2.5 Annuitetslån

Punktene som nesten danner en linje

Tenk deg at du jobber i en iskiosk i sommerferien. Hver dag noterer du temperaturen og hvor mange is du selger. Etter noen uker plotter du tallene i et koordinatsystem – og ser noe interessant: punktene ligger ikke perfekt på en linje, men de antyder en. Varmere dag, flere solgte is. Kan du bruke dette til å forutsi salget i morgen, når meldingen sier 20 grader?

Det er akkurat dette regresjonsanalyse handler om: å finne den matematiske funksjonen som passer best til et datasett, og deretter bruke den til å si noe om verdier vi ikke har målt. I denne fortellingen lærer du hvordan datamaskinen finner den beste linjen, hvordan du vurderer om modellen er god, og – kanskje viktigst – når du ikke bør stole på den.

Den beste linjen og tallet som måler den

Når du ber GeoGebra eller et regneark om lineær regresjon, leter verktøyet etter linjen $y = ax + b$ som ligger så tett på alle datapunktene som mulig. Metoden bak kalles minste kvadraters metode: for hver mulig linje måles avstanden fra hvert punkt til linjen, avstandene kvadreres og summeres – og linjen med minst sum vinner. Du slipper å regne dette for hånd; poenget er å forstå hva verktøyet gjør.

For iskiosken kan resultatet bli noe slikt som $y = 2{,}5x - 18$, der $x$ er temperaturen og $y$ er antall solgte is. Nå kan du svare på spørsmålet fra i sted: ved $20$ grader anslår modellen $y = 2{,}5 \cdot 20 - 18 = 32$ is. Stigningstallet $2{,}5$ har også en konkret tolkning: for hver grad varmere selger du i snitt $2{,}5$ flere is.

Men hvor god er egentlig modellen? Det måles med forklaringsgraden $R^2$, et tall mellom $0$ og $1$. Er $R^2 = 1$, ligger alle punktene perfekt på linjen. Er $R^2 = 0{,}92$, sier vi at modellen forklarer $92\,\%$ av variasjonen i dataene – en svært god tilpasning. Som tommelfingerregel: over $0{,}9$ er svært godt, under $0{,}5$ er svakt. Merk at $R^2 = 0{,}92$ ikke betyr at modellen er «92 % riktig» eller at 92 % av punktene ligger på linjen – det er andelen av variasjonen som forklares.

Innenfor og utenfor – interpolering og ekstrapolering

Nå har du en modell med høy $R^2$. Betyr det at du kan bruke den til hva som helst? Absolutt ikke – og her kommer kapittelets viktigste advarsel.

En treningsmodell sier at tiden på 3000-meteren avhenger av ukentlige treningstimer: $y = -0{,}8x + 16$, der $y$ er tiden i minutter. For $x = 5$ treningstimer gir modellen $y = -0{,}8 \cdot 5 + 16 = 12$ minutter – rimelig nok. Men hva med en som trener $25$ timer i uka? Modellen sier $y = -0{,}8 \cdot 25 + 16 = -4$ minutter. Minus fire minutter! Ingen løper 3000 meter på negativ tid – modellen har brutt sammen.

Problemet er at modellen ble laget med data fra et begrenset område, kanskje $2$ til $10$ treningstimer. Å bruke modellen innenfor dataområdet kalles interpolering, og det er som regel trygt. Å bruke den utenfor kalles ekstrapolering, og da beveger du deg på tynn is: du antar at mønsteret fortsetter, uten data som støtter det. Jo lenger ut du går, desto mer usikkert blir anslaget – og til slutt blir det meningsløst, som negativt issalg på kalde dager eller negative løpstider.

Et fornuftig eksempel på interpolering: en nettbutikk har en regresjonslinje $y = 6{,}9x + 1{,}1$ for omsetning (i tusen kroner) mot antall besøkende (i tusen), basert på data mellom $2\,000$ og $12\,000$ besøkende. Ved $7\,000$ besøkende anslår modellen $y = 6{,}9 \cdot 7 + 1{,}1 = 49{,}4$, altså rundt $49\,400$ kroner. Det er innenfor dataområdet – et anslag vi kan stole på.

Hvilken modell skal du velge?

Hittil har vi bare snakket om rette linjer, men ikke alle sammenhenger er lineære. Heldigvis finnes det et enkelt detektivtriks for å velge riktig modelltype: se på hvordan $y$-verdiene endrer seg når $x$ øker jevnt.

Hvis differansen mellom påfølgende $y$-verdier er omtrent konstant – for eksempel $10, 20, 30, 40$ – vokser dataene like mye hver gang, og en lineær modell passer. Hvis derimot forholdet mellom påfølgende verdier er konstant, vokser dataene med samme prosent hver gang, og da passer en eksponentiell modell $y = a \cdot b^x$.

Se på dette datasettet: når $x$ er $0, 1, 2, 3$, er $y$ henholdsvis $5, 15, 45, 135$. Differansene er $10, 30, 90$ – ikke konstante i det hele tatt. Men forholdene? $\displaystyle \frac{15}{5} = 3$, $\displaystyle \frac{45}{15} = 3$, $\displaystyle \frac{135}{45} = 3$. Konstant forhold! Her tredobles verdien for hvert steg, og den eksponentielle modellen $y = 5 \cdot 3^x$ passer perfekt. For $x = 4$ gir den $y = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$.

Et eksempel fra virkeligheten: eksponentiell regresjon på medlemstallet i en klubb ga modellen $N(t) = 200 \cdot 1{,}05^t$, der $t$ er år etter 2020. Startverdien $200$ er medlemstallet i 2020, og vekstfaktoren $1{,}05$ betyr $5\,\%$ vekst per år. Husk til slutt at enhver modell – lineær eller eksponentiell – er en forenkling av virkeligheten. Spør alltid: er svaret rimelig?

Oppsummering

Fra iskioskens notatbok til ferdig modell: regresjonsanalyse finner funksjonen som passer best til et datasett, ved hjelp av minste kvadraters metode. Forklaringsgraden $R^2$ forteller hvor godt modellen passer – jo nærmere $1$, desto bedre, og verdier over $0{,}9$ regnes som svært gode.

Men en god modell har grenser. Interpolering – å bruke modellen innenfor dataområdet – er som regel pålitelig. Ekstrapolering – å bruke den utenfor – kan gi meningsløse svar, som negative løpstider og negativt issalg. Og når du skal velge modelltype, ser du på mønsteret i dataene: konstant differanse mellom verdiene peker mot en lineær modell, konstant forhold peker mot en eksponentiell. Uansett hvilken modell du ender med, gjelder den samme grunnregelen: en modell er en forenkling av virkeligheten, så vurder alltid om svaret er rimelig før du stoler på det.