1.5 Faktorisering og kvadratsetningane | Matematikk 1T

Faktorisering av tal og uttrykk og dei tre kvadratsetningane.

60 min

18 oppgaver

PrimtalsfaktoriseringFaktorisering av uttrykkFørste kvadratsetningAndre kvadratsetningKonjugatsetninga

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.6Rasjonale uttrykk 1.8Polynomdivisjon - introduksjon 2.2Andregradslikninger - faktorisering 2.5Rasjonale likninger

Faktorisering

Enkel faktorisering

Når vi faktoriserer eit tal skriv vi det som eit produkt av to eller fleire andre tal. Talet 8 kan vi til dømes faktorisere til $4 \cdot 2$ eller alternativt kan vi skrive det som $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Faktorisering er spesielt nyttig når vi arbeider med brøkar fordi det kan hjelpe oss å stryke likt imot likt over og under brøkstreken.

Primtallsfaktorisering

Primtal er tal som berre er delebile på seg sjølv og talet 1. Talet 1 er ikkje inkludert.

Når vi primtallsfaktoriserer skriv vi tala vi faktoriserer som eit produkt av berre primtal. Til dømes så er ein primtallsfaktorisering av $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ulik frå ein faktorisering som $12 = 4 \cdot 3$ eller $12 = 2 \cdot 6$ ettersom 4 ikkje er eit primtal.

Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 …

✏️Døme 1

Primtallsfaktoriser:

a) 6
b) 27
c) 74
d) 520

Løysing:

a) $6 = 2 \cdot 3$

b) $27 = 9 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

c) $74 = 2 \cdot 37$

d) $520 = 52 \cdot 10 = 2 \cdot 26 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13$

📝Oppgave 1

Primtallsfaktoriser tala

390

1050

Løs oppgaven Tren

Å forkorte einkelbrøkar ved hjelp av faktorisering

Når vi skal forkorte brøkar så finn vi felles faktorar over og under brøkstreken og stryk desse imot kvarandre. I motsetning til primtallsfaktorisering er målet vårt å finne høgaste moglegaste felles faktor over og under brøkstreken, på den måten kan vi forkorte raskast mogleg.

Nokre gonger kan det og lønne seg å faktorisere litt av gangen. Dette handlar mest om erfaring.

✏️Døme 2

Forkort brøkane:

a) $\displaystyle \frac{18}{6}$

b) $\displaystyle \frac{45}{75}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{18}{6} = \frac{3 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750} = \frac{200 \cdot {\color{red}10}}{75 \cdot {\color{red}10}} = \frac{{\color{blue}25} \cdot 8}{{\color{blue}25} \cdot 3} = \frac{8}{3}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkane

\displaystyle \frac{22}{2}

\displaystyle \frac{25}{10}

\displaystyle \frac{9}{6}

\displaystyle \frac{360}{12}

\displaystyle \frac{108}{54}

\displaystyle \frac{1008}{252}

Løs oppgaven Tren

Faktorisering av uttrykk med fleire ledd

Vi skal no lære korleis vi faktoriserer ut det som er felles i uttrykk med "fleire ledd" (altså uttrykk som har + eller − som skil ledda).

✏️Døme 3

Faktoriser uttrykka:

a) $4x + 8$
b) $6x^2 - 3x$
c) $4x^3 - 12x^2 + 4x$
d) $15x^2y^2 - 20x^2y$

Løysing:

I a) har det som er felles blitt merkt blått. Det er dette vi kan faktorisere ut.
Det som er igjen er merkt med rødt. Dette skal stå igjen inne i ein parentes.

a) $4x + 8 = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}x} + {\color{blue}4} \cdot {\color{red}2} = 4({\color{red}x + 2})$

b) $6x^2 - 3x = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 = 3x(2x - 1)$

c) $4x^3 - 12x^2 + 4x = 4x(x^2 - 3x + 1)$

d) $15x^2y^2 - 20x^2y = 5x^2y(3y - 4)$

Merk: Når vi har faktorisert så kan vi kontrollere at vi har faktorisert rett ved å gange ut uttrykket vi har fått.

📝Oppgave 3

Faktoriser ut det som er felles (Skrivast vanlegvis berre "Faktoriser")

2x + 4

9y + 3

8x^2 - 4x + 12

16xy - 9y

15x^2 - 3xy^3

14a^2b + 42b^3

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4

Faktoriser ut $-3$ frå uttrykket: $-3x + 9$

Løysing:

Vi kan tenkje slik:

Vi set $-3$ utanfor ein parentes. Inne i parentesen skal det stå det vi må gange $-3$ med for å få uttrykket til venstre for likskildtegnet.

