1.8 Polynomdivisjon - introduksjon

Divisjon med bokstaver

Tenk tilbake til da du lærte lang divisjon med tall. Du satte opp dividenden, plasserte divisoren til venstre, og jobbet deg gjennom sifferne ett om gangen. Polynomdivisjon er nøyaktig det samme -- bare med algebraiske uttrykk i stedet for tall.

Når vi deler et polynom $P(x)$ på et annet polynom $D(x)$, får vi et resultat som følger en velkjent struktur:

$$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$$

Her er $P(x)$ dividenden -- det polynomet vi deler. $D(x)$ er divisoren -- det vi deler på. $Q(x)$ er kvotienten -- svaret vårt. Og $R(x)$ er resten, som kan være null dersom divisjonen går opp.

Denne sammenhengen er helt lik den du kjenner fra vanlige tall. Når du deler $17$ på $5$, får du kvotienten $3$ og resten $2$, fordi $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Med polynomer fungerer det på akkurat samme måte -- vi bare bytter ut tallene med uttrykk som inneholder $x$. I dette kapittelet skal vi bygge opp ferdighetene steg for steg, fra de enkleste delingene til full lang divisjon.

Divisjon av monomer -- potensreglene i aksjon

La oss begynne med det aller enkleste: å dele ett monom på et annet. Et monom er et uttrykk med bare ett ledd, for eksempel $6x^3$ eller $2x$.

Når du skal dele $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$, gjør du to ting: du deler koeffisientene ($\displaystyle \frac{6}{2} = 3$) og du bruker potensregelen for divisjon på variabeldelen ($x^{3-1} = x^2$). Resultatet er $3x^2$.

Hvorfor fungerer dette? Fordi $x^3 = x \cdot x \cdot x$ og $x = x$. Når du deler, stryker du de felles faktorene: $\displaystyle \frac{x \cdot x \cdot x}{x} = x \cdot x = x^2$. Potensregelen $\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ er bare en snarvei for denne prosessen.

La oss ta noen flere eksempler. $\displaystyle \frac{8x^4}{2x} = 4x^3$ -- del koeffisientene ($8/2 = 4$) og trekk fra eksponentene ($4 - 1 = 3$). $\displaystyle \frac{12x^5}{4x^2} = 3x^3$. $\displaystyle \frac{15x^3}{5x^3} = 3$ -- når eksponentene er like, forsvinner $x$ helt, og vi sitter igjen med bare et tall. Og $\displaystyle \frac{-10x^6}{2x^2} = -5x^4$ -- husk at fortegnsreglene gjelder som vanlig.

Det finnes også et spesialtilfelle som er verdt å merke seg: $\displaystyle \frac{x^n}{x^n} = x^0 = 1$. Enhver størrelse delt på seg selv gir $1$. Denne enkle observasjonen er grunnlaget for alt som følger.

Dele et polynom på et monom -- ledd for ledd

Nå som vi mestrer monomdivisjon, er neste steg å dele et helt polynom på et enkelt monom. Trikset er overraskende greit: du deler hvert ledd i polynomet for seg.

Regelen er:

$$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$

Dette er det samme prinsippet som at $\displaystyle \frac{10 + 5}{5} = \frac{10}{5} + \frac{5}{5} = 2 + 1 = 3$.

La oss prøve med $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x}$. Vi deler hvert av de tre leddene på $2x$:

$$\frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x} = 3x^2 + 2x - 1$$

Hvert ledd behandles som en selvstendig monomdivisjon. Første ledd: $6x^3 / 2x = 3x^2$. Andre ledd: $4x^2 / 2x = 2x$. Tredje ledd: $2x / 2x = 1$.

Her er et eksempel til: $\displaystyle \frac{9x^3 - 6x^2 + 3x}{3x}$. Vi tar ledd for ledd: $\displaystyle \frac{9x^3}{3x} = 3x^2$, $\displaystyle \frac{-6x^2}{3x} = -2x$, $\displaystyle \frac{3x}{3x} = 1$. Svaret er $3x^2 - 2x + 1$.

Og enda ett: $\displaystyle \frac{x^4 + x^3 + x^2}{x^2}$. Her er $\displaystyle \frac{x^4}{x^2} = x^2$, $\displaystyle \frac{x^3}{x^2} = x$, $\displaystyle \frac{x^2}{x^2} = 1$. Svaret er $x^2 + x + 1$.

Legg merke til at denne metoden alltid fungerer når divisoren er et monom. Men hva gjør vi når også divisoren har flere ledd, som for eksempel $(x + 2)$? Da trenger vi et kraftigere verktøy: lang divisjon.

Lang divisjon av polynomer -- steg for steg

Nå er vi klare for hovedteknikken: polynomdivisjon med lang divisjon. Metoden ligner på vanlig lang divisjon med tall, og den følger fire steg som gjentas til vi er ferdige.

Fremgangsmåten:
1. Del det første leddet i dividenden på det første leddet i divisoren.
2. Gang svaret med hele divisoren.
3. Trekk fra resultatet.
4. Gjenta til graden av resten er lavere enn graden av divisoren.

La oss gå gjennom et konkret eksempel: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$.

