5.6 Sinussetninga | Matematikk 1T

Sinussetninga med bevis og bruksområde.

35 min

9 oppgaver

SinussetningaTvetydige tilfelle

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Trigonometri i rettvinklede trekanter og enhetssirkelen

Brukes videre i

5.7Cosinussetningen

Sinussetninga

Sinussetninga er ein formel som gjeld for alle trekantar, ikkje berre rettvinkla. Han gir oss ein samanheng mellom sider og vinklar.

📜Sinussetninga

I ein trekant med sider

a

b

c

og motståande vinklar

A

B

C

gjeld:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

eller ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Sinussetninga gir samanheng mellom sider og motståande vinklar

Grunngiving

Lat $h$ vere høgda frå $C$ ned til sida $c$ .

Frå den eine rettvinkla trekanten: $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$ , så $h = b \cdot \sin A$

Frå den andre rettvinkla trekanten: $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$ , så $h = a \cdot \sin B$

Sidan begge uttrykk er lik $h$ :
$b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Ved å gjenta med høgd frå eit anna hjørne får vi heile sinussetninga.

Er $A$ stump, fell høgda utanfor trekanten. Då er $h = b \cdot \sin(180° - A) = b \cdot \sin A$ , og vi får same resultat.

Når bruker vi sinussetninga?

Sinussetninga blir brukt når vi kjenner:
- To vinklar og éi side (VSV eller VVS)
- To sider og éin vinkel overfor ei av sidene

Merk: Dersom vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei, bruker vi cosinussetninga i staden.

✏️Døme 1

I trekant ABC er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 10$ . Finn side $b$ .

Trekant med A=40°, B=75°, a=10

Vi bruker sinussetninga:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$

Svar: Side $b \approx 15{,}0$

✏️Døme 2

I trekant ABC er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 35°$ . Finn alle moglege verdiar for vinkel $B$ .

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}

$\frac{\sin B}{12} = \frac{\sin 35°}{8}$

$\sin B = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8}$

$B_1 = \sin^{-1}\left(\frac{12 \cdot \sin 35°}{8}\right) \approx 59{,}4°$

$B_2 = 180° - 59{,}4° = 120{,}6°$

$A + B_1 = 35° + 59{,}4° = 94{,}4° < 180°$

$A + B_2 = 35° + 120{,}6° = 155{,}6° < 180°$

Svar: $B \approx 59{,}4°$ eller $B \approx 120{,}6°$ . Begge verdiane gir ein trekant (sjå ramma «Det tvetydige tilfellet» under).

Det tvetydige tilfellet

Når vi skal finne ein vinkel med sinussetninga, kan det vere to moglege løysingar fordi $\sin v = \sin(180° - v)$ (sjå einingssirkelen i delkapittel 5.4).

Til dømes: Dersom $\sin B = 0{,}5$ , kan $B = 30°$ eller $B = 150°$ .

Kontroller kvar kandidat: han gir ein trekant berre dersom summen av han og den kjende vinkelen er mindre enn $180°$ .

✏️Døme 3

I trekant ABC er $a = 7$ , $b = 9$ og $A = 30°$ . Finn alle moglege verdiar for vinkel $B$ .

\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643

$B_1 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$
$B_2 = 180° - 40° = 140°$

Sjekk:
- Dersom $B = 40°$ : $C = 180° - 30° - 40° = 110°$ ✓
- Dersom $B = 140°$ : $C = 180° - 30° - 140° = 10°$ ✓

Svar: Begge løysingane er moglege: $B \approx 40°$ eller $B \approx 140°$

✏️Døme 4

I trekant ABC er $a = 12$ , $b = 8$ og $A = 35°$ . Finn vinkel $B$ .

\frac{\sin B}{8} = \frac{\sin 35°}{12}

$B_1 = \sin^{-1}\left(\frac{8 \cdot \sin 35°}{12}\right) \approx 22{,}5°$

$B_2 = 180° - 22{,}5° = 157{,}5°$

$A + B_2 = 35° + 157{,}5° = 192{,}5° > 180°$

$B_2$ gir ingen trekant.

