2.1 Grunnleggjande likningar | Matematikk 1T

Lær grunnleggjande teknikkar for å løyse førstegradslikningar med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

90 min

20 oppgaver

Lineære likningarLikningsløysingBrøklikningarParenteslikningar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.8Praktisk bruk av likninger 4.1Likningssett 4.2Lineære ulikheter

Likningar med addisjon og subtraksjon

Før du startar på dette kapitlet er det viktig at du har pluss og minus (med parentesar) ordentleg på plass.

Hovudprinsippet for å løyse likningar er at vi alltid gjer det same på begge sider av likskapsteiknet. Når vi skriv $| - 5$ betyr det at vi trekkjer frå 5 på begge sider av likskapsteiknet.

✏️Døme 1

Løys likningane:

a) $x + 5 = 4$

b) $x - 1 = 4$

Løysing:

a) $x + 5 = 4 \quad | - 5$
$x + 5 - 5 = 4 - 5$
$x = -1$

b) $x - 1 = 4 \quad | + 1$
$x - 1 + 1 = 4 + 1$
$x = 5$

Svar: a) $x = -1$ , b) $x = 5$

📝Oppgave 1

Løys likningane

x + 3 = 5

x - 9 = 3

x - 20 = 0

x + 200 = -100

x + 22 = 10

x + 10 = -2

Løs oppgaven Tren

Likningar med variablar på begge sider

For å forstå denne delen er det viktig å forstå veldig enkel algebra.

Døme på det du må kunne er at:
- $2x + 3x = 5x$
- $7x - 6x = x$

Vi får heller ikkje lov til å blande konstantar og variablar. $3x + 3 + 2x = 5x + 3$ - vi kan ikkje leggje saman $5x$ og $3$ utan å vite kva $x$ er.

✏️Døme 2

Løys likningane:

a) $4 = x - 2$

b) $2x + 4 = x$

Løysing:

a) $4 = x - 2 \quad | + 2$
$6 = x$
$x = 6$ (Når $6 = x$ så er også $x = 6$ )

b) $2x + 4 = x \quad | - 4$
$2x = x - 4 \quad | - x$
$2x - x = x - 4 - x$
$x = -4$

Svar: a) $x = 6$ , b) $x = -4$

📝Oppgave 2

Løys likningane

3 = x - 5

4 = x + 3

2x - 2 = x

3x + 31 = 2x

x + 22 = 2x

4x + 10 = 3x - 2

Løs oppgaven Tren

Likningar med multiplikasjon og divisjon

Når vi har likningar der $x$ er gonga med eit tal, må vi dele begge sider på dette talet for å finne $x$ .

✏️Døme 3

Løys likningane:

a) $3x = 12$

b) $4x - 3 = 17$

Løysing:

a) $3x = 12 \quad | : 3$
$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
$x = 4$

b) $4x - 3 = 17 \quad | + 3$
$4x = 20 \quad | : 4$
$x = 5$

Svar: a) $x = 4$ , b) $x = 5$

📝Oppgave 3

Løys likningane

5x = 20

4x = -12

5x + 10 = 15

30x - 100 = 200

9x - 22 = -40

4x + 18 = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4

Løys likningane:

a) $8x + 15 = 3x$

b) $4x - 5 = 2x + 11$

c) $-4x = 20$

Løysing:

a) $8x + 15 = 3x \quad | - 3x$
$5x + 15 = 0 \quad | - 15$
$5x = -15 \quad | : 5$
$x = -3$

b) $4x - 5 = 2x + 11 \quad | - 2x$
$2x - 5 = 11 \quad | + 5$
$2x = 16 \quad | : 2$
$x = 8$

c) $-4x = 20 \quad | : (-4)$
$\displaystyle \frac{-4x}{-4} = \frac{20}{-4}$
$x = -5$

Svar: a) $x = -3$ , b) $x = 8$ , c) $x = -5$

📝Oppgave 4

Løys likningane

10x - 9 = 7x

4x + 10 = -x

5x + 10 = 4x + 5

-3x = 30

-7x = -10 + 3x

-4x + 8 = 2x + 44

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 5

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$\displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$
$x = 10$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6 \quad | - 2$
$\displaystyle \frac{x}{-3} = 4 \quad | \cdot (-3)$
$x = -12$

Svar: a) $x = 10$ , b) $x = -12$

📝Oppgave 5

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{-5} = -2

\displaystyle \frac{x}{2} + 10 = 12

\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = -5

\displaystyle 110 = \frac{x}{8} + 10

\displaystyle 10 = 8 + \frac{x}{-3}

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 6

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6 \quad | \cdot 3$
$2x = 18 \quad | : 2$
$x = 9$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9 \quad | + 4$
$\displaystyle \frac{5x}{2} = -5 \quad | \cdot 2$
$5x = -10 \quad | : 5$
$x = -2$

Svar: a) $x = 9$ , b) $x = -2$

📝Oppgave 6

Løys likningane

\displaystyle \frac{3x}{5} = 6

\displaystyle \frac{2x}{3} = -8

\displaystyle \frac{3x}{2} - 2 = 7

\displaystyle -15 + \frac{5x}{4} = -5

\displaystyle 3 = \frac{3x}{8} + 6

\displaystyle \frac{10x}{-30} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Grunnleggjande likningar del 2

Likningar med brøkar og parentesar

Før du byrjar på del to av grunnleggjande likningar er det viktig at du har brøkrekning ordentleg på plass.

Når $x$ står i nemnaren, kan ikkje nemnaren vere 0. I likninga $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$ må vi difor ha $x \neq -2$ . Til slutt kontrollerer vi at løysinga ikkje gjer nokon nemnar lik 0.