$-3x + 9 = -3 \cdot x - 3 \cdot (-3) = -3(x - 3)$

✏️Døme 5

Løys oppgåvene:

a) Faktoriser ut det som står foran $x$ (altså 3) frå $3x + 2$

b) Faktoriser ut det foran x-en med høgaste eksponent: $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2$

Løysing:

Når vi faktoriserer ut eit tal kan vi også tenkje at det som skal stå igjen inne i parentesen er det opphavlege uttrykket delt på det som faktoriserast ut.

a) $\displaystyle 3x + 2 = 3 \cdot x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)$

Merk: Fordelane med å faktorisere ut det som står foran $x$ er at vi lett kan sjå kva $x$ må vere for at det inne i parentesen skal bli 0. I dette tilfellet kan vi sjå at $\displaystyle x = -\frac{2}{3}$ gjer at det som står inne i parentesen blir 0. Vi kjem tilbake til dette litt seinare.

b) $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$

📝Oppgave 4

Faktoriser ut det som står framfor x-en med høgaste potens

-2x + 6

3x + 1

\displaystyle \frac{1}{2}x - 3

-2x^2 + 10x - 12

\displaystyle -\frac{1}{5}x + 4

4x^2 + 4x + 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Faktoriser ut det som står framfor x-en med høgaste potens og det som eventuelt er felles.

\displaystyle \frac{1}{6}x + 1

\displaystyle \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3

-2x^2 + x

16x^2 - 9

-5x^2 - 3

\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)x^3 - 5x

Løs oppgaven Tren

Kvadratsetningane

Kvadratsetningane er reglar for å gonge ut kvadratet av ein sum, kvadratet av ein differanse og produktet av ein sum og ein differanse. Brukte i motsett retning gir dei ein metode for å faktorisere. Den 3. kvadratsetninga (konjugatsetninga) blir brukt mykje i resten av matematikken.

📜1. Kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Bevis:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Hugs: $b \cdot a = a \cdot b$

📜2. Kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Bevis:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

✏️Døme 6

Rekn ut ved hjelp av 1. kvadratsetning:

a) $(x + 3)^2$
b) $(2x + 5y)^2$
c) $3(x + 2)^2$

Løysing:

Vi bruker 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

a) $(x + 3)^2$

Her er $a = x$ og $b = 3$ :

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

b) $(2x + 5y)^2$

Her er $a = 2x$ og $b = 5y$ :

$(2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2$

c) $3(x + 2)^2$

Her reknar vi først ut $(x + 2)^2$ og gongar med 3:

$3(x + 2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

✏️Døme 7

Rekn ut ved hjelp av 2. kvadratsetning:

a) $(x - 5)^2$
b) $(x^2 - 2y)^2$

Løysing:

Vi bruker 2. kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

a) $(x - 5)^2$

Her er $a = x$ og $b = 5$ :

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

b) $(x^2 - 2y)^2$

Her er $a = x^2$ og $b = 2y$ :

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

📝Oppgave 6

Rekn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(x + 2)^2

(x - 9)^2

2(x + 6)^2

-2(x - 4)^2

(2x - 7)^2

(-2a + b)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Rekn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(3 + x)^2

2(x - 3)^2

5(x + 2y)^2

-2(3x + 5y)^2

\displaystyle \frac{1}{2}(2x - 6y)^2

(2x^3 - 2z^2)^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning

Ein av dei nyttigaste bruksområda for kvadratsetningane er at vi kan faktorisere enkelte andregradsuttrykk om vi bruker dei i motsett retning.

Har vi eit uttrykk på forma $x^2 + bx + c$ der $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c$ , set vi $\displaystyle k = \frac{b}{2}$ . Då er uttrykket på forma i 1. eller 2. kvadratsetning:

$x^2 + bx + c = x^2 + 2kx + k^2 = (x + k)^2$

Er $b$ negativ, blir $k$ negativ. Til dømes er $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ med $k = -3$ .

✏️Døme 8

Faktoriser ved å bruke 1. og 2. kvadratsetning i motsett retning:

a) $x^2 + 4x + 4$
b) $2x^2 - 12x + 18$

Løysing:

a) Vi skal faktorisere $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Her ser vi at det som står foran $x$ , altså $b = 4$ .
Vi må no sjekke om $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = c$ .
$c = 4$ så dette vilkåret er også oppfylt. Vi kan derfor faktorisere ved hjelp av kvadratsetningen i motsett retning.

Denna utrekning blir normalt sett ikkje ført og vi nøyer oss med å berre føre resultatet:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

b) $2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2$

📝Oppgave 8

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning.

NB: Hugs at om det står noko framfor $x^2$ skal det faktoriserast ut først.

x^2 + 6x + 9

x^2 - 16x + 64

2x^2 + 8x + 8

3x^2 - 18x + 27

-x^2 + 10x - 25

-4x^2 + 8x - 4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning.

