1.8 Polynomdivisjon - introduksjon | Matematikk 1T

Lær hva polynomdivisjon er og hvordan det brukes.

30 min

10 oppgaver

PolynomdivisjonKvotientRest

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brukes videre i

1.9Polynomdivisjon med lineær divisor 2.10Polynomdivisjon og likningsløsning

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er en metode for å dele et polynom på et annet polynom. Det fungerer på samme måte som vanlig divisjon med tall, men vi jobber med algebraiske uttrykk i stedet.

Når vi deler et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ , får vi:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten

✏️Eksempel 1

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

Løsning:

Vi deler koeffisientene og trekker fra eksponentene:

$\frac{6x^3}{2x} = \frac{6}{2} \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Svar: $3x^2$

📝Oppgave 1

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^4}{2x}

\displaystyle \frac{12x^5}{4x^2}

\displaystyle \frac{15x^3}{5x^3}

\displaystyle \frac{-10x^6}{2x^2}

Løs oppgaven

Divisjon av polynom med monom

Når vi deler et polynom med flere ledd på et monom, deler vi hvert ledd for seg:

$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

✏️Eksempel 2

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x}$

Løsning:

Vi deler hvert ledd i telleren på nevneren:

$\frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x}$

$= 3x^2 + 2x - 1$

Svar: $3x^2 + 2x - 1$

📝Oppgave 2

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{9x^3 - 6x^2 + 3x}{3x}

\displaystyle \frac{x^4 + x^3 + x^2}{x^2}

\displaystyle \frac{12x^5 - 8x^3 + 4x}{4x}

Løs oppgaven

Polynomdivisjon - lang divisjon

Når vi skal dele et polynom på et annet polynom med flere ledd, bruker vi lang divisjon. Dette ligner på vanlig divisjon med tall.

Fremgangsmåte:
1. Del det første leddet i dividenden på det første leddet i divisoren
2. Gang svaret med hele divisoren
3. Trekk fra resultatet
4. Gjenta til graden av resten er lavere enn graden av divisoren

✏️Eksempel 3

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

Løsning:

$\begin{array}{rrrl} (x^2 & +\,5x & +\,6) & :\,(x + 2) = x + 3 \\ \underline{-(x^2} & \underline{+\,2x)} & & \\ & 3x & +\,6 & \\ & \underline{-(3x} & \underline{+\,6)} & \\ & & 0 & \end{array}$

Resten er 0, så $(x + 2)$ går opp i $(x^2 + 5x + 6)$ .

Kontroll: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Svar: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$

📝Oppgave 3

Utfør divisjonene

(x^2 + 7x + 12) : (x + 3)

(x^2 + 3x - 10) : (x - 2)

(x^2 - 9) : (x + 3)

(x^2 - 4x - 5) : (x + 1)

Løs oppgaven

Divisjon med rest

Ikke alle polynomdivisjoner går opp. Når resten ikke er null, skriver vi svaret på formen:

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

der $R(x)$ er resten.

✏️Eksempel 4

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 8) : (x + 2)$

Løsning:

$\begin{array}{rrrl} (x^2 & +\,5x & +\,8) & :\,(x + 2) = x + 3 \\ \underline{-(x^2} & \underline{+\,2x)} & & \\ & 3x & +\,8 & \\ & \underline{-(3x} & \underline{+\,6)} & \\ & & 2 & \end{array}$

Resten er $2$ .

Svar: $\displaystyle (x^2 + 5x + 8) : (x + 2) = x + 3 + \frac{2}{x + 2}$

📝Oppgave 4

Utfør divisjonene og oppgi kvotient og rest

(x^2 + 4x + 5) : (x + 1)

(x^2 + 2x + 7) : (x + 3)

(2x^2 + 5x + 1) : (x + 2)

(x^3 + 2x^2 - x + 3) : (x + 1)

Divisjon med tredjegradspolynom

Samme metode brukes for polynomer av høyere grad. La oss se på et eksempel med et tredjegradspolynom.

✏️Eksempel 5

Utfør divisjonen $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$

Løsning:

$\begin{array}{rrrrl} (x^3 & -\,6x^2 & +\,11x & -\,6) & :\,(x - 1) \\ \underline{-(x^3} & \underline{-\,x^2)} & & & \\ & -5x^2 & +\,11x & -\,6 & \\ & \underline{-(-5x^2} & \underline{+\,5x)} & & \\ & & 6x & -\,6 & \\ & & \underline{-(6x} & \underline{-\,6)} & \\ & & & 0 & \end{array}$

Kvotient: $x^2 - 5x + 6$

Resten er 0.

Svar: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

📝Oppgave 5

Utfør divisjonene

(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x + 1)

(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)

(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x + 2)

(2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) : (x - 2)

Løs oppgaven

Oppsummering

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polynomdivisjon: Å dele et polynom på et annet polynom, på samme måte som lang divisjon med tall
- Divisjon med monom: Hvert ledd i telleren deles på monomet: $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2}{2x} = 3x^2 + 2x$
- Lang divisjon: Del første ledd, gang divisor med svaret, trekk fra, og gjenta til du er ferdig
- Divisjon med rest: Hvis divisjonen ikke går opp, får vi en rest: $P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$
- Kontroll: Du kan alltid sjekke svaret ved å gange kvotienten med divisoren og legge til resten

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Polynom	Uttrykk med ledd av typen $ax^n$
Divisor	Det vi deler på
Kvotient	Svaret på divisjonen
Rest	Det som blir til overs når divisjonen ikke går opp

Viktige formler

\displaystyle \frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}

P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.