3.4 Regresjonsanalyse

Forårsaker iskrem drukningsulykker?

Her er et statistisk faktum som kan virke skremmende: i uker der det selges mye is, skjer det også flere drukningsulykker. Tallene følger hverandre tett, år etter år. Burde vi forby iskrem ved badeplasser?

Selvfølgelig ikke – og du skjønner sikkert hvorfor. Det er ikke isen som drar folk under vann. Det er sommeren: når det er varmt, kjøper folk mer is og bader mer, og mer bading gir dessverre flere ulykker. De to tallene henger sammen, men ingen av dem forårsaker den andre.

Dette skillet – mellom ting som følger hverandre og ting som forårsaker hverandre – er en av de viktigste ferdighetene i all statistikk. Aviser, reklamer og politikere blander dem sammen hele tiden, noen ganger ved et uhell og noen ganger med vilje. I denne fortellingen lærer du å gjennomskue det.

Korrelasjon – når tall danser sammen

Korrelasjon betyr samvariasjon: to størrelser endrer seg i takt. Høyde og skostørrelse er et klassisk eksempel – høye folk har som regel store føtter. For å måle hvor sterkt to størrelser samvarierer, bruker vi korrelasjonskoeffisienten $r$, et tall som alltid ligger mellom $-1$ og $1$.

Fortegnet til $r$ forteller retningen. Positiv korrelasjon betyr at størrelsene øker sammen, som temperatur og issalg. Negativ korrelasjon betyr at den ene synker når den andre øker – for eksempel utetemperatur og strømforbruk til oppvarming. Og er $r$ nær null, finnes det ingen lineær sammenheng i det hele tatt.

Tallverdien $|r|$ forteller styrken. En tommelfingerregel: $|r| > 0{,}7$ regnes som sterk korrelasjon, mellom $0{,}4$ og $0{,}7$ som moderat, og under $0{,}4$ som svak. Legg merke til at det er tallverdien som teller: $r = -0{,}9$ viser sterkere samvariasjon enn $r = 0{,}7$, selv om den er negativ. Retning og styrke er to forskjellige ting.

Så hva betyr det egentlig når $r = -0{,}85$? Det betyr at de to størrelsene varierer sammen på en svært forutsigbar måte, i motsatt retning: høye verdier av den ene følges av lave verdier av den andre. Men – og dette er hele poenget med kapittelet – det sier ingenting om hvorfor. Korrelasjon beskriver bare mønsteret i tallene, aldri årsaken bak.

Den skjulte tredjemannen

Kausalitet betyr at den ene variabelen faktisk forårsaker endring i den andre. Og her kommer statistikkens mest kjente advarsel: korrelasjon innebærer ikke kausalitet. At to tall følger hverandre, beviser ingenting om årsak.

Den vanligste forklaringen på en korrelasjon uten årsakssammenheng er en bakenforliggende variabel – en skjult tredjepart som påvirker begge størrelsene. I iskrem-eksempelet var det sommerværet. En korrelasjon som skyldes en slik skjult variabel, kalles en spuriøs korrelasjon.

La oss trene blikket på noen eksempler. Det er positiv korrelasjon mellom antall brannmenn på et brannsted og skadeomfanget. Forårsaker brannmennene skadene? Nei – store branner krever flere brannmenn og gjør mer skade. Den bakenforliggende variabelen er brannens størrelse. Eller dette: barn som sover med sko på, har oftere hodepine neste dag. Skoens skyld? Neppe – barna som sovner med skoene på, var trolig syke eller utslitt allerede, og det er sykdommen som gir hodepinen. Hos barn er det også korrelasjon mellom skostørrelse og leseferdighet – men store føtter gjør ingen til bedre leser. Eldre barn har både større føtter og mer lesetrening; alder er den skjulte tredjemannen.

Finnes det da ekte kausalitet? Ja: røyking og lungekreft er et eksempel der årsakssammenhengen er grundig dokumentert – gjennom utallige studier som kontrollerer for andre variabler, en kjent biologisk mekanisme, og en risiko som øker med dosen. Avisoverskriften «De som spiser frokost, tjener mer» bør du derimot møte med spørsmålet: hva kan den skjulte tredjemannen være her?

Hvordan bevise en årsak?

Hvis korrelasjon aldri er nok, hvordan kan forskere da noen gang slå fast at noe forårsaker noe annet? Svaret er det randomiserte kontrollerte eksperimentet – gullstandarden i forskning.

Ideen er genial i sin enkelhet. Si at et forskerteam vil teste om et nytt undervisningsopplegg gir bedre eksamensresultater. I en ren observasjonsstudie ville de bare registrert hvem som brukte opplegget og hvordan det gikk – men da kan forskjeller skyldes at de mest motiverte elevene valgte opplegget selv. I et eksperiment fordeler forskerne i stedet elevene tilfeldig i to grupper: en tiltaksgruppe som får opplegget, og en kontrollgruppe som ikke får det. Den tilfeldige fordelingen gjør gruppene like på alt annet – motivasjon, bakgrunn, evner. Hvis tiltaksgruppen da gjør det bedre, må forskjellen skyldes opplegget. Kontrollgruppen er avgjørende: uten den vet vi ikke hva som ville skjedd uansett.

La oss si at $200$ av $500$ elever i tiltaksgruppen forbedret seg, mot $150$ av $500$ i kontrollgruppen. Det er $\displaystyle \frac{200}{500} = 40\,\%$ mot $\displaystyle \frac{150}{500} = 30\,\%$ – en forskjell på $10$ prosentpoeng som kan tilskrives opplegget.

Til slutt en nyttig kobling til regresjon: forklaringsgraden $R^2$ henger sammen med korrelasjonskoeffisienten gjennom $R^2 = r^2$. En studie som finner $r = 0{,}85$ mellom leksetid og karakterer, har $R^2 = 0{,}85^2 = 0{,}7225$ – leksetiden «forklarer» 72 prosent av variasjonen statistisk sett. Men selv da bør du spørre: kan motivasjon være den skjulte tredjemannen som driver både leksetid og karakterer?

Oppsummering

Vi startet med iskrem og drukningsulykker, og nå vet du nøyaktig hva som foregikk. Korrelasjon betyr at to størrelser samvarierer, og styrken og retningen måles med korrelasjonskoeffisienten $r$ mellom $-1$ og $1$: fortegnet gir retningen, tallverdien gir styrken, og $|r| > 0{,}7$ regnes som sterkt. Kausalitet er noe langt mer – at den ene størrelsen faktisk forårsaker endringen i den andre.

Korrelasjon beviser aldri kausalitet. Ofte skyldes samvariasjonen en bakenforliggende variabel – sommerværet bak isen og ulykkene, brannens størrelse bak brannmennene og skadene, alderen bak skostørrelsen og lesingen. Slike tilsynelatende sammenhenger kalles spuriøse korrelasjoner. Skal man påvise en ekte årsak, trengs randomiserte kontrollerte eksperimenter, der tilfeldig fordeling i tiltaks- og kontrollgruppe utelukker de skjulte tredjemennene. Og husk sammenhengen $R^2 = r^2$ når du jobber med regresjon. Neste gang en overskrift roper at «de som gjør X, oppnår Y», vet du hvilket spørsmål du skal stille: hvem er den skjulte tredjemannen?