Steg 1: Vi ser på det første leddet i dividenden, $x^2$, og deler det på det første leddet i divisoren, $x$. Vi får $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$. Dette er det første leddet i kvotienten.

Steg 2: Vi ganger $x$ med hele divisoren $(x + 2)$: $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$.

Steg 3: Vi trekker fra: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$. Nå jobber vi videre med $3x + 6$.

Steg 4: Vi deler $3x$ på $x$: $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$. Så ganger vi $3$ med $(x + 2)$: $3x + 6$. Vi trekker fra: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$.

Resten er $0$, så divisjonen går opp! Svaret er $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$.

Vi kan sjekke: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$. Stemmer! Denne kontrollen er et fantastisk verktøy -- du kan alltid sjekke svaret ditt ved å gange kvotienten med divisoren og legge til eventuell rest.

Når divisjonen ikke går opp -- rest

Ikke alle polynomdivisjoner går opp. Akkurat som $17 : 5 = 3$ med rest $2$, kan vi få en rest også med polynomer. Når resten ikke er null, skriver vi svaret på formen:

$$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$$

La oss se på $(x^2 + 5x + 8) : (x + 2)$.

Vi starter som for. $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$. Gang: $x(x + 2) = x^2 + 2x$. Trekk fra: $(x^2 + 5x + 8) - (x^2 + 2x) = 3x + 8$.

Neste runde: $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$. Gang: $3(x + 2) = 3x + 6$. Trekk fra: $(3x + 8) - (3x + 6) = 2$.

Nå har vi en rest på $2$. Siden graden av resten ($0$, fordi $2$ er en konstant) er lavere enn graden av divisoren ($1$, fordi $x + 2$ er førstegrads), stopper vi her.

Svaret skrives: $\displaystyle (x^2 + 5x + 8) : (x + 2) = x + 3 + \frac{2}{x + 2}$

La oss sjekke med formelen $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$: $(x + 2)(x + 3) + 2 = x^2 + 5x + 6 + 2 = x^2 + 5x + 8$. Stemmer!

Her er et eksempel til: $(2x^2 + 5x + 1) : (x + 2)$. Første runde: $\displaystyle \frac{2x^2}{x} = 2x$. Gang: $2x(x+2) = 2x^2 + 4x$. Trekk fra: $x + 1$. Andre runde: $\displaystyle \frac{x}{x} = 1$. Gang: $1 \cdot (x + 2) = x + 2$. Trekk fra: $(x + 1) - (x + 2) = -1$. Svaret er $2x + 1$ med rest $-1$.

Divisjon med polynomer av høyere grad

Den samme metoden fungerer også når dividenden er et tredjegrads- eller fjerdegradspolynom. Vi får bare flere runder med divisjon, men hvert steg er identisk.

La oss ta $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$.

Runde 1: $\displaystyle \frac{x^3}{x} = x^2$. Gang: $x^2(x - 1) = x^3 - x^2$. Trekk fra: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6$.

Runde 2: $\displaystyle \frac{-5x^2}{x} = -5x$. Gang: $-5x(x - 1) = -5x^2 + 5x$. Trekk fra: $(-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6$.

Runde 3: $\displaystyle \frac{6x}{x} = 6$. Gang: $6(x - 1) = 6x - 6$. Trekk fra: $(6x - 6) - (6x - 6) = 0$.

Svaret er $x^2 - 5x + 6$. Vi kan faktorisere dette videre til $(x - 2)(x - 3)$, så hele polynomet kan skrives som $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Et viktig tips: når dividenden mangler et ledd, må du sette inn null-ledd. For eksempel, hvis du skal dele $x^3 - 8$ på $(x - 2)$, bør du skrive dividenden som $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$. Uten disse null-leddene er det lett å miste oversikten.

Her er et annet eksempel med tredjegradspolynom: $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x + 1)$. Runde 1: $x^2$, gang: $x^3 + x^2$, rest: $5x^2 + 11x + 6$. Runde 2: $5x$, gang: $5x^2 + 5x$, rest: $6x + 6$. Runde 3: $6$, gang: $6x + 6$, rest: $0$. Svaret er $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å dele polynomer på hverandre, fra de enkleste tilfellene til full lang divisjon.

Monomdivisjon er grunnsteinen. Du deler koeffisientene og trekker fra eksponentene: $\displaystyle \frac{6x^3}{2x} = 3x^2$. Potensregelen $\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ er nøkkelen.

Polynom delt på monom gjøres ledd for ledd. Hvert ledd i telleren deles separat på nevneren: $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = 3x^2 + 2x - 1$.

Lang divisjon brukes når divisoren har flere ledd. Metoden følger fire steg som gjentas: del førsteleddet, gang med hele divisoren, trekk fra, og gjenta. Resultatet består av en kvotient og eventuelt en rest.

Resten kan være null (divisjonen går opp) eller et polynom av lavere grad enn divisoren. Svaret skrives da som $\displaystyle Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$.

Kontrollformelen $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ lar deg alltid sjekke svaret ditt. Gang kvotienten med divisoren og legg til resten -- du skal få tilbake dividenden. Husk også å sette inn null-ledd når dividenden mangler potenser av $x$.