4.2 Lineære ulikheter | Matematikk 1T

Ulikskapar av første grad

Vi løyser førstegradsulikskapar på same måte som vi løyser førstegradslikningar. Unntaket er dersom vi må gange eller dele med eit negativt tal i ulikskapen.

> Viktig regel: Når vi gangar eller deler med eit negativt tal på begge sider av ein ulikskap, må vi snu ulikskapsteiknet.

Ulikskapsteikna

<

tyder "mindre enn"
-

>

tyder "større enn"
-

\leq

tyder "mindre enn eller lik"
-

\geq

tyder "større enn eller lik"

Intervallnotasjon

Løysinga på ein ulikskap kan skrivast som eit intervall:
-

x < 3

skrivast som

x \in \langle \leftarrow, 3 \rangle

eller

x \in (-\infty, 3)

x \geq 5

skrivast som

x \in [5, \rightarrow \rangle

eller

x \in [5, \infty)

Notasjon:
- Hakeparentes $[$ eller $]$ tyder at endepunktet er med
- Vinkelparentes $\langle$ eller $\rangle$ tyder at endepunktet er ikkje med

✏️Eksempel 1

Løys ulikskapane:

a) $3x + 9 < 12$

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

Løysing:

a) $3x + 9 < 12$

Vi løyser som ei vanleg likning (vi gangar/deler ikkje med negative tal):
$3x + 9 < 12 \quad | -9$
$3x < 3 \quad | \div 3$
$x < 1$

Løysingsmengd: $L = \langle \leftarrow, 1 \rangle$

---

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

$\frac{2x - 2}{3} \geq 4 \quad | \cdot 3$
$2x - 2 \geq 12 \quad | +2$
$2x \geq 14 \quad | \div 2$
$x \geq 7$

Løysingsmengd: $L = [7, \rightarrow \rangle$

📝Oppgave 1

Løys ulikskapane

2x < 8

3x - 6 > 18

\dfrac{x}{2} < 4

\dfrac{x}{5} + 3 > 7

\dfrac{2x}{3} - 6 \leq 2

\dfrac{3x - 2}{3} \geq 1

Ulikskapar der vi må gange eller dele med negative tal

Når vi gangar eller deler med eit negativt tal på begge sider av ein ulikskap, må vi snu ulikskapsteiknet.

Kvifor? Tenk på tallinja: Når vi gangar med $-1$ , byter tala side. For eksempel er $2 < 5$ , men $-2 > -5$ .

> Hugs: $x$ kan vere både positiv og negativ. Derfor er det ikkje lov å gange med eller dele på $x$ på begge sider av ein ulikskap (med mindre vi veit forteiknet til $x$ ).

✏️Eksempel 2

Løys ulikskapane:

a) $-5x > 20$

b) $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$

Løysing:

a) $-5x > 20$

Vi må dele med $-5$ (negativt tal), så vi snur ulikskapsteiknet:
$-5x > 20 \quad | \div (-5)$
$x < -4$

Løysingsmengd: $L = \langle \leftarrow, -4 \rangle$

---

b) $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$

Vi gangar med $-1$ (negativt tal), så vi snur ulikskapsteiknet:
$-\frac{x - 2}{5} \geq 3 \quad | \cdot (-1)$
$\frac{x - 2}{5} \leq -3 \quad | \cdot 5$
$x - 2 \leq -15 \quad | +2$
$x \leq -13$

Løysingsmengd: $L = \langle \leftarrow, -13]$

📝Oppgave 2

Løys ulikskapane

-10x < 50

-3x - 1 > 2x + 4

\dfrac{x}{3} + 1 < 4

\dfrac{x}{2} - 1 > \dfrac{x}{3} + 2

\dfrac{x}{2} - 5x \leq 18

\dfrac{-x - 2}{2} \geq \dfrac{x + 3}{4}

Oppsummering

- Lineære ulikskapar løysast på same måte som likningar
- Viktig regel: Når vi gangar eller deler med eit negativt tal, må vi snu ulikskapsteiknet
- Ulikskapsteikna: $<$ (mindre enn), $>$ (større enn), $\leq$ (mindre enn eller lik), $\geq$ (større enn eller lik)
- Intervallnotasjon: Løysinga skrivast som intervall, t.d. $x \in \langle -\infty, 3 \rangle$ for $x < 3$
- Hakeparentes $[$ eller $]$ tyder at endepunktet er med, vinkelparentes $\langle$ eller $\rangle$ tyder at det ikkje er med
- Det er ikkje lov å gange eller dele med eit uttrykk som inneheld $x$ i ein ulikskap (fordi vi ikkje veit forteiknet)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver