Tilbake
1.9
Polynomdivisjon med lineær divisor

1.9 Polynomdivisjon med lineær divisor

Alle fag for VG1

Del polynomer med uttrykk på formen (x - a).

35 min
10 oppgaver
Lineær divisorFaktorteoremetNullpunkter
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Polynomdivisjon med (x−a)(x - a)

I dette kapitlet ser vi nærmere på divisjon med lineære divisorer på formen (x−a)(x - a). Dette er spesielt nyttig for å:
- Faktorisere polynomer
- Finne nullpunkter
- Forenkle uttrykk

📜Faktorteoremet

Hvis P(a)=0P(a) = 0, så er (x−a)(x - a) en faktor i P(x)P(x).

Med andre ord: Hvis aa er et nullpunkt for polynomet P(x)P(x), så går (x−a)(x - a) opp i P(x)P(x) uten rest.

✏️Eksempel 1

Vis at (x−2)(x - 2) er en faktor i P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Løsning:

Vi sjekker om x=2x = 2 er et nullpunkt:

P(2)=23−6⋅22+11⋅2−6P(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6
=8−24+22−6= 8 - 24 + 22 - 6
=0= 0

Siden P(2)=0P(2) = 0, er (x−2)(x - 2) en faktor i P(x)P(x) ifølge faktorteoremet.

📝Oppgave 1

Sjekk om den oppgitte faktoren går opp i polynomet ved å sette inn verdien

a

Er (x−1)(x - 1) en faktor i x2−3x+2x^2 - 3x + 2?

b

Er (x+2)(x + 2) en faktor i x2+5x+6x^2 + 5x + 6?

c

Er (x−3)(x - 3) en faktor i x2−5x+6x^2 - 5x + 6?

d

Er (x+1)(x + 1) en faktor i x2+2x+3x^2 + 2x + 3?

Finne nullpunkter ved gjetting

For polynomer med heltallskoeffisienter kan vi ofte finne nullpunkter ved å prøve divisorer av konstantleddet.

Strategi: Hvis P(x)=xn+...+cP(x) = x^n + ... + c har heltallskoeffisienter, prøv x=±1,±2,±3,...x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ... som er divisorer av cc.

✏️Eksempel 2

Finn et nullpunkt for P(x)=x3−2x2−5x+6P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 og faktoriser.

Løsning:

Konstantleddet er 66, så vi prøver divisorer av 66: ±1,±2,±3,±6\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

P(1)=1−2−5+6=0P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 ✓

Siden P(1)=0P(1) = 0, er (x−1)(x - 1) en faktor.

Vi utfører polynomdivisjon:
(x3−2x2−5x+6):(x−1)=x2−x−6(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6

Faktoriserer videre:
x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Svar: P(x)=(x−1)(x−3)(x+2)P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

📝Oppgave 2

Finn et nullpunkt og bruk polynomdivisjon til å faktorisere

a
x3−6x2+11x−6x^3 - 6x^2 + 11x - 6
b
x3+6x2+11x+6x^3 + 6x^2 + 11x + 6
c
x3−4x2+x+6x^3 - 4x^2 + x + 6
Løs oppgavenTren
📜Restteoremet
Når polynomet P(x)P(x) deles på (x−a)(x - a), er resten lik P(a)P(a).

P(x)=(x−a)⋅Q(x)+P(a)P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)

✏️Eksempel 3

Finn resten når P(x)=x3+2x2−x+3P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3 deles på (x−2)(x - 2)

Løsning:

Ifølge restteoremet er resten lik P(2)P(2):

P(2)=23+2⋅22−2+3P(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 + 3
=8+8−2+3= 8 + 8 - 2 + 3
=17= 17

Svar: Resten er 1717

📝Oppgave 3

Bruk restteoremet til å finne resten

a
(x2+3x+5):(x−1)(x^2 + 3x + 5) : (x - 1)
b
(x3−2x+1):(x+1)(x^3 - 2x + 1) : (x + 1)
c
(x3+x2−x−1):(x−2)(x^3 + x^2 - x - 1) : (x - 2)
d
(2x3−5x+3):(x+2)(2x^3 - 5x + 3) : (x + 2)
Løs oppgavenTren

Fullstendig faktorisering

For å faktorisere et polynom fullstendig:
1. Finn ett nullpunkt aa
2. Divider på (x−a)(x - a)
3. Faktoriser kvotienten videre (om mulig)
4. Gjenta til du ikke kan faktorisere mer

✏️Eksempel 4

Faktoriser P(x)=x4−5x2+4P(x) = x^4 - 5x^2 + 4 fullstendig.

Løsning:

Prøver x=1x = 1:
P(1)=1−5+4=0P(1) = 1 - 5 + 4 = 0 ✓

(x−1)(x - 1) er en faktor. Vi deler:
(x4−5x2+4):(x−1)=x3+x2−4x−4(x^4 - 5x^2 + 4) : (x - 1) = x^3 + x^2 - 4x - 4

Prøver x=−1x = -1 i x3+x2−4x−4x^3 + x^2 - 4x - 4:
−1+1+4−4=0-1 + 1 + 4 - 4 = 0 ✓

(x+1)(x + 1) er en faktor. Vi deler:
(x3+x2−4x−4):(x+1)=x2−4=(x−2)(x+2)(x^3 + x^2 - 4x - 4) : (x + 1) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Svar: P(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)

📝Oppgave 4

Faktoriser polynomene fullstendig

a
x3−7x+6x^3 - 7x + 6
b
x4−10x2+9x^4 - 10x^2 + 9
c
x3+2x2−x−2x^3 + 2x^2 - x - 2
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Utfør polynomdivisjonene

a
(x3−8):(x−2)(x^3 - 8) : (x - 2)
b
(x3+27):(x+3)(x^3 + 27) : (x + 3)
c
(x4−16):(x−2)(x^4 - 16) : (x - 2)
d
(x4−1):(x−1)(x^4 - 1) : (x - 1)
Løs oppgavenTren
Oppsummering
Faktorteoremet: Hvis P(a)=0P(a) = 0, er (x−a)(x - a) en faktor i P(x)P(x)

Restteoremet: Resten ved divisjon av P(x)P(x) på (x−a)(x - a) er lik P(a)P(a)

Strategi for faktorisering:
1. Finn nullpunkt ved å prøve divisorer av konstantleddet
2. Divider og faktoriser videre

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Restteoremet: Resten når P(x)P(x) deles på (x−a)(x - a) er lik P(a)P(a) — du kan finne resten uten å dividere
- Faktorteoremet: (x−a)(x - a) er en faktor i P(x)P(x) hvis og bare hvis P(a)=0P(a) = 0
- Nullpunkter ved gjetting: Prøv små heltall (±1,±2,±3,...\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...) for å finne et nullpunkt
- Fullstendig faktorisering: Finn et nullpunkt x=ax = a, divider på (x−a)(x - a), og faktoriser kvotienten videre

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
RestteoremetResten ved divisjon med (x−a)(x - a) er P(a)P(a)
Faktorteoremet(x−a)(x - a) er faktor ⇔\Leftrightarrow P(a)=0P(a) = 0
NullpunktEn verdi aa slik at P(a)=0P(a) = 0
Fullstendig faktoriseringPolynomet skrevet som produkt av lineære (og ev. andregrads) faktorer

Viktige formler


- Rest ved divisjon med (x−a)(x - a): R=P(a)R = P(a)
- P(a)=0  ⇔  P(x)=(x−a)⋅Q(x)P(a) = 0 \;\Leftrightarrow\; P(x) = (x - a) \cdot Q(x)
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.