Hvis en graf har stigningstall $3$ før knekkpunktet og $1$ etter, betyr det at funksjonen fortsatt stiger etter knekken – men saktere. Veksten avtar, den stopper ikke.

Noen modeller har også en startverdi. En elektriker tar $800$ kroner i utrykningsgebyr, $400$ kroner per time de tre første timene og $600$ kroner per time deretter. En jobb på $5$ timer koster da $800 + 3 \cdot 400 + 2 \cdot 600 = 800 + 1\,200 + 1\,200 = 3\,200$ kroner. Gebyr først, så takst for hvert intervall – del alltid regnestykket opp etter intervallene.

Denne typen modell dukker opp overalt: mobilabonnement med datakvote, strømavtaler med fastpris opp til et forbruk, og trappetrinnene i skattesystemet. En progressiv skatt med $22\,\%$ på de første $200\,000$ kronene og $34\,\%$ på resten gir for en inntekt på $350\,000$: $200\,000 \cdot 0{,}22 + 150\,000 \cdot 0{,}34 = 44\,000 + 51\,000 = 95\,000$ kroner.

Baklengs gjennom knekken

Hittil har vi regnet fremover: gitt et antall timer, finn prisen. Men ofte er det motsatt – du vet hva noe kostet, og lurer på hvor mye du fikk. Da må du sette opp en likning.

Petter parkerte i parkeringshuset med $30$ kroner per time de første $2$ timene og $20$ kroner per time deretter, og betalte $180$ kroner. Hvor lenge sto bilen? Først sjekker vi om han passerte knekkpunktet: $2$ timer koster $60$ kroner, og $180 > 60$, så ja. For tiden $t > 2$ gjelder $60 + 20(t - 2) = 180$. Da er $20(t - 2) = 120$, altså $t - 2 = 6$, som gir $t = 8$ timer.

Samme teknikk fungerer på lønn. Sara tjener $180$ kroner per time de første $8$ timene, og får $50\,\%$ tillegg for overtid – altså $180 \cdot 1{,}5 = 270$ kroner per overtidstime. En vanlig dag gir $1\,440$ kroner. En dag tjente hun $2\,520$ kroner. Da har hun jobbet overtid: $1\,440 + 270(t - 8) = 2\,520$ gir $270(t - 8) = 1\,080$, så $t - 8 = 4$ og $t = 12$ timer.

Legg merke til mønsteret: regn først verdien i knekkpunktet, sjekk hvilken side av knekken svaret ligger på, og løs likningen med riktig uttrykk. Knekkpunktet i Saras lønnsmodell er ved $8$ timer – der blir grafen brattere, fordi overtid betales bedre. Slik kan du lese en hel arbeidsavtale ut av formen på en graf.

Oppsummering

Vi startet med et parkeringsskilt og endte med å kunne lese hele prismodeller ut av grafer. En stykkevis lineær funksjon er satt sammen av flere lineære uttrykk som gjelder på hvert sitt intervall, og i knekkpunktene skifter funksjonen regel – det er der stigningstallet endres. Et stigningstall som går fra høyt til lavt betyr at veksten avtar; går det fra lavt til høyt, blir grafen brattere, slik som når overtidsbetalingen slår inn.

Fremgangsmåten er alltid den samme: finn ut hvilket intervall $x$-verdien ligger i, og bruk uttrykket som gjelder der. Skal du regne baklengs fra en kjent verdi, sjekker du først verdien i knekkpunktet for å vite hvilken del av grafen du er på, og løser deretter likningen med riktig uttrykk. Med dette verktøyet kan du gjennomskue taxipriser, strømavtaler, treningsmedlemskap og trappetrinnene i skattesystemet – alle sammen er bare rette linjer limt sammen i knekkpunkter.