3.5 Nullpunkt og forteikn | Matematikk 1T

Finn nullpunkta til andregradsfunksjonar og avgjer forteiknet.

35 min

11 oppgaver

NullpunktForteiknslinjeFaktorisert form

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4Andregradsfunksjoner 2.3ABC-formelen

Brukes videre i

3.6Polynomfunksjoner

Nullpunkta til ein funksjon er

x

-verdiane der

f(x) = 0

. For andregradsfunksjonar finn vi nullpunkta ved å løyse andregradslikninga

ax^2 + bx + c = 0

I dette kapitlet lærer du:
- Å finne nullpunkt ved faktorisering
- Å bruke abc-formelen
- Å analysere forteiknet til ein andregradsfunksjon

Faktorisering

Viss vi kan faktorisere uttrykket, kan vi finne nullpunkta direkte.

Metode for $x^2 + bx + c$ : Finn to tal $p$ og $q$ der
- $p \cdot q = c$
- $p + q = b$

Då er $x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$ , og nullpunkta er $x = -p$ og $x = -q$ .

Er $a \neq 1$ , set vi først $a$ utanfor parentes, eller vi bruker abc-formelen.

✏️Døme 1

Finn nullpunkta til $f(x) = x^2 - 5x + 6$ ved faktorisering.

Vi leitar etter to tal som ganga gir 6 og adderte gir

-5

$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$ ✓

$f(x) = (x - 2)(x - 3)$

Nullpunkt: $f(x) = 0$ når $(x-2)(x-3) = 0$

Svar: $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 1

Finn nullpunkta ved faktorisering:

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 15

h(x) = x^2 - 9

Løs oppgaven

📜Abc-formelen

Løysingane til

ax^2 + bx + c = 0

er:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Formelen blir utleidd ved å fullføre kvadratet (sjå 2.4).

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ bestemmer talet på løysingar:
- $D > 0$ : To ulike nullpunkt
- $D = 0$ : Eitt nullpunkt (dobbeltrot)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkt

✏️Døme 2

Finn nullpunkta til $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$ med abc-formelen.

a = 2

b = 4

c = -6

Diskriminanten:
$D = b^2 - 4ac = 16 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$

Nullpunkta:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 8}{4}$

$\displaystyle x = \frac{-4 + 8}{4} = 1$ eller $\displaystyle x = \frac{-4 - 8}{4} = -3$

Svar: $x = 1$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn nullpunkta med abc-formelen:

f(x) = x^2 - 4x + 1

g(x) = 2x^2 - 6x + 3

Løs oppgaven

Faktorisert form

x_1

✏️Døme 3

Skriv $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ på faktorisert form.

a = 2

b = -8

c = 6

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}$

$x = 1 \quad \vee \quad x = 3$

$f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$

Svar: $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$

Kontroll: $2(x-1)(x-3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6$ ✓

📝Oppgave 3

Skriv funksjonane på faktorisert form:

f(x) = x^2 - 6x + 8

g(x) = -x^2 + 4x + 5

Løs oppgaven

Forteiknsanalyse

Når vi kjenner nullpunkta, kan vi bestemme forteiknet til $f(x)$ i ulike intervall.

Metode:
1. Finn nullpunkta
2. Del tallinja i intervall ved nullpunkta
3. Test ein $x$ -verdi i kvart intervall
4. Teikn forteiknslinje

✏️Døme 4

Lag forteiknslinje for $f(x) = x^2 - 4$ .

Nullpunkt:

x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Intervall: $\langle \leftarrow, -2 \rangle$ , $\langle -2, 2 \rangle$ , $\langle 2, \rightarrow \rangle$

Test:
- $x = -3$ : $f(-3) = 9 - 4 = 5 > 0$
- $x = 0$ : $f(0) = 0 - 4 = -4 < 0$
- $x = 3$ : $f(3) = 9 - 4 = 5 > 0$

Forteiknslinje:

$x$	$f(x)$
$x < -2$	$+$
$x = -2$	$0$
$-2 < x < 2$	$-$
$x = 2$	$0$
$x > 2$	$+$

Sidan

a = 1 > 0

, er

f(x) > 0

utanfor nullpunkta og

f(x) < 0

mellom dei.

📝Oppgave 4

Lag forteiknslinje for funksjonane:

f(x) = x^2 - 9

g(x) = -x^2 + 4x - 3

Hugseregel for forteikn

For $f(x) = ax^2 + bx + c$ med to nullpunkt $x_1 < x_2$ :

- Viss $a > 0$ : $f(x) > 0$ når $x < x_1$ eller $x > x_2$
- Viss $a < 0$ : $f(x) > 0$ når $x_1 < x < x_2$

Parabelen er over x-aksen der $f(x) > 0$

✏️Døme 5

Løys ulikskapen $x^2 - 3x - 10 > 0$ .

x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)

Nullpunkt: $x = -2$ og $x = 5$

$x$	$-2$	$5$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 5$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Svar:

x < -2

eller

x > 5

, altså

x \in \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle 5, \rightarrow \rangle

📝Oppgave 5

Løys ulikskapane:

x^2 - 4x - 5 > 0

x^2 - 6x + 8 \leq 0

-x^2 + 2x + 3 > 0

📝Oppgave 6

For kva verdiar av $k$ har $f(x) = x^2 - 4x + k$ to ulike nullpunkt?

Oppsummering

- Nullpunkt: $x$ -verdiane der $f(x) = 0$ . Finn ved å løyse andregradslikninga $ax^2 + bx + c = 0$
- Faktoriseringsmetoden: Finn to tal $p$ og $q$ som ganga gir $c$ og adderte gir $b$ (når $a = 1$ ), og skriv $(x + p)(x + q)$
- abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ gir alltid nullpunkta (viss dei eksisterer)
- Diskriminanten: $D = b^2 - 4ac$ bestemmer talet på nullpunkt: $D > 0$ (to), $D = 0$ (eitt), $D < 0$ (ingen)
- Faktorisert form: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunkta
- Forteiknsanalyse: Bestem kvar $f(x)$ er positiv eller negativ ved å teste verdiar mellom og utanfor nullpunkta
- Løyse ulikskapar: Bruk forteiknslinje for å finne kvar $f(x) > 0$ eller $f(x) < 0$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.