$C = 180° - 35° - 22{,}5° = 122{,}5°$

Svar: $B \approx 22{,}5°$ . Her er $a > b$ , så $B$ må vere mindre enn $A$ og kan ikkje vere stump.

✏️Døme 5

Eit tårn og ei bygning står 50 m frå kvarandre. Frå toppen av bygninga ser ein toppen av tårnet $35°$ over vassrett og foten av tårnet $20°$ under vassrett. Kor høgt er tårnet?

Frå toppen T av ei bygning ser ein toppen S av eit tårn 35 grader over vassrett og foten F 20 grader under vassrett. Avstanden mellom bygning og tårn er 50 meter.

T

vere toppen av bygninga,

F

foten av tårnet og

S

toppen av tårnet.

$TF = \frac{50}{\cos 20°} \approx 53{,}21 \text{ m}$

$\angle STF = 35° + 20° = 55°$

Linja $TF$ dannar $20°$ med vassrett òg ved $F$ , og tårnet står loddrett:

$\angle TFS = 90° - 20° = 70°$

$\angle TSF = 180° - 55° - 70° = 55°$

$\frac{FS}{\sin 55°} = \frac{TF}{\sin 55°}$

$FS = TF \approx 53{,}2 \text{ m}$

Svar: Tårnet er om lag 53,2 m høgt.

Kontroll: $50 \cdot \tan 20° + 50 \cdot \tan 35° \approx 18{,}2 + 35{,}0 = 53{,}2$

Oppsummering

Sinussetninga: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Bruk til å:
- Finne ukjend side når du kjenner to vinklar og éi side
- Finne ukjend vinkel når du kjenner to sider og éin motståande vinkel

Hugs: Sjekk alltid for tvetydig tilfelle når du finn vinklar!

📝Oppgave 1

Finn den ukjende sida:

A = 50°

B = 70°

a = 15

. Finn

b

A = 45°

C = 80°

c = 20

. Finn

a

📝Oppgave 2

Finn alle moglege verdiar for den ukjende vinkelen:

a = 10

b = 14

A = 40°

. Finn

B

a = 8

c = 11

A = 35°

. Finn

C

📝Oppgave 3

I ein trekant er $A = 55°$ , $B = 65°$ og $c = 12$ . Finn alle sider. Teikn trekanten sjølv og merk av vinklar og sider.

📝Oppgave 4

I trekant $ABC$ er $a = 9$ , $b = 6$ og $A = 50°$ . Finn vinklane $B$ og $C$ . Undersøk om det finst éin eller to trekantar.

📝Oppgave 5

I trekant $ABC$ er $a = 4$ , $b = 7$ og $A = 40°$ . Vis at det ikkje finst nokon slik trekant.

📝Oppgave 6

I ein trekant er $a = 5$ , $b = 8$ og $A = 25°$ . Vis at det finst to ulike trekantar, og finn begge verdiar for $B$ . Teikn begge moglege trekantar.

📝Oppgave 7

I trekant $ABC$ er $b = 10$ og $A = 30°$ . Lengda av sida $a$ varierer. Finn kor mange trekantar som finst når

a = 4

a = 5

a = 8

a = 12

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinussetninga: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ — gjeld i alle trekantar
- Finne ei side: Bruk setninga når du kjenner ein vinkel, den motståande sida hans og éin vinkel til
- Finne ein vinkel: Bruk setninga når du kjenner to sider og ein motståande vinkel
- Det tvetydige tilfellet: $\sin v = \sin(180° - v)$ , så ein sinusverdi kan gi både ein spiss og ein stump vinkel — sjekk om begge er moglege med vinkelsummen

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Motståande side	Sida $a$ ligg rett overfor vinkelen $A$
Tvetydig tilfelle	To moglege vinklar frå same sinusverdi

Viktige formlar

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

\sin v = \sin(180° - v)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.