NB: Hugs at om det er noko som er felles eller som står framfor $x^2$ skal det faktoriserast ut først.

x^2 + 18x + 81

-2x^2 - 8x - 8

-3x^2 + 24x - 48

4x^3 - 8x^2 + 4x

-3x^3 + 30x^2 - 75x

\displaystyle x^2 + x + \frac{1}{4}

Løs oppgaven Tren

📜3. Kvadratsetning (Konjugatsetningen)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Bevis:

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

✏️Døme 9

Rekn ut ved hjelp av 3. kvadratsetning:

a) $(x + 2)(x - 2)$
b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Løysing:

Vi brukar konjugatsetningen (3. kvadratsetning): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

a) $(x + 2)(x - 2)$

Her er $a = x$ og $b = 2$ :

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Her er $a = x^2$ og $b = 3y$ :

$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y) = (x^2)^2 - (3y)^2 = x^4 - 9y^2$

📝Oppgave 10

Rekn ut ved hjelp av 3. Kvadratsetning

(x + 3)(x - 3)

(x + 9)(x - 9)

(2x + \sqrt{3})(2x - \sqrt{3})

(x^2 - 6)(x^2 + 6)

3(x + 4)(x - 4)

-2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)

Løs oppgaven Tren

3. Kvadratsetning i motsett retning

Vi kan også bruka konjugatsetningen til å faktorisera uttrykk på forma $a^2 - b^2$ :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

✏️Døme 10

Faktoriser uttrykkja ved å bruka 3. kvadratsetning i motsett retning:

Altså: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

a) $x^2 - 9$
b) $4x^2 - 25$
c) $4x^2 - 12$

Løysing:

a) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

b) $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$

c) $4x^2 - 12 = 4(x^2 - 3) = 4\left(x^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2\right) = 4(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

📝Oppgave 11

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning

x^2 - 4

x^2 - 81

4x^2 - 9

9x^2 - 81

x^4 - y^4

9a^4 - 16b^4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Faktoriser ved hjelp av 3. kvadratsetning (Hugs å faktorisere ut det som er felles først)

2x^2 - 8

12x^2 - 27

4x^2 - 36y^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering ved gruppering

Har eit uttrykk fire ledd utan ein faktor som er felles for alle, kan vi dele ledda i to grupper og faktorisere kvar gruppe for seg. Blir parentesane like, kan vi setje parentesen utanfor som felles faktor.

✏️Døme 11

Faktoriser:

a) $xy + 3x + 2y + 6$

b) $x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

Løysing:

a) $xy + 3x + 2y + 6 = x(y + 3) + 2(y + 3) = (x + 2)(y + 3)$

Svar: $(x + 2)(y + 3)$

b) $x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2)$

$= (x + 2)(x^2 - 4)$

$= (x + 2)(x + 2)(x - 2)$

$= (x + 2)^2(x - 2)$

Svar: $(x + 2)^2(x - 2)$

📝Oppgave 13

Faktoriser ved gruppering

xy - x + y - 1

x^3 - 3x^2 + 2x - 6

2x^3 + x^2 - 18x - 9

Løs oppgaven Tren

Andregradsuttrykk som ikkje passar med kvadratsetningane

Mange andregradsuttrykk, til dømes $x^2 - 5x + 6$ , kan ikkje faktoriserast med kvadratsetningane. Då bruker vi nullpunkta: har $ax^2 + bx + c = 0$ løysingane $x_1$ og $x_2$ , er

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Dette er nullpunktsfaktorisering, og ho kjem i kapittel 2.3.

Når talet framfor $x^2$ er $1$ , kan vi også dele midtleddet. Vi finn to tal med produkt $6$ og sum $-5$ , altså $-2$ og $-3$ , og faktoriserer ved gruppering:

$\begin{aligned} &x^2 - 5x + 6 \\ = {}&x^2 - 2x - 3x + 6 \\ = {}&x(x - 2) - 3(x - 2) \\ = {}&(x - 2)(x - 3) \end{aligned}$

Oppsummering

- Primtalssfaktorisering: Skriv tal som produkt av berre primtal (2, 3, 5, 7, 11, ...)
- Faktorisering av uttrykk: Trekk ut det som er felles: $4x + 8 = 4(x + 2)$
- 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- 2. kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- 3. kvadratsetning (konjugatsetningen): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
- Kvadratsetningane i motsett retning: Vi kan faktorisere $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ , $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ , og $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
- Gruppering: $x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 4)$
- Sjekk alltid om uttrykket kan forkortast ved å faktorisere først

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.