3.4 Andregradsfunksjonar | Matematikk 1T

Parablar, toppunkt/botnpunkt og symmetrilinje.

40 min

11 oppgaver

ParabelToppunktBotnpunktSymmetrilinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Hva er en funksjon?

Brukes videre i

3.5Nullpunkter og fortegn

Ein andregradsfunksjon er ein funksjon på forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ .

Grafen til ein andregradsfunksjon blir kalla ein parabel.

I dette kapitlet lærer du:
- Korleis parablar ser ut
- Å finne toppunkt eller botnpunkt
- Å finne symmetrilinje
- Å teikne parablar

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Forma til parabelen

Forteiknet til $a$ bestemmer kva veg parabelen vender den hole sida:

- $a > 0$ : Parabelen vender den hole sida opp og har eit botnpunkt.
- $a < 0$ : Parabelen vender den hole sida ned og har eit toppunkt.

Jo større $|a|$ er, desto smalare er parabelen.
Jo mindre $|a|$ er, desto breiare er parabelen.

✏️Døme 1

Skildre grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

Vi har $a = 2$ , $b = -4$ og $c = 1$ .

Form: Sidan $a = 2 > 0$ , opnar parabelen oppover (har botnpunkt).

Skjering med y-aksen: $f(0) = 1$ , så grafen skjer $y$ -aksen i $(0, 1)$ .

Parabelen er relativt smal fordi $|a| = 2 > 1$ .

Svar: Parabelen har botnpunkt, skjer $y$ -aksen i $(0, 1)$ og er smalare enn grafen til $y = x^2$ .

📝Oppgave 1

Avgjer om funksjonane har toppunkt eller botnpunkt, og om parabelen er smal eller brei:

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -3x^2 + 6x

\displaystyle h(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 4x + 5

Kvar ligg symmetrilinja?

Parabelen er symmetrisk om ei loddrett linje. To punkt på grafen med same $y$ -verdi ligg like langt frå symmetrilinja, eitt på kvar side. Symmetrilinja ligg difor midt mellom dei.

Har parabelen to nullpunkt $x_1$ og $x_2$ , er symmetrilinja

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ har nullpunkta $1$ og $3$ , så symmetrilinja er $\displaystyle x = \frac{1 + 3}{2} = 2$ .

For ein generell $f(x) = ax^2 + bx + c$ bruker vi dei to punkta der $f(x) = c$ :

$ax^2 + bx + c = c$

$ax^2 + bx = 0$

$x(ax + b) = 0$

$x = 0 \quad \vee \quad x = -\frac{b}{a}$

Symmetrilinja ligg midt mellom $0$ og $\displaystyle -\frac{b}{a}$ :

$x = \frac{0 + \left(-\frac{b}{a}\right)}{2} = -\frac{b}{2a}$

📜Symmetrilinje og toppunkt/botnpunkt

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ gjeld:

Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$

Toppunkt/botnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Parabelen er symmetrisk om den vertikale linja $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .

✏️Døme 2

Finn symmetrilinje og botnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Vi har

a = 1

b = -6

c = 5

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

x-koordinaten til botnpunktet: $x = 3$

y-koordinaten til botnpunktet:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Botnpunkt: $(3, -4)$

Sidan $a = 1 > 0$ , har funksjonen botnpunkt (ikkje toppunkt).

Svar: Symmetrilinje $x = 3$ og botnpunkt $(3, -4)$

📝Oppgave 2

Finn symmetrilinje og botnpunkt for funksjonane:

f(x) = x^2 - 8x + 12

g(x) = x^2 + 4x + 1

✏️Døme 3

Finn toppunkt for $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Vi har

a = -2

b = 8

c = -3

Sidan $a = -2 < 0$ , har funksjonen eit toppunkt.

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

y-koordinaten til toppunktet:
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Svar: Toppunkt $(2, 5)$

📝Oppgave 3

Finn toppunkt eller botnpunkt for funksjonane:

f(x) = -x^2 + 2x + 8

g(x) = 2x^2 - 8x + 5

h(x) = -3x^2 - 6x + 1

Fullstendig kvadrats metode

Vi kan skrive $f(x) = ax^2 + bx + c$ på toppunktform:

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

der $(h, k)$ er toppunktet/botnpunktet.

For å finne denne forma brukar vi fullstendig kvadrats metode.