✏️Døme 7

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5 \quad | \cdot 2x$
$30 = 10x$
$10x = 30 \quad | : 10$
$x = 3$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2 \quad | \cdot (x + 2)$
$\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 2(x + 2)$
$3 = 2(x + 2)$
$3 = 2x + 4$
$2x + 4 = 3 \quad | - 4$
$2x = -1 \quad | : 2$
$\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

Svar: a) $x = 3$ , b) $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 7

Løys likningane

\displaystyle \frac{6}{x} = 2

\displaystyle \frac{2}{3x} = 2

\displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 7

\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 1

\displaystyle 3 = \frac{-2}{x - 3} + 6

\displaystyle \frac{2}{2x - 5} = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 8

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1 \quad | \cdot 2$
$x - 3 = 2(x + 1)$
$x - 3 = 2x + 2 \quad | + 3$
$x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$-x = 5 \quad | \cdot (-1)$
$x = -5$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2 \quad | \cdot (x + 3)$
$3x + 1 = 2(x + 3)$
$3x + 1 = 2x + 6 \quad | - 1$
$3x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$x = 5$

Svar: a) $x = -5$ , b) $x = 5$

📝Oppgave 8

Løys likningane

\displaystyle \frac{4x - 6}{3} = x + 3

\displaystyle \frac{3x}{x + 1} = 2

\displaystyle \frac{13x + 2}{2x} = 7

\displaystyle \frac{x + 1}{4} - 15 = -5

\displaystyle 3 = \frac{x - 1}{8} + 6

\displaystyle \frac{3 - x}{x} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 9

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1 \quad | - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 2$
$\displaystyle x = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1 \quad | + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{7}{5} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle 2x = \frac{21}{5} \quad | : 2$
$\displaystyle x = \frac{21}{10}$

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ , b) $\displaystyle x = \frac{21}{10}$

📝Oppgave 9

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{10} + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{5} - 2

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - 3

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 10

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$

Løysing alternativ 1 (finn fellesnemnar):

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{3x + 2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{5x}{6} = 1 \quad | \cdot 6

5x = 6 \quad | : 5

\displaystyle x = \frac{6}{5}

Løysing alternativ 2 (multipliser med fellesnemnar):
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \quad | \cdot 6$
$\displaystyle \frac{6 \cdot x}{2} + \frac{6 \cdot x}{3} = 1 \cdot 6$
$3x + 2x = 6$
$5x = 6 \quad | : 5$
$\displaystyle x = \frac{6}{5}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{5} = -\frac{x}{2} + 10

\displaystyle 4 = \frac{3x}{7} + x

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{x}{4} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 11

Løys likningane:

a) $3(x - 2) = 4$

b) $4 - 2(x + 1) = 22$

Løysing:

a) $3(x - 2) = 4$
$3x - 6 = 4 \quad | + 6$
$3x = 10 \quad | : 3$
$\displaystyle x = \frac{10}{3}$

b) $4 - 2(x + 1) = 22 \quad | - 4$
$-2(x + 1) = 18$
$-2x - 2 = 18 \quad | + 2$
$-2x = 20 \quad | : (-2)$
$x = -10$

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{10}{3}$ , b) $x = -10$

📝Oppgave 11

Løys likningane

2(x - 1) = 4

5(x - 2) = 3

2 + 3(x - 1) = 5

5(x + 1) = 2(x - 1)

6 - 3(x + 2) = x

-2(3x - 15) = 8x - (-x)

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 12

Løys likningane:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$1 - (2x - 4) = 10$
$1 - 2x + 4 = 10 \quad | - 1 - 4$
$-2x = 5 \quad | : (-2)$
$\displaystyle x = -\frac{5}{2}$

b) Vi skriv brøkane med fellesnemnar $2(x + 1)$ :
$\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$
$\displaystyle \frac{2 \cdot 2x}{2(x + 1)} - \frac{3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3x - 3}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 2} = 2 \quad | \cdot (2x + 2)$
$x - 3 = 4x + 4 \quad | - 4x + 3$
$-3x = 7 \quad | : (-3)$
$\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

Svar: a) $\displaystyle x = -\frac{5}{2}$ , b) $\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

📝Oppgave 12

Løys likningane

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{2} = 4

\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 2

\displaystyle \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2} = 1

\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 5} = -\frac{3}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{2x + 1} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{-x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3}

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 13

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$

Løysing:

\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5

\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5 \quad | \cdot 4

1 - 3x + 8x = 20 \quad | - 1

5x = 19 \quad | : 5

\displaystyle x = \frac{19}{5}

Svar: $\displaystyle x = \frac{19}{5}$

📝Oppgave 13

Løys likningane

\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5

\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3} - 1\right) = 1

\displaystyle \frac{3}{5}\left(5 - \frac{x}{3}\right) + 2x = 2

\displaystyle \frac{3}{7}\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 - x

\displaystyle \frac{5x}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x}{2} - 1

\displaystyle \frac{x}{4} - 1 = x\left(\frac{1}{3} - 2\right)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

- Løyse likningar: Gjer same operasjon på begge sider av likheitsteiknet for å isolere $x$
- Addisjon/subtraksjon: $x + a = b \Rightarrow x = b - a$
- Multiplikasjon/divisjon: $\displaystyle ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}$
- Brøklikningar: $\displaystyle \frac{x}{a} = b \Rightarrow x = ab$ (gang begge sider med nemnaren)
- Likningar med brøkar: $\displaystyle \frac{a}{x} = b \Rightarrow a = bx \Rightarrow x = \frac{a}{b}$
- Fleire brøkar: Finn fellesnemnar og gang heile likninga med denne
- Parentesar: Multipliser ut før du løyser likninga
- Hugs å kontrollere svaret ved å setje det inn i den opphavlege likninga

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.