5.6 Sinussetningen | Matematikk 1T

Sinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

9 oppgaver

SinussetningenTvetydige tilfeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Trigonometri i rettvinklede trekanter

Brukes videre i

5.7Cosinussetningen

Sinussetninga

Sinussetninga er ein formel som gjeld for alle trekantar, ikkje berre rettvinkla. Han gir oss ein samanheng mellom sider og vinklar.

📜Sinussetninga

I ein trekant med sider

a

b

c

og motståande vinklar

A

B

C

gjeld:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

eller ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Sinussetninga gir samanheng mellom sider og motståande vinklar

Grunngiving

Lat $h$ vere høgda frå $C$ ned til sida $c$ .

Frå den eine rettvinkla trekanten: $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$ , så $h = b \cdot \sin A$

Frå den andre rettvinkla trekanten: $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$ , så $h = a \cdot \sin B$

Sidan begge uttrykk er lik $h$ :
$b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Ved å gjenta med høgd frå eit anna hjørne får vi heile sinussetninga.

Når bruker vi sinussetninga?

Sinussetninga blir brukt når vi kjenner:
- To vinklar og éi side (VSV eller VVS)
- To sider og éin vinkel overfor ei av sidene (SVS der vinkelen er overfor)

Merk: Dersom vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei, bruker vi cosinussetninga i staden.

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 10$ . Finn side $b$ .

Trekant med A=40°, B=75°, a=10

Vi bruker sinussetninga:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$

Side $b \approx 15{,}0$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 35°$ . Finn vinkel $B$ .

Vi bruker sinussetninga:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

$\frac{\sin 35°}{8} = \frac{\sin B}{12}$

$\sin B = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}574}{8} \approx 0{,}861$

$B = \sin^{-1}(0{,}861) \approx 59{,}4°$

Vinkel $B \approx 59{,}4°$

Det tvetydige tilfellet

Når vi skal finne ein vinkel med sinussetninga, kan det vere to moglege løysingar fordi $\sin v = \sin(180° - v)$ .

Til dømes: Dersom $\sin B = 0{,}5$ , kan $B = 30°$ eller $B = 150°$ .

Du må sjekke kva verdi som gir meining ved å kontrollere at vinkelsummen blir 180°.

✏️Eksempel 3

I trekant ABC er $a = 7$ , $b = 9$ og $A = 30°$ . Finn alle moglege verdiar for vinkel $B$ .

\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643

$B_1 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$
$B_2 = 180° - 40° = 140°$

Sjekk:
- Dersom $B = 40°$ : $C = 180° - 30° - 40° = 110°$ ✓
- Dersom $B = 140°$ : $C = 180° - 30° - 140° = 10°$ ✓

Begge løysingane er moglege: $B \approx 40°$ eller $B \approx 140°$

✏️Eksempel 4

Eit tårn og ei bygning står 50 m frå kvarandre. Frå toppen av bygninga ser ein toppen av tårnet med ein vinkel på 35° over horisontalt, og botnen av tårnet med ein vinkel på 20° under horisontalt. Kor høgt er tårnet?

Lat $h_b$ vere høgda til bygninga og $h_t$ høgda til tårnet.

Først finn vi avstanden langs synslinja til botnen av tårnet:
$\displaystyle \tan 20° = \frac{h_b}{50}$ gir at vi treng meir info.

Alternativt: Lat $x$ vere kor mykje høgare tårnet er.
$\displaystyle \tan 35° = \frac{x}{50}$
$x = 50 \cdot \tan 35° \approx 35{,}0$ m

Så $h_b$ (frå $\tan 20°$ ): $h_b = 50 \cdot \tan 20° \approx 18{,}2$ m

Høgda til tårnet: $h_t = h_b + x \approx 18{,}2 + 35{,}0 = 53{,}2$ m

Oppsummering

Sinussetninga: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Bruk til å:
- Finne ukjend side når du kjenner to vinklar og éi side
- Finne ukjend vinkel når du kjenner to sider og éin motståande vinkel

Hugs: Sjekk alltid for tvetydig tilfelle når du finn vinklar!

📝Oppgave 1

Finn den ukjende sida:

A = 50°

B = 70°

a = 15

. Finn

b

A = 45°

C = 80°

c = 20

. Finn

a

📝Oppgave 2

Finn den ukjende vinkelen:

a = 10

b = 14

A = 40°

. Finn

B

a = 8

c = 11

A = 35°

. Finn

C

📝Oppgave 3

I ein trekant er $A = 55°$ , $B = 65°$ og $c = 12$ . Finn alle sider. Teikn trekanten sjølv og merk av vinklar og sider.

📝Oppgave 4

I ein trekant er $a = 5$ , $b = 8$ og $A = 25°$ . Vis at det finst to ulike trekantar, og finn begge verdiar for $B$ . Teikn begge moglege trekantar.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinussetninga: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ — gjeld i alle trekantar
- Finne ei side: Bruk setninga når du kjenner ein vinkel, den motståande sida hans og éin vinkel til
- Finne ein vinkel: Bruk setninga når du kjenner to sider og ein motståande vinkel
- Det tvetydige tilfellet: $\sin v = \sin(180° - v)$ , så ein sinusverdi kan gi både ein spiss og ein stump vinkel — sjekk om begge er moglege med vinkelsummen

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Motståande side	Sida $a$ ligg rett overfor vinkelen $A$
Tvetydig tilfelle	To moglege vinklar frå same sinusverdi

Viktige formlar

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

\sin v = \sin(180° - v)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.