✏️Døme 4

Skriv $f(x) = x^2 - 4x + 7$ på toppunktform.

f(x) = x^2 - 4x + 7

Halvparten av koeffisienten framfor $x$ er $-2$ , og $(-2)^2 = 4$ :

$f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7$

$f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Svar: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ . Botnpunktet er $(2, 3)$ .

📝Oppgave 4

Skriv funksjonane på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

f(x) = x^2 + 6x + 5

g(x) = x^2 - 2x - 8

Løs oppgaven

✏️Døme 5: Finn uttrykket frå grafen

Figuren viser grafen til andregradsfunksjonen $f$ . Les av nullpunkta og toppunktet, og bestem $f(x)$ .

Parabel som vender den hole sida ned, med nullpunkt i (−1, 0) og (3, 0), toppunkt i (1, 4) og skjering med y-aksen i (0, 3).

a) Bruk nullpunkta.

b) Bruk toppunktet, og kontroller at du får same funksjon.

Frå grafen: nullpunkt

x = -1

x = 3

, toppunkt

(1, 4)

$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$

$f(1) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a$

$-4a = 4$

$a = -1$

$f(x) = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

Svar: $f(x) = -x^2 + 2x + 3$

$f(x) = a(x - 1)^2 + 4$

$f(3) = a \cdot 2^2 + 4 = 4a + 4$

$4a + 4 = 0$

$a = -1$

$f(x) = -(x - 1)^2 + 4 = -x^2 + 2x + 3$

Svar: $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ , som er same funksjon som i a).

Kontroll: $f(0) = 3$ , og grafen skjer $y$ -aksen i $(0, 3)$ .

📝Oppgave 5

Figuren viser grafen til andregradsfunksjonen $g$ .

Parabel som vender den hole sida opp, med nullpunkt i (1, 0) og (5, 0) og skjering med y-aksen i (0, 5).

Les av nullpunkta og skjeringspunktet med $y$ -aksen, og bestem $g(x)$ .

Finn botnpunktet, og skriv $g(x)$ på toppunktform.

Ein annan parabel har toppunkt $(-2, 3)$ og går gjennom punktet $(0, 1)$ . Bestem funksjonsuttrykket.

Løs oppgaven

Å teikne ein parabel

1. Finn forteiknet til $a$ (opnar opp eller ned?)
2. Finn skjering med $y$ -aksen: $(0, c)$
3. Finn symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
4. Finn toppunkt/botnpunkt
5. Finn eventuelle nullpunkt (skjering med $x$ -aksen)
6. Teikn ei jamn kurve gjennom punkta

✏️Døme 6

Ein ball blir kasta opp frå bakken. Høgda etter $t$ sekund er $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter. Finn når ballen er på sitt høgaste og kor høgt han når.

Vi har

a = -5

b = 20

c = 0

Sidan $a < 0$ , har funksjonen eit toppunkt (maksimum).

Tid for maksimal høgd:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Maksimal høgd:
$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$

Svar: Ballen når den maksimale høgda si på 20 meter etter 2 sekund.

📝Oppgave 6

Ein rakett blir skoten opp. Høgda etter $t$ sekund er $h(t) = -4t^2 + 32t + 5$ meter. Finn når raketten er på sitt høgaste og kor høgt han når.

📝Oppgave 7

Finn den største verdien av $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ og ved kva $x$ -verdi han blir oppnådd.

Oppsummering

- Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ . Grafen er ein parabel
- Forma til parabelen: $a > 0$ gir botnpunkt (opnar oppover), $a < 0$ gir toppunkt (opnar nedover). Jo større $|a|$ , desto smalare parabel
- Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ - den vertikale linja som deler parabelen i to like delar
- Toppunkt/botnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ - det høgaste (toppunkt) eller lågaste (botnpunkt) punktet på grafen
- Toppunktform: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ der $(h, k)$ er toppunktet/botnpunktet
- Frå graf til uttrykk: nullpunkt gir $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ , toppunkt gir $f(x) = a(x - h)^2 + k$ ; eit anna punkt bestemmer $a$
- Fullstendig kvadrats metode: Teknikk for å skrive funksjonen på toppunktform
- Skjering med $y$ -aksen: Funksjonen skjer $y$ -aksen i $(0, c